Elektromagnetisme & Licht

Presentatie over: "Elektromagnetisme & Licht"— Transcript van de presentatie:

1 Elektromagnetisme & Licht
Doel: “Tour d`horizon” elektromagnetisme: Elektrische krachten, velden, (statisch) Magnetische krachten, velden, (statisch) Unificatie elektriciteit & magnetisme Maxwell vergelijkingen  Licht Vorm: Hoorcollege, demonstraties, werkcollege & prakticum Docenten: “Hoorcollege”: Frank Linde & Marcel Vreeswijk “Werkcollege”: Niels v. Eldik, Thijs Cornelissen en Jeroen Luigjes. Opgaves in “Question Mark”: Hans van Bemmel en Wolter Kaper Experimenten: Paul Vlaanderen Beoordeling: Prakticum (1 stp): 1 verslag (Millikan) en labjournaals Theorie (4 stp): Cijfer = 0.66 T+0.33 (Q + O) (mits (Q+O)>T) “Q”: Question Mark opgaves (wekelijks) “O”: Oefen-Tentamen opgave (3x) “T”: Tentamen – cijfer minstens 5

2 Elektromagnetisme  Licht
Elektrostatica Magnetostatica Elektromagnetisme  Licht

3 College Web lokaties Studiemateriaal: Question Mark: BlackBoard:
hier vind je o.a. de Mathematica opgaves en/of animaties Question Mark: Voor de wekelijke opgaves (bonus-optelling voor cijfer) Login: collegekaartnummer, Password: student BlackBoard: Voor medelingen en inleveren (mathematica) opgaves, verslagen, labjournaals e.d. (hier gebruik je je standaard UvA account)

4 Web lokaties Leuke animaties: Goede cursussen:
Goede cursussen: Hoe dingen werken (bliksem, microwave):

5 Het Boek: “Introduction to Electrodynamics” David J. Griffiths
Te gebruiken bij (“good value for money!”): 1e jaars college “Klassieke Natuurkunde IC” (dit college) 3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 1” 3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 2” Hoofdstukken uit Griffith voor deze inleidende & oriënterende cursus: # 1 Vector Analysis: vektor, gradiënt, divergentie, rotatie & integralen # 2 Electrostatics: grotendeels # 4 Electric Fields in Matter: grotendeels # 5 Magnetostatics: grotendeels m.u.v. de vektor potentiaal # 6 Magnetic Fields in Matter: grotendeels # 7 Electrodynamics: grotendeels # 9 Electromagnetic Waves: alleen het bestaan van e.m. golven Uiteraard gaat Griffiths iets dieper in de materie dan wij van jullie verwachten in het eerste jaar. De moeilijkere voorbeelden en opgaven in Griffiths moet je gewoon overslaan. Als je de werkcollege opgaven beheerst dan zit je riant voor het tentamen.

6 Inhoud Elektrostatica
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Vektor: §1.1 m.u.v. §1.1.3 en §1.1.5 Wet van Coulomb: §2.1

7 De elektrische veldsterkte
Wet van Coulomb De elektrische lading De elektrische kracht De elektrische veldsterkte Voorbeelden

8 DEMO: fenomeen elektriciteit

9 Elektrostatica: experiment
+/- lading glas eboniet + - nieuwe kracht: Felektrisch >> Fgravitatie positief: + & negatief: - + + & - -: afstotend + - & - +: aantrekkend quantisatie: qelektron ladingsbehoud: S q = constant krachtwet 1777: C. de Coulomb q Q Fq superpositie Q1 Q3 Q2 Q4 Fq q r1

10 “Ontdekking” kosmische straling
Voor liefhebbers! “Ontdekking” kosmische straling Een opgeladen elektroscoop ontlaadt spontaan op zeeniveau Theodor Wulf: 1909 (Nederlandse priester!)

11 “Ontdekking” kosmische straling
Voor liefhebbers! “Ontdekking” kosmische straling Op het topje v/d Eiffel toren ontlaadt een elektroscoop zich ook; en nog sneller dan op zeeniveau! Victor Hess (1912) Onder luchtballon nog snellere ontlading!

