Download de presentatie
De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub
GepubliceerdValentijn Koning Laatst gewijzigd meer dan 10 jaar geleden
1
Inhoud (1) De ontwerpruimte en haar terminologie
Het ontwerptraject Boole-algebra en functies definities en eigenschappen van Boole-algebra en functies representaties van Boolese functies Schakelnetwerken en hun bouwstenen poortnetwerken versus taknetwerken analyse van taknetwerken Standaardcomponenten Programmeerbare componenten ASIC-bouwstenen Synthese van poortnetwerken Algebraïsche minimalisatie Implicantenmethoden: McCluskey’s algoritme Topologische en heuristische methoden Meerniveausynthese Digitale elektronica
2
Boole-algebra definitie
Digitale elektronica
3
Boole-algebra voorbeeld 1
Digitale elektronica
4
Boole-algebra voorbeeld 2
Digitale elektronica
5
Boole-algebra voorbeeld 3
Digitale elektronica
6
Boole-algebra isomorfisme
Digitale elektronica
7
Boole-algebra basiseigenschappen
Digitale elektronica
8
Boole-algebra alternatieve definitie
Digitale elektronica
9
Boole-algebra alternatieve definitie
Digitale elektronica
10
Boole-algebra alternatieve definitie: gevolg
Elke Boole-algebra heeft een natuurlijke partiële ordening: Digitale elektronica
11
Boolese functies Digitale elektronica
12
Boolese functies representaties (1)
Boolese functies zijn eindige objecten Zij kunnen allemaal gerepresenteerd worden in concrete vorm Een goede representatie is compact capteert en representeert zoveel mogelijk eigenschappen van de functie is goed leesbaar en manipuleerbaar voor mens en machine Digitale elektronica
13
Boolese functies representaties (2)
Er zijn verschillende soorten representaties: Grafische representaties waarheidstabel Karnaughkaart Basisfunctierepresentaties mintermen spectrale representaties Reed-Mullerrepresentaties Tekstuele representaties Boolese vormen Kubuslijsten Graafrepresentaties: BDD’s Digitale elektronica
14
Boolese functies waarheidstabel
Eenvoudige enumeratie van het domein en tabellering van de aangenomen waarden Afmeting n2n als n aantal variabelen, ongeacht complexiteit van functie Toont geen structuur of speciale eigenschappen Digitale elektronica
15
Boolese functies hyperkubus
Aanzie punten van domein als hoekpunten van n-dimensionale kubus Naburige hoekpunten hebben ‘gelijkaardige’ encodering Manhattan-metriek in kubus is Hamming-afstand Hyperkubus ook impliciete representatie van ordening Digitale elektronica
16
Boolese functies hyperkubus
111 1 110 011 n = 1 n = 3 010 101 11 n = 2 100 001 01 10 000 00 Digitale elektronica
17
Boolese functies hyperkubus
0000 1010 1000 0010 0100 1110 1100 0110 0001 1011 1001 0011 0101 1111 1101 0111 Digitale elektronica
18
Boolese functies karnaughkaart n=3
000 101 100 001 010 111 110 011 x1 x2 x3 000 101 100 001 010 111 110 011 000 101 100 001 010 111 110 011 000 101 100 001 010 111 110 011 Digitale elektronica
19
Boolese functies karnaughkaart n=4
x1 x2 x3 x4 0000 0001 0011 0010 0100 0101 0111 0110 1100 1101 1111 1110 1000 1001 1011 1010 Digitale elektronica
20
Boolese functies karnaughkaart n=5
x1 x2 x3 x4 00000 00010 00110 00100 01000 01010 01110 01100 11000 11010 11110 11100 10000 10010 10110 10100 x1 x2 x3 x4 00001 00011 00111 00101 01001 01011 01111 01101 11001 11011 11111 11101 10001 10011 10111 10101 x5=0 x5=1 Digitale elektronica
21
Boolese functies karnaughkaart: eigenschappen
Oppervlakte: nog steeds O(2n) Representeert meer structuur in functie: afstand tussen punten die de waarde 1 krijgen is belangrijk Hoofdzakelijk gericht op visueel gebruik (= voor mens) Verliest nut en zin voor n > 5 Digitale elektronica
22
Boolese functies basisfuncties: mintermfuncties
Boole-algebra kan volledig gegenereerd worden vanuit z.g. atomen door gebruik te maken van operatoren; minimum is product van atomen Elk ander element kan uitgedrukt worden als een som van een welbepaalde deelverzameling atomen Met conventie: lege som is minimum geldt dit voor elk element Boolese functies vormen een Boole-algebra De atomen zijn de functies met gewicht 1: de mintermfuncties Digitale elektronica
23
Boolese functies basisfuncties: mintermfuncties
Mintermfuncties kunnen eenduidig benoemd worden op basis van enumeratie van domein Definieer nummer-interpretatie van bitpatroon: Digitale elektronica
24
Boolese functies basisfuncties: mintermfuncties
Representatiestelling: Digitale elektronica
25
Boolese functies mintermfuncties: voorbeeld
Digitale elektronica
26
Boolese functies mintermfuncties: eigenschappen
