ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Redeneren over kennis: herbekeken.

Presentatie over: "ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Redeneren over kennis: herbekeken."— Transcript van de presentatie:

1 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Redeneren over kennis: herbekeken

2 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Gegeven: –Alle vogels vliegen. –Victor is een vogel. Bewijs dat Victor vliegt.  x.(vogel(x)  vliegt(x)). vogel(victor) Vorige keer… vliegt(victor) vogel(victor) vliegt(X) :- vogel(X).  vogel(victor).

3 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Bijkomende informatie Ik heet Victor! Alle vogels vliegen. Struisvogels zijn vogels. Struisvogels vliegen niet. Victor is een struisvogel.

4 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Victor vliegt? vliegt(X) :- vogel(X). vogel(X) :- struisvogel(X). niet_vliegt(X) :- struisvogel(X). struisvogel(victor). vliegt(victor) vogel(victor) vliegt(X) :- vogel(X). niet_vliegt(victor) struisvogel(victor) vogel(X) :- struisvogel(X).  struisvogel(victor). struisvogel(victor) niet_vliegt(X) :- struisvogel(X).  struisvogel(victor). Alle vogels vliegen. Struisvogels zijn vogels. Struisvogels vliegen niet. Victor is een struisvogel.

5 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Redeneren: monotoon en niet-monotoon Oud redeneren blijft altijd geldig! – ` is monotoon: als Δ ` φ dan voor ieder Γ, Δ  Γ ` φ Menselijk redeneren is niet monotoon. –We kunnen onze beslissingen herzien. Hoe weten we welke kennisonderdeel het meest geschikt is?

6 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Oplossing: Redeneren met verstekwaarden Neem aan dat een vogel vliegt tenzij het bekend is dat hij niet vliegt. Neem aan dat de maximale snelheid 50 km/u is tenzij het anders aangegeven is.

7 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Internationale handel “Free-on-Board” betekent o.a. koper is aansprakelijk voor schade ontstaan op zee; –tenzij, verkoper de spullen niet goed ingepakt heeft; tenzij, de verkoper door de koper niet geïnformeerd was over de extreme vervoersomstandigheden waardoor de schade ontstaan is

8 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Verstekwaarden uitzonderingen gewoontes, richtlijnen, normale gang van zaken vaak: impliciete kennis –Kees is een jongensnaam –maar Kees Flodder

9 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Verstekwaarden of geen verstekwaarden? A. Jan is 43 jaar oud. B. Uilen jagen ‘s nachts.

10 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Formalisering van het redeneren met de verstekwaarden 1.Aanname van een gesloten wereld (Closed-world assumption, CWA) 2.Circumscriptie 3.Logica met verstekwaarden 4.Autoepistemische logica

11 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Zijn er vluchten vanuit Eindhoven naar Turijn? Aanname van een gesloten wereld Opmerkingen: minder ware stellingen dan valse, vals = niet in het lijstje van de ware stellingen

12 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Neem aan dat atomaire p false is tenzij het bekend is dat p true is. Formeel: KB + = KB  {  p | p is atomaire en KB ² p} KB – kennisbank, gegeven kennis Aanname van een gesloten wereld (CWA)

13 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Zijn er vluchten vanuit Eindhoven naar Turijn? Aanname van een gesloten wereld Nee Omdat we niet weten dat ze er zijn!

14 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica KB = “Het is een vaas of het zijn twee gezichten.” KB + = KB  {  p | p is atomaire en KB ² p} A. KB + ² “Het is een vaas” C. A en B B. KB + ² “Het is geen vaas” D. nog A nog B

15 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Inconsistente KB + KB + = KB  {  p | p is atomaire en KB ² p} KB = vaas Ç gezichten KB + = {vaas Ç gezichten, : vaas, : gezichten} –Let op: (vaas Ç gezichten) Æ ( : vaas) Æ ( : gezichten) = false. –KB + is inconsistent “  ²  als zodra de formules van  waar zijn, is ook  waar” –Waar voor iedere , o.a. voor vaas en  : vaas 

16 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Gesloten wereld: voor- en nadelen  Eenvoudig en intuïtief.  KB + kan inconsistent zijn in de aanwezigheid van disjuncties.  Makkelijk uit te breiden voor de proposities  Veel moeilijker voor de predikatenlogica Meer: Brachman, Levesque 11.2.