12 Voor liefhebbers! Kosmische Straling 1909-heden

13 Wet van Coulomb  kracht & veld
q Q r Eenheden: Lengte [l]: meter m Tijd [t]: seconde s Massa [m]: kilogram kg Lading [q]: Coulomb C Veld: Q Constanten: eenheidslading: permittiviteit:

14 DEMO: elektrische veldlijnen Puntlading

15 FElektrisch  FGravitatie
10-10 m elektron m=9.110-31 kg q=-1.610-19 C proton m=1.710-27 kg q=+1.610-19 C V.b. behoud van lading anti-proton (p-p) ontdekking (1955): p reaktie: wel: p+p+p+p+p+p- niet: p+p+p+p- p

16 Quantisatie elektrische lading
Beweging oliedruppeltjes in: - constant elektrisch veld E: [E]=N/C (V/m; zie later) - constant gravitatie veld g10 m/s2: [g]=m/s2=N/kg Veronderstel voor ieder oliedruppeltje: Massa: 110-16 kg  Fg10-15 Newton Lading: NeN1.610-19 C  FEEN1.610-19 Newton Indien E=0: alle oliedruppeltjes vallen omlaag Indien E0: beweging oliedruppeltjes afhankelijk lading: Lading N  6250/E: beweegt omlaag Lading N  6250/E: staat stil Lading N  6250/E: beweegt omhoog

17 Quantisatie elektrische lading

18 PRAKTICUM: Millikan

19 Millikan Experiment Millikan oil-drop experiment,
First direct and compelling measurement of the electric charge of a single electron. It was performed originally in 1909 by the American physicist Robert Millikan, who devised a straightforward method of measuring the minute electric charge that is present on many of the droplets in an oil mist. The force on any electric charge in an electric field is equal to the product of the charge and the electric field. Millikan was able to measure both the amount of electric force and magnitude of electric field on the tiny charge of an isolated oil droplet and from the data determine the magnitude of the charge itself. Millikan's original experiment or any modified version, such as the following, is called the oil-drop experiment. The apparatus associated with Millikan's oil-drop experiment is shown in the Figure. A closed chamber with transparent sides is fitted with two parallel metal plates, which acquire a positive or negative charge when an electric current is applied. At the start of the experiment, an atomizer sprays a fine mist of oil droplets into the upper portion of the chamber. Under the influence of gravity and air resistance, some of the oil droplets fall through a small hole cut in the top metal plate. When the space between the metal plates is ionized by radiation (e.g., X rays), electrons from the air attach themselves to the falling oil droplets, causing them to acquire a negative charge. A light source, set at right angles to a viewing microscope, illuminates the oil droplets and makes them appear as bright stars while they fall. The mass of a single charged droplet can be calculated by observing how fast it falls. By adjusting the potential difference, or voltage, between the metal plates, the speed of the droplet's motion can be increased or decreased; when the amount of upward electric force equals the known downward gravitational force, the charged droplet remains stationary. The amount of voltage needed to suspend a droplet is used along with its mass to determine the overall electric charge on the droplet. Through repeated application of this method, the values of the electric charge on individual oil drops are always whole-number multiples of a lowest value--that value being the elementary electric charge itself (about x coulomb). From the time of Millikan's original experiment, this method offered convincing proof that electric charge exists in basic natural units. All subsequent distinct methods of measuring the basic unit of electric charge point to its having the same fundamental value.

20 De elementaire deeltjes
Voor liefhebbers! De elementaire deeltjes q -e I II III c s   t b   q -e u d e e Opmerking: ieder quark komt voor in drie “kleuren: rood geel blauw

21 Ladingsverdeling  E-veld
qi ri [q]=C P Diskreet: Continu: P r l dl []=C/m r s do []=C/m2 P r r dv []=C/m3 P

22 Welk veldlijnenpatroon hoort bij twee gelijke positieve ladingen?
Discussievraag 1 Welk veldlijnenpatroon hoort bij twee gelijke positieve ladingen? A B C

23 DEMO: elektrische veldlijnen Twee Puntladingen

24 V.b. E-veld puntladingen
Q r q Lading Q in oorsprong Drie ladingen: Q1, Q2 en Q3 Q3 Q1 Q2 q r r1 r2 r3

25 V.b. E-veld dipool Ladingen +q en -q op afstand 2d:
 P d Veld langs lijn o r>>d Taylor truc r>>d - + o 9o E Veld langs lijn o