Representatie compacter en eenvoudiger voor sommige functies dan voor andere. Gemiddeld nog steeds exponentieel (uiteraard!) Representatie is canonisch Nulfunctie voorgesteld door lege verzameling Eénfunctie door maximale verzameling (2n elementen) Stelt echter nog steeds weinig eigenschappen van de functie voor... Digitale elektronica
27
Boolese functies Spectrale representaties
Beschouw waarheidstabel volgens standaard-enumeratie van domein als getallenrij over {0,1} Vermenigvuldig met symmetrische, orthonormale transformatiematrix in getallenring Resultaat: getallenrij over Z. Elk getal geeft ‘projectie’ of ‘gelijkenis’ weer met rij van transformatiematrix Gebruikte matrix: Hadamard Digitale elektronica
28
Boolese functies Hadamard-matrix
Digitale elektronica
29
Boolese functies Hadamard-matrix
Matrix is niet-singulier en symmetrisch Rijen zijn paarsgewijs orthogonaal Rijen kunnen ook gezien worden als waarheidstabellen! Basisfuncties ‘digitale versie van cosinussen en sinussen’ Digitale elektronica
30
Boolese functies Hadamard-matrix
Resultaat is vector van gehele getallen (nog omvangrijker dan origineel!) Componenten geven globale eigenschappen van functie weer Digitale elektronica
31
Boolese functies Reed-Muller-representaties
Kies andere basisfuncties en combinatie-operatoren Digitale elektronica
32
Boolese functies Reed-Muller-representaties
Representatiestelling: Digitale elektronica
33
Boolese functies Reed-Muller-representaties
Bewijs (door constructie): 0000 1010 1000 0010 0100 1110 1100 0110 0001 1011 1001 0011 0101 1111 1101 0111 Digitale elektronica
34
Boolese functies Reed-Muller-representaties
Bewijs (vervolg): 0000 1010 1000 0010 0100 1110 1100 0110 0001 1011 1001 0011 0101 1111 1101 0111 Digitale elektronica
35
Boolese functies Reed-Muller-representaties
000 101 100 001 010 111 110 011 Voorbeeld Digitale elektronica
36
Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen
Boolese vormen zijn tekstuele vormen Voldoen aan grammaticale regels: Digitale elektronica
37
Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen
Boolese vormen krijgen betekenis door interpretatieregels: Digitale elektronica
38
Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen
Er zijn oneindig veel elementen in Vn Valuatie bindt aan elke BV een Boolese functie: equivalentieklassen Dualiteitsrelatie D op Vn Digitale elektronica
39
Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen
Relatie tussen een vorm en zijn duale (dualiteitsstelling): Kan nuttig gebruikt worden bij de realisatie van functies Is de essentie van CMOS fD(v) fv Digitale elektronica
40
Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen
Shannondecompositie: Wordt zeer vaak gebruikt als hulpmiddel om recursie toe te passen op vormen met minder variabelen Digitale elektronica
41
Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen
Disjunctieve Standaardvorm Wanneer men Shannon-decompositie doorvoert over alle variabelen, dan stellen de residuvormen v(1,1,0,1,...,1) constanten 0 of 1 voor De lettervormproducten zijn mintermvormen (stellen mintermfuncties voor) De vorm die enkel de som van de mintermvormen met residu =1 bevat noemt men de Disjunctieve Standaardvorm Wanneer variabelen en mintermvormen lexicografisch gesorteerd dan is DSV een canonische representatie Elke Boolese vorm kan in eindige tijd mechanisch herleid worden tot zijn DSV-gedaante, en deze is uniek. Digitale elektronica
42
Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen
Disjunctieve Standaardvorm: voorbeeld via algebraïsche rekenregels in Vn Digitale elektronica
43
Boolese functies Tekstuele representaties: Boolese vormen
Disjunctieve Standaardvorm: voorbeeld via Shannondecompositie in Vn Digitale elektronica
44
Boolese functies Tekstuele representaties: Ternaire representaties
Boolese vormen kunnen steeds geschreven worden als sommen van producten Wanneer men de volgorde van de variabelen kiest kan men (stelsel van) Boolese vormen compact voorstellen (niet-noodzakelijk canonisch!): Digitale elektronica
45
Boolese functies Boolese decisiediagrammen
BDD’s zijn datastructuren bedoeld voor computermanipulatie Zijn grafen waarin elke knoop een unieke functie voorstelt Twee soorten knopen: terminale en niet-terminale Terminale knopen stellen constante fies 0 en 1 voor Niet-terminale knopen elk gekoppeld aan 1 variabele Elke NT knoop wijst naar twee opvolgers: de knopen die de residufuncties voorstellen bij shannondecompositie X1 1 X2 X3 1 Digitale elektronica
46
Boolese functies Boolese decisiediagrammen