17 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Huiswerk 3 Soms: Prolog = de aanname van een gesloten wereld. NIET JUIST! –Prolog = negatie als eindig falen (negation as finite failure). Zoek uit wat het verschil is tussen de twee, besprek de voor- en de nadelen. Deadline: 24 april 2007.

18 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Negatie als falen We moeten toch iets doen met termen Neem aan dat p false is tenzij p bewijsbaar is. KB + = KB  {  p |  p} not p – p kan niet bewezen worden

19 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica vliegt(X) :- vogel(X), not(struisvogel(X)). vogel(X) :- struisvogel(X). vogel(vincent). struisvogel(victor). In logisch programmeren: ` is resolutie. ?- vliegt(victor) A. Ja B. Nee ?- vliegt(vincent) A. Ja B. Nee

20 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica vliegt(victor) vliegt(X) :- vogel(X), not(struisvogel(victor)). vogel(victor), not(struisvogel(victor)) struisvogel(victor), not(struisvogel(victor)) vogel(X) :- struisvogel(X). not(struisvogel(victor)) struisvogel(victor).  struisvogel(victor) fail vogel(vincent)

21 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica vliegt(vincent) vliegt(X) :- vogel(X), not(struisvogel(victor)). vogel(vincent),not(struisvogel(vincent)) struisvogel(vincent), not(struisvogel(vincent)) vogel(X) :- struisvogel(X). fail struisvogel(victor). fail not(struisvogel(vincent)) vogel(vincent) struisvogel(vincent) 

22 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Waar wordt het gebruikt?

23 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Circumscriptie Struisvogels zijn niet de enige vogels die niet vliegen… –pinguins –speelgoed –kakapo Abnormaal Doel: Trek conclusies die de verzameling van de abnormale objecten zo klein mogelijk maken

24 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Intuïtie Gegeven 8 x ((vogel(X)  ab(X)) ! vliegt(x)) Æ vogel(vincent) Æ vogel(victor) Æ ab(victor) Dus 8 x ((vogel(x) Æ : vliegt(x)) Ç (x = victor) ! ab(x)). CIRC vervangt ! door ´ Dus 8 x [ab(x) ´ (x=victor Ç (vogel(x) Æ : vliegt(x)))]

25 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Circumscriptie Predikaat ab Neem aan dat p false is tenzij het ab “kleiner” maakt. p · q: – 8 x (p(x) ! q(x)) p ´ q: – 8 x (p(x) $ q(x)) p<q: –(p · q) Æ : (p ´ q) 8 x (vogel(X)  ab(X)) ! vliegt(x) Æ vogel(vincent) Æ vogel(victor) Æ ab(victor) Neem aan:  ab(vincent) anders is ab “groter”. Dus vliegt(vincent)!

26 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Circumscriptie CIRC[  ;P] =  (P) Æ :9 p [  (p) Æ p<P] –  formule –P te minimaliseren predikaat –p predikaatvariabel met evenveel argumenten als P Abnormale dingen zijn alleen diegene die echt abnormaal moeten zijn!

27 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Groep A: CIRC[P(a) Æ P(b); P] –a en b zijn de enige waarden van P: 8 x [P(x) ´ x = a Ç x = b] Groep B: CIRC[ : P(a); P] –er zijn geen P: 8 x : P(x)

28 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Nogmaals… Groep A: CIRC[ 8 x P(x); P] –alle x zijn P: 8 x P(x) Groep B: CIRC[ 9 x P(x); P] –er is maar één x dat P: 9 x 8 y [P(y) ´ x = y]

29 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Te kort door de bocht? voorbeeld ´ 8 x ((vogel(X)  ab(X)) ! vliegt(x)) Æ vogel(vincent) Æ 8 x (struisvogel(x) ! (vogel(x) Æ : vliegt(x)) CIRC[voorbeeld;ab] ² 8 x (struisvogel(x) ! ab(X)) CIRC[voorbeeld;ab] ² :9 x struisvogel(x) Dat willen we niet! Struisvogels bestaan wel…