26 Taylor expansie ƒ(x) x y= ƒ(x) dx dƒ a+ ƒ(a+) a ƒ(a)

27 Of via een trucje

28 DEMO: elektrische veldlijnen Dipool

29 Mathematische dipool

30 V.b. E-veld  lange draad Lijnlading: Berekening E-veld:
homogeen geladen draad ladingsdichtheid dq=dz []=C/m Berekening E-veld: z r O y x P - nadenken: cilinder symmetrie: (rz) dE dEr  - rekenen: dq=dz

31 Getallen  vectoren Etotaal Etotaal P Let op:
Integrant is een vector, d.w.z. Of: je berekent Ex, Ey en Ez   (werk: 3 integralen i.p.v. 1) Of: je beredeneert welke      component je nodig hebt en    vervolgens bereken je die! P Etotaal Etotaal Nooit: de r weglaten d.w.z.    i.p.v. r zelf |r|=1 lezen!

32 DEMO: elektrische veldlijnen Lijnlading

33 DEMO: Twee Lijnladingen

34 I: Wat heb ik geleerd? Lading + of - Kracht en E-Veld Veld uit (r)
(Coulomb) Veld uit (r) Configuraties: puntladingen dipool lijnlading

35 DEMO: Verklaring correct?

36 Inhoud Elektrostatica
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Coordinaten: Cartesisch: die ken je hopelijk al! Bol: §1.4.1 (definitie en volume elementje) Cilinder: §1.4.2 (definitie en volume elementje) Integreren: §1.3.1 (inleiding) Wet van Gauss: §2.2 m.u.v. §2.2.2 (komt pas in college # 4)

37 Coördinaat systemen Cilinder coördinaten Bol coördinaten
Volume integralen Coördinaat systemen Cilinder coördinaten Bol coördinaten

38 Coördinaat systemen Z e  z e ez ex ey er Y X (r,,z) (x,y,z)

39 Volume integraal: cilinder coördinaten
Z dv=(dz) (rd) dr =r dzdrd  dz z dr r  d

40 Voorbeeld: cilinder inhoud
y z x Om de cilinder inhoud te bepalen integreer je de functie “1” over het cilinder volume: Integratie domein: z: [h/2,+h/2] r: [0,R] : [0,2] z=+h/2 z=h/2 r=0 r=R z  r Integraal:

41 Volume integraal: bol coördinaten
Z dv=(rd) (rsind) (dr) =r2sin  d d dr  dr r  rsin d

42 Voorbeeld: bol inhoud z y x   r=R Integratie domein: r: [0,R]
Om de bol inhoud te bepalen integreer je de functie “1” over het bol volume: Integratie domein: r: [0,R] : [0,] : [0,2] r=R r=0   Integraal:

43 V.b.: hoeveel m3 H2O ongeveer op aarde?
Straal aarde:  6.400106 m Gemiddelde H2O laag:  103 m  integratie domein: r: [Ri6.399106 m, Ro6.400106 m] : [0,] : [0,2] Natuurlijk zelfde als volume van een 103 m dikke bolschil bij r= 6.400106 m: H2O  4(6.400106)2 103  5.151017 m3

44 De elektrische flux De wet van Gauss Voorbeelden

45 Flux E E Waterkraan: O O E O Verband tussen:  E O
open/dicht van de kraan “flux” door oppervlak O Waterkraan: O E O  E

46 Gevolg wet van Coulomb Lading Q in middelpunt bol do
R Flux E door boloppervlak wordt: De essentie: - E  1/r2 - boloppervlak  r2 E =Q/0 geldt voor ieder omsluitend oppervlak; niet alleen voor bol met Q in middelpunt!

47 Wet van Gauss: Lading Q omsloten door een boloppervlak Q
Lading Q omsloten door willekeurig oppervlak q Lading q buiten een willekeurig oppervlak

48 V.b. Gauss: dunne draad  E r r h Lijn Dunne  draad:
 - symmetrie: E  draad, E(r) z Dunne  draad: ladingsverdeling: l C/m Lijn  “Gauss box”: cilindertje h r

49  V.b. Gauss: vlakke plaat y E a Plaat Vlakke  plaat:
z x y Vlakke  plaat: ladingsverdeling: s C/m2  Plaat y E symmetrie: E  vlak, E(y) “Gauss box”: kubusje a

