BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 4 Differentie- en differentiaalvergelijkingen.

Presentatie over: "BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 4 Differentie- en differentiaalvergelijkingen."— Transcript van de presentatie:

1 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 4 Differentie- en differentiaalvergelijkingen

2 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Onderwerpen z De rijkdom van Jane z Een eerste orde differentievergelijking z Oplossen van differentievergelijkingen z Hogere orde differentievergelijkingen z Een dieet z Een eerste orde differentiaalvergelijking z Scheiden van variabelen

3 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Differentie- en differentiaalvergelijkingen z Wanneer zveranderingen over tijd spelen een rol z Veranderingen gebeuren in stapjes (discreet) zdifferentievergelijkingen z Veranderingen gebeuren continu zdifferentiaalvergelijkingen

4 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Hoe Jane rijk werd z Een ouderpaar besluit bij de geboorte van hun dochter Jane elk jaar op haar verjaardag ƒ 200,- op haar spaarbankboekje te storten. De eerste storting vindt plaats op de dag van Jane’s geboorte. Buiten dit jaarlijkse spaarbedrag wordt er niets op de spaarrekening gestort. Evenmin wordt er voor Jane’s twintigste verjaardag een bedrag opgenomen van de rekening. Elk jaar wordt op Jane’s verjaardag een rente van 5% over het totale bedrag bijgeschreven

5 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Opbouw van Jane’s vermogen 0 200 1 + 0.05  200 + 200 = 410 2 410 + 0.05  410 + 200 = 630.5 3 630.5 + 0.05  630.5 + 200 = 826.025 0.05  200 + 200 0.05  410 + 200 0.05  630.5 + 200 JaarVermogen Definieer: K n is het vermogen in jaar n Dan is:K n+1 - K n = 0.05  K n + 200 1 e orde differentie KnKn

6 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Naamgeving  K n = 200 + 0.05K n  K n+1 - K n = 200 + 0.05K n  K n+1 = 200 + 1.05K n 1 e orde lineaire differentievergelijking lineaire recurrente betrekking

7 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 K n+1 = 200 + 1.05K n K 1 = 200 + 1.05  200 = 200(1 + 1.05) K 2 = 200 + 1.05  K 1 = 200 + 1.05  = 200(1 + 1.05 + 1.05 2 ) K 3 = 200 + 1.05  K 2 = 200 + 1.05  = 200(1 + 1.05 + 1.05 2 + 1.05 3 ) K n = 200(1 + 1.05 + 1.05 2 +…+ 1.05 n ) 200  (1+ 1.05) 200  (1+ 1.05 + 1.05 2 )

8 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Jane’s vermogen in jaar n K n = 200(1 + 1.05 + 1.05 2 +…+ 1.05 n ) 1.05K n = 200(1.05 + 1.05 2 + 1.05 3 +…+ 1.05 n+1 ) - 1.05K n - K n = 200(1.05 n+1 - 1)

9 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Algemene oplossing 1 e orde vergelijking z 1 e orde lineaire differentievergelijking z  u n = a + (b-1).u n z 1 e orde lineaire recurrente betrekking zu n+1 = a + b.u n z Algemene oplossing:  Homogene differentievergelijking:  u n = (b-1).u n

10 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Hogere orde differentievergelijkingen z Hogere orde differenties zverschillen van verschillen z  2 u n =  u n+1 -  u n = u n+2 - u n+1 - (u n+1 - u n ) = u n+2 - 2u n+1 + u n z Voorbeeld zY n+3 - 3Y n+2 + 8Y n+1 -4Y n = 0 z3e orde homogene lineaire differentievergelijking z3 beginvoorwaarden nodig

11 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Afvallen z Door de toepassing van een streng dieet valt een persoon van 90 kg in 30 dagen 10 kg af. Er is vastgesteld dat het gewichtsverlies per dag evenredig was met het gewicht op dat moment. z Beschrijf het afvalproces door middel van een differentiaalvergelijking

12 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Een afval differentiaalvergelijking z Definieer zx(t) is het gewicht op moment t z Dan is zx(t) de verandering in gewicht op moment t z Er geldt: x(t) =  x(t) =  x gewichtsverlies is evenredig met gewicht zelf

13 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 x(t) =  x z 1 e orde differentiaalvergelijking zalleen eerste afgeleide z Oplossen door scheiden van variabelen z 2 variabelen zxzx ztzt

14 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Scheiden van variabelen

15 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Bekende gegevens invullen Begingewicht: 90 kg In 30 dagen 10 kg afgevallen x(0) = 90 x(30) = 80