30 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Variabele en vaste predikaten Doel: maak de verzameling van de abnormale objecten zo klein mogelijk –Maar behoud sommige predikaten vast! CIRC[  (P,Z);P;Z] =  (P,Z) Æ :9 p,z[  (p,z) Æ p<P] – , P, p – zoals eerder –Z lijst van de variabele predikaten –z lijst van de predikaatvariabelen voor de variabele predikaten

31 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Variabele en vaste predikaten CIRC[  (P,Z);P;Z] =  (P,Z) Æ :9 p,z[  (p,z) Æ p<P] In ons geval: –CIRC[voorbeeld; ab; vogel, vliegt]: 8 x [ab(x) ´ struisvogel(x)] –Struisvogels zijn enige abnormale wezens…

32 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica CIRC[P(a) Æ P(b); P] –a en b zijn de enige waarden van P: – 8 x [P(x) ´ x = a Ç x = b] CIRC[P(a) Æ P(b); P; a, b] - ??? A.Hetzelfde als CIRC[P(a) Æ P(b); P] B.Niet hetzelfde.

33 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica CIRC vs. CIRC Stelling CIRC[  (P,Z);P;Z] =  (P,Z) Æ CIRC[ 9 z  (P,z);P] Bij ons CIRC[P(a) Æ P(b); P; a, b]=Stelling P(a) Æ P(b) Æ CIRC[ 9 z 1,z 2 P(z 1 ) Æ P(z 2 ); P]=Logica P(a) Æ P(b) Æ CIRC[ 9 z P(z); P]=Groep D P(a) Æ P(b) Æ 9 x 8 y [P(y) ´ x = y]=Logica 8 x [P(x) ´ x=a] Æ a=b

34 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Circumscriptie: voor- en nadelen  Expliciet redeneren over “abnormale” objecten  Formules zijn van tweede orde logica –Moeilijk mee te rekenen  Resultaten zijn niet altijd uitdrukbaar in de eerste orde logica –CIRC(P(a) Æ8 x[P(x) ! P(f(x))];P) = {a, f(a), f(f(a)), …}

35 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica SCAN Execution Protocol Input file for the translation program … circ(['all x (((vogel(x) & -vliegt(x)) | (x = victor)) -> ab(x))'],['ab'],[]). Activation of the translation and SCAN … result (all x0 (-ab(x0) | (vogel(x0) & -vliegt(x0)) | x0 = victor))

36 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Huiswerk 4 Hoe moeilijk is het berekenen van CIRC? Bespreek de complexiteit van de prepositionele circumscriptie. –Th. Eiter, G. Gottlob: Propositional Circumscription and Extended Closed-World Reasoning are  p 2 -Complete. Theor. Comput. Sci. 114(2): 231-245 (1993) –L. M. Kirousis, Ph. G. Kolaitis: A Dichotomy in the Complexity of Propositional Circumscription. Theory Comput. Syst. 37(6): 695-715 Wat is een prepositionele circumscriptie? Wat is  p 2 ? Over welke dichotomie gaat het? Deadline: 24 april 2007.

37 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Skiprobleem Als vandaag de laatste werkdag is voor de vakantie en er is geen reden om aan te nemen dat er niet genoeg sneeuw ligt dan gaat Johan skiën

38 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Logica met verstekwaarden  :  /  als –  geldt en –het is consistent om  te geloven –dan  8 x (struisvogel(x) ! ab(x)) 8 x (struisvogel(x) ! vogel(x)) vogel(x): : ab(x)/vliegt(x) Struisvogels vliegen niet, andere vogels wel.