50 Discussievraag 2 We beschouwen een massieve niet-geleidende bol met uniforme ladingsdichtheid. Welke grafiek geeft het elektrisch veld als functie van de afstand tot het middelpunt van de bol? R E r A B C D

51 Analyseer via “schetsje”
E-veld voor: bol met straal R uniforme ladingsdichtheid E E E Dus: Indien r<R: E-veld groeit met afstand tot centrum Indien r>R: E-veld neemt af met afstand tot centrum

52  V.b. Gauss: bolvolume E r R r Bol Bolvolume:
ladingsverdeling: r C/m3 R r E R symmetrie: E  bol, E(r) “Gauss box”: bolletje r

53 Overzicht toepassingen wet van Gauss
Symmetrie voor E-veld de essentie! Lijn  E  Plaat E  Bol E

54 II: Wat heb ik geleerd?    E E E Plaat Bol Lijn Veld uit (r)
Volume integralen: • cartesische, cilinder & bol coördinaten Veld uit (r) Lijn  E  Plaat E  Bol E

55 Inhoud Elektrostatica
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Gradiënt: §1.3.2 en §1.3.3 Potentiaal V: §2.3 m.u.v. §2.3.3 Energie & Arbeid: §2.4 m.u.v. begrip divergentie

56 Gradiënt (wiskunde) De gradiënt Voorbeeld

57 Verandering in functie f(x):
Gradiënt: f(x) x Verandering in functie f(x): - lokaal: df dx b a f(a) f(b) - globaal: Verandering in functie T(x,y,z): T(x,y,z) - lokaal: - globaal: TA TB A B

58 dT=Tdl maximaal indien
V.b. gradiënt dT=Tdl maximaal indien (dus “gradiënt”) expliciet voorbeeld: redeneren: T in de radiële richting |T|=1 want dT=dr rekenen:

59 Grafisch

60 De potentiaal Voorbeelden

61 (Elektrische) Potentiële Energie
Hoe bepaal je potentiële energie? Even terug naar Newton en de Zwaartekracht! Arbeid (Work): Hoeveel Arbeid nodig om massa m van hoogte h=0 op hoogte h=h te brengen? object massa m Toren hoogte h h=0 h=h Verschil in potentiële energie  Benodigde Arbeid (Let op: dit is de arbeid die ik moet verrichten!) Ik werk! Laten we dit principe nu eens toepassen om de elektrische potentiële energie te bestuderen!

62 Elektrische Potentiële Energie
Aan ieder punt P kan je een getal VPUP/Q toekennen:  Kracht om een puntlading Q te bewegen in veld van de puntlading q: P q Omdat alleen radiële bijdrage Benodigde Arbeid voor Q van AB (verschil in potentiële energie) A B kring De electrische potentiaal V wordt dus bepaald door , (wanneer we het ‘ijkpunt’ van de potentiaal V slim kiezen)

63 Potentiaal V Dus Gradiënt van V, bepaalt Potentiaal verschil:
Eindpunten A en B bepalen VAB beschouw X,Y,Z componenten: Differentieer VP(X,Y,Z): Controle: Dus Gradiënt van V, bepaalt

64 V.b. potentiaal dipool  P(r,) r Coördinaten voor punt P: (r,):
dcos -q +q 2d p=2qd Bereken nu E via de potentiaal V:

65 Grafisch: elektrische veldlijnen equipotentiaalijnen
Veldlijnen, equipotentiaal lijnen etc. Elektrische veldlijnen: Lijnenpatroon die richting en sterkte van het elektrisch veld weergeeft Equipotentiaallijnen: Kollectie van krommen waarbij langs iedere kromme de potentiaal een constante waarde heeft Omdat E-V en omdat V de richting aangeeft waarin V het sterkst verandert staat E  krommen met V=constant!