39 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Logica met verstekwaarden 8 x (struisvogel(x) ! ab(x)) 8 x (struisvogel(x) ! vogel(x)) struisvogel(victor) vogel(x): : ab(x)/vliegt(x) Uitbreiding: KB + = {  | EOL [ {  |  :  /  2 Verstekregels,  2 KB +, :  2 KB + } ²  }

40 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica KB + = {  | EOL [ {  |  :  /  2 Verstekregels,  2 KB +, :  2 KB + } ²  } KB 0 = KB KB 1 = {  | EOL [ {  |  :  /  2 Verstekregels,  2 KB 0, :  2 KB 0 } ²  } KB 2 = {  | EOL [ {  |  :  /  2 Verstekregels,  2 KB 1, :  2 KB 1 } ²  } … Tot aan de vaste punt!

41 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica KB + grasIsNat grasIsNat : regen / regen grasIsNat  (regen  sprinkler) :  regen /  regen KB 0 = {grasIsNat} KB 1 = {  | EOL [ {  |  :  /  2 Verstekregels,  2 KB 0, :  2 KB 0 } ²  } Alleen de eerste verstekregel is van toepassing: KB 1 = {grasIsNat, regen} KB 2 : De tweede regel is niet van toepassing (regen 2 KB 1 ). Dus KB + = KB 1

42 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica bierliefhebber(x): : sportief(x)/bierbuikje(x) 8 x (student(x) ! bierliefhebber(x)) 8 x (student(x) ! sportief(x)) student(martijn) A.bierbuikje(martijn) 2 KB + B.bierbuikje(martijn) 2 KB +

43 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Wat betekent  :  /  ? A.Altijd true B.Altijd false C.Als  x  waar is, neem aan ook dat  x  zolang  x  consistent is. D.Als  x  waar is, neem aan ook dat  x  zolang  x  inconsistent is.

44 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Verstekwaarden? Richard Nixon, Kwaker en republikein Republikeinen zijn gewoonlijk geen pacifisten. Kwakers zijn gewoonlijk pacifisten

45 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Kwaker(nixon) Republikein(nixon) Kwaker(x):Pacifist(x) /Pacifist(x) Republikein(x): : Pacifist(x) / : Pacifist(x) Wat denken jullie? Waarom? A.Pacifist(nixon) B. : Pacifist(nixon)

46 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Er zijn dus twee verschillende KB + ’s! Een met Nixon – pacifist en een met Nixon – geen pacifist…

47 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Kwaker(nixon) Republikein(nixon) A. Goedgelovig redeneren: kies één KB + en geloof erin: : Pacifist(nixon) of Pacifist(nixon) B. Sceptisch redeneren: geloof in  als  in alle mogelijke KB + voorkomt: : Pacifist(nixon) Pacifist(nixon)

48 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Problemen: goedgelovig De keuze van KB + lijkt willekeurig…

49 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Problemen: sceptisch Niet echt intuïtief: grasIsNat grasIsNat : regen / regen grasIsNat  (regen  sprinkler) :  regen /  regen KB={grasIsNat} gelooft in regen en regen  sprinkler KB = {grasIsNat,regen  sprinkler} gelooft in regen niet meer.

50 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica

51 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Huiswerk 5 Veel verschillende varianten van verstekregels Kies er één van, bestudeer en vat samen! Zoek bijvoorbeeld: priorities, quasi-default, cautious semantics, justified semantics, cumulative default logics, … Deadline: 24 april 2007.

52 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Verstekregels: voor- en nadelen  Expliciet gebruik maken van de verstekwaarden  … maar geen mogelijkheden om over de regels zelf te redeneren –“Als  :  /  dan :  :  / :  ” is niet uit te drukken!  Meestal intuïtief  …maar niet altijd –true:p/ : p (probeer thuis)

53 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica   –ik  weet  [Moore] –ik geloof in  [Marek, Truszczyński] Let op! – :   “ik weet niet of  waar is” –  :  “ik weet dat niet  waar is”

54 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Formaliseer het leerproces volgens de onderwijskunde A.Onbewust onbekwaam: ik weet niet dat ik  niet weet. –::–:: B.Bewust onbekwaam: ik weet dat ik  niet weet. – :– : C.Bewust bekwaam: ik weet dat ik  weet. –   D.Onbewust bekwaam: ik weet niet dat ik  weet. – :  

55 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Wat heeft het met verstekwaarden te maken? KB + is een stabiele uitbreiding van KB als – KB + ²  )  2 KB + –  2 KB + )   2 KB + –  KB + ) :   2 KB + KB* zodanig dat –als KB* `  dan  2 KB  voor alle stabiele uitbreidingen KB +. –als KB* `  dan ja!