66 Discussievraag 3 Voor een puntlading geldt E~1/r2 en V~1/r Voor een lijnlading geldt E~1/r je verwacht voor V: A V = constante B V ~ ln r C V ~ 1/r D V ~ r

67 V.b. potentiaal  lange draad
z rP p Bereken VP direct: dq=dz Wat mis? Uitdrukking V geldt indien V()=0! Hoe wel? Kies V=0 referentie punt anders: r=1 r= 

68 Energie Het verslepen van lading: arbeid
De energie van een collectie puntladingen

69 Lading verslepen  arbeid
Voor veld puntlading geldt: q Arbeid bij verplaatsing E-veld: F.Linde: Tenzij anders wordt vermeld: arbeid verricht door E-veld! F.Linde l Superpositie principe leert dat elk E-veld gelijk is vectorsom E-velden puntladingen! Voor de kracht F op lading q in veld E geldt: E F q

70 Energie van een ladingsverdeling
Energie in ladingsconfiguratie? q1 q2 q4 q3 r24 Voor N ladingen q1, q2, ... Integreer kracht op q van    q Q P Voor energie U: (Uveld=-Wveld)

71 Energie ladingsverdeling
III: Wat heb ik geleerd? Kracht, E-Veld en Potentiaal Gradiënt Energie ladingsverdeling

72 Inhoud Elektrostatica
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Divergentie: §1.2.4 Stelling van Gauss: §1.3.4 Energie & Arbeid: §2.4 inclusief begrip divergentie

73 Stelling van Gauss (wiskunde)
De divergentie De stelling van Gauss Voorbeeld

74 Divergentie: dz dy dx Beschouw lokaal de uitdrukking (Gauss):
Compactere notatie via “divergentie”: dx dy E(x+dx,y,z) dz E(x,y,z) Beschouw lokaal de uitdrukking (Gauss): Dus:

75  R E Bol  de term divergentie! simpel bolvolume r
Voor r>R vind je .E=0 (mogen jullie zelf verifiëren)

76 Stelling van Gauss (wiskunde)
Er volgt meer! dx dy A(x+dx,y,z) dz A(x,y,z) Opmerking: consistentie keuze oriëntaties vereist! Willekeurig volume: volume i oppervlak

77 V.b. divergentie en Gauss
x y z A(x,y,z) expliciet voorbeeld: rekenen: Gauss:

78 De link: wiskunde & natuurkunde
M.b.v. Wet van Coulomb gevonden: Q M.b.v. Stelling van Gauss kan je “integrale” verband tussen E-veld en ladingsverdeling omzetten in “differentiaal verband: Wiskunde: Gauss Natuurkunde: Coulomb/Gauss Q

79 Discussievraag 4 Het veld rond lijnlading is hieronder geschetst. De gelijkheid •E = 0 geldt: Zij-aanzicht A overal B overal, behalve op de lijn C nergens, behalve op de lijn D nergens bovenaanzicht

80 De energie van een ladingsverdeling (r) Voorbeelden

81 Energie ladingsverdeling:
Nogmaals de energie Energie ladingsverdeling: Energie in termen van E-veld? Gebruik: Afleiding voor liefhebbers!  0

82 Energie geladen boloppervlak
straal R en lading Q (dus =Q/4R2) R  Energie geladen boloppervlak R r V-E 1e methode: via  en potentiaal 2emethode: via E-veld

83 Energie geladen bolvolume
straal R en lading Q (dus =3Q/4R3)  R Energie geladen bolvolume r V-E R 1e methode: via het E-veld 2e methode: via  en de potentiaal V 3e methode: laagsgewijs: straal r “groeit” van r=0 naar r=R

84 Energie ladingsverdeling
IV: Wat heb ik geleerd? Divergentie Verband E en  Wiskunde: Gauss Natuurkunde: Coulomb/Gauss Energie ladingsverdeling

85 Inhoud Elektrostatica
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Geleiders: §2.5 Beeldladingen: §3.2 m.u.v. §3.2.4 Condensator: §2.5.4

86 De beeldladings methode De symmetrie (Gauss) methode
Geleider De karakteristieken De beeldladings methode De symmetrie (Gauss) methode De condensator Voorbeelden

87 Materie: de geleider  E Eextern
Geleider: () veel vrije ladingsdragers! +Q Extern veld Eextern  lading op de rand E E  geleideroppervlak E=0 in geleider Vgeleider=constant V=constant Karakteristieken: =0 in geleider

88 DEMO: Ladingstransport

89 Geleider: Hoe pak je het aan?
Bekend: E=0 in geleider E  geleideroppervlak potentiaal V (of lading Q) Onbekend: oppervlakteladingsverdeling  II. Simuleer invloed geleider door ladingen? “beeldladings methode” geeft E V=0 Q d I. symmetrie  richting van E? wet van Gauss geeft E Q E Q -Q

90 Beeldladingsmethode -Q Q E +d -d V=0 Q E d z y x

91 Discussievraag 5 In de onderstaande situatie met twee even grote maar tegengestelde ladingen geldt: A E=0 op het hele oppervlak oppervlak B De component van E loodrecht op het oppervlak is overal nul C A en B zijn beide onjuist

92 Puntlading met geleidende bolschil
Symmetrie: E-veld radieel  wet van Gauss E r a b E-V b a Q

93 Condensator E -Q +Q C heet: “capaciteit”
Eenheid: [C]=[Q]/[V]=Coulomb/VoltFarad Praktijk: F d.w.z F

94 V.b. plaatcondensator Plaatcondensator: lading Q separatie d E
oppervlak A

95 DEMO: Plaatcondensator

96 V.b. Cilinder- en bolcondensator
lengte L>>b stralen a en b lading Q a b +Q E Boloppervlakken stralen a en b lading Q a b +Q E

97 E via Gauss (symmetrie)
V: Wat heb ik geleerd? Materialen: Geleider E via Gauss (symmetrie) Beeldladingsmethode V=constant  E Condensator E -Q +Q

98 Inhoud Elektrostatica
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Materie: §4 m.u.v. de moeilijke stukken!

99 Isolator (Dielektricum)
De polarisatie microscopisch bekeken Polarisatie en “gebonden” lading De elektrische verschuiving D Lineaire isolatoren Voorbeelden: energie en kracht

100 Polarisatie neutraal atoom
-Q d E +Q FE Fe bolsymmetrisch dipoolmoment R elektronenwolk uniforme bol (R) +Q -Q Element Z /0 Helium x10-30 m3 Neon x10-30 m3 Argon x10-30 m3 Waterdamp 500x10-30 m3 Kern lading

101 Polarisatie polair molecuul
H O Moleculen intrinsiek dipoolmoment p Voor E=0: oriëntatie p random O H E Voor E0: oriëntatie p // E +q -q E F-q F+q

102 Materie: de isolator (lastig!)
Isolator: geen vrije ladingsdragers! Eextern Karakteristieken in E-veld: P - materie polariseert d.w.z. atomaire dipooltjes p - deze lading genereert E-veld: tegengesteld externe E-veld Epolarisatie E - polarisatie geeft ladingsscheiding + lading in richting p - lading tegengesteld p Tenslotte: originele E-veld verandert!

103 MicroscopischMacroscopisch
dipoolmoment/volume  Polarisatie P P [P] = Coulomb/meter2 p [p] = Coulombmeter “Eenvoudige” lineaire relatie tussen: polarisatie P en resulterend veld E

104 Polarisatie P “gebonden” lading
Onder aanname Van uniforme polarisatie Polarisatie P “gebonden” lading s P p P P P  Dus equivalentie: - uniform gepolariseerd volume - lading pol=Pcos op oppervlak

105 oppervlakte en volume lading (I)
dz

106 oppervlakte en volume lading (II)

107 Polarisatie P(x,y,z) “gebonden” lading (III)
Voor liefhebbers  Pz t.g.v. Pz O z x y dy dx dz (x,y+dy,z) (x,y,z+dz) (x,y,z) t.g.v. Py Py 

108 E veld van een gepolariseerd materiaal
+ Netto + - ALTIJD oplosbaar mbv superpositie-beginsel Non-uniforme polarisatie: later Van uniforme polarisatie Onder aanname + - =Pn Fysisch equivalent: 2 geladen platen Ofwel de Plaatcondensator! + - E

109 Polarisatie van een materiaal in E-veld
Wij werken in dit college alleen met lineaire materialen! Eenvoudigste relatie E en P : + Netto P + - Onder aanname van lineair di-elektrikum Opgelegd veld: Eo

110 Lading op een gepolariseerde bolschil
Een bolschil van een lineair di-electrikum wordt gepolariseerd d.m.v. een puntlading in de oorsprong en daarna ‘ingevroren’. Waar zit de gebonden lading? Wat is het resulterende E veld? P Nu we ladingen kennen, kunnen we E-veld overal berekenen. Dat zou ondertussen een eenvoudige bezigheid moeten zijn! Volgende stap: wat is Qpol ?