56 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Waarom is KB * interessant? We kunnen ermee rekenen! KB* = KB + vier axioma’s + alle prepositionele tautologieën ` : –Meervoudig Modus Ponens: {  1 !  2, …,  n  !  n,   } `  n. –Noodzak:  `  

57 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Waarom zijn stabiele KB + interessant? Axioma's: – K:  (  !  ) ! (   !   ) – T:   !  – 4:   !   – 5:  :   !   :      zijn willekeurige formules! Axioma’s + afleidingsregels = S5

58 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Vraag: KB* `  (p Ç : p) A.Ja B.Nee C.Afhankelijk van de waarde van p KB* = KB + vier axioma’s + alle prepositionele tautologieën –MMP: {  1 !  2, …,  n  !  n,   } `  n. –Noodzak:  `  

59 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Wat hebben we gedaan? 1.Neem één van de feiten: prepositionele tautologie, of een instance van een axioma    zijn willekeurige formules! 2.Pas één van de afleidingsregels toe. 3.Herhaal het proces tot dat het nodige bewezen is!

60 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Een groter voorbeeld ¤ (  !  ) ! ¤ ( ¤  ! ¤  ) “Weten = toepassen” Als ik een regel weet dan weet ik dat als ik een antecedent weet, weet ik ook het gevolg Hoe kunnen we het bewijzen? [K] ¤ (  !  ) ! ( ¤  ! ¤  ) [N] ¤ ( ¤ (  !  ) ! ( ¤  ! ¤  )) [K] ¤ ( ¤ (  !  ) ! ( ¤  ! ¤  )) ! ( ¤¤ (  !  ) ! ¤ ( ¤  ! ¤  ) ) [MPP] ¤¤ (  !  ) ! ¤ ( ¤  ! ¤  ) [4] ¤ (  !  ) ! ¤¤ (  !  ) [MMP] ¤ (  !  ) ! ¤ ( ¤  ! ¤  ). K:  (  !  ) ! (   !   ) T:   !  4:   !   5:  :   !   :   Meervoudig Modus Ponens: {  1 !  2, …,  n  !  n,   } `  n. Noodzak:  `  

61 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Bewijs ¤ (  ! : ¤  ) ! (  ! ¤ : ¤  ) Thuisoefening

62 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica ?

63 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Logisch programmeren S5 BasiskennisFeiten en regels Axioma’s en tautologieën AfleidingsregelResolutieMeervoudig Modus Ponens, Noodzak Vervolgvak: 2IF40 Proving with computer assistance2IF40 Proving with computer assistance

64 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Autoepistemisch: voor- en nadelen  Expliciet gebruik maken van kennis over kennis  Goed geschikt voor modelleren van verschillende agenten  Ieder agent zijn eigen axioma’s en afleidingsregels  Toepassing: verificatie van de beveiligingsprotocollen  …

65 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Huiswerk 6 ¤ p wordt ook gebruikt als “altijd p” of als “het is verplicht dat” –Lees over modale logica’s –Voorbeelden van: temporele, deontische logica’s –Kies een. Schrijf een verslag: modale logica’s in het algemeen, voorbeeld van een temporele/deontische logica, axioma’s die ervoor van toepassing zijn. Deadline: 24 april 2007.

66 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica Wat hebben we gezien? 1.Problemen met monotoon redeneren 2.Oplossing: redeneren met verstek waarden 3.Vijf aanpakken: 1.Aanname van een gesloten wereld (Closed- world assumption, CWA) 2.Negatie als falen (Negation as failure) 3.Circumscriptie 4.Logica met verstekwaarden 5.Autoepistemische logica

67 ProblemenRedeneren met verstekwaarden Gesloten wereld CircumscriptieLogica met verstekwaarden Autoepistemis che logica