111 De elektrische verschuiving D
E-veld wordt bepaald door totale ladingsverdeling. Daarom beschouwen het E-veld ten gevolge van vrije lading en gebonden (of polarisatie) lading. Voor E-veld (divergentie stelling): D is een ‘hulpveld’ om rekenen makkelijker te maken! Gevolg: het uiteindelijke E-veld ten gevolge van vrije ladingen en gepolariseerde (lineaire) materialen hangt alleen en slechts alleen af van de vrije ladingen! En de polarisatie P dus ook.

112 De elektrische verschuiving D
E-veld wordt bepaald door totale ladingsverdeling. Gebruik daarom i.p.v. polarisatie equivalente oppervlakte spol en volume pol ladingsdichtheden!  0 Voor liefhebbers D=Q/4r2 Voor E-veld (divergentie stelling): Qvrij 0E=D E=? P E Voor D-veld: Epol

113 Vlakke isolator met di-electrikum
Eenvoudigste relatie E en P: Nu volgt overal E uit D: d a + D E pol=Pn -0eEcond

114 DEMO: Plaatcondensator met dielektricum

115 Microscopisch  Macroscopisch
-Q +Q Neutraal atoom Neutraal atoom: Lineaire isolator:  Isolator gas E P Van  naar e voor gas:  6x1023 [atomen/Mol] x 50 [Mol/m3]  3x1025 [atomen/m3] Element Z / e Helium x10-30 m Neon x10-30 m Argon x10-30 m

116 VI: Wat heb ik geleerd? Materialen: Isolator p D via Gauss (symmetrie)
Integratie polarisatieveld

117 Discussievraag 6 Een diëlektrische plaat bevindt zich voor de helft in een geladen condensator. De condensator is geïsoleerd van de omgeving. Op de plaat werkt: A geen kracht B een kracht naar links C een kracht naar rechts

118 Isolatoren: energie en kracht
Vacuüm: Isolator: d a Gevraagd: - Kracht F op isolator Aanpak: 1. Via U(x)  F=-dU/dx Opties: A. Q constant B. V constant (lastig!) E -Q +Q Condensator V Batterij doet werk! Condensator e x F

119 Sectie voor liefhebbers! Inhoud Elektrostatica Sectie voor
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Potentiaal vergelijkingen (geen college stof; niet behandeld) Griffiths: Poisson & Laplace: §3.1 Sectie voor liefhebbers! Sectie voor liefhebbers!

120 Potentiaal vergelijkingen
Sectie voor liefhebbers! Potentiaal vergelijkingen De Poisson en Laplace vergelijkingen Karakteristieke eigenschappen Uniciteit van V en E Voorbeeld: beeldladings methode

121 Poisson en Laplace vergelijkingen
Coulomb krachtwet levert: 1e integraal:  potentiaal V 2e integraal:  verband E en  Gevonden: 2e orde differentiaal (afgeleiden) vergelijking voor potentiaal V!

122 Laplace () in 1 dimensie
1 dimensie: V=V(x) en oplossing: x V V(x) Eigenschappen: Bewijs: Bewijs: extremum weg van rand in conflict met (1)

123 Laplace () in 3 dimensies
3 dimensies: V=V(x,y,z) en oplossingen: Bewijs (q buiten bol want  binnen bol): Voor liefhebbers! P q rP  R Eigenschappen:

124 Uniciteit van de potentiaal
Vraag: - begin(rand)voorwaarden voor potentiaal probleem? - oplossing potentiaal probleem uniek? 1 dimensie: x V V(x) V(x) op de rand geeft unieke oplossing 3 dimensies: stel 2 verschillende oplossingen V1 en V2 V geen extrema binnen volume  overal V=0! Algemeen: Specificatie V(x,y,z) op alle randen  unieke oplossing Laplace (Poisson) vergelijking! wat is potentiaal hier? potentiaal gegeven op de rand V(x,y,z)

125 V.b. uniciteit: beeldladings methode
Q d x y z Configuratie: lading Q op afstand d van  plaat plaat wordt op V=0 gehouden Vraag: hoe ziet veld eruit? Rekenen lukt niet! Denken wel: dipool! Q -Q 1. Voldoet aan randvoorwaarden 2. Uniciteit garandeert oplossing correct! (althans in het gebied z>0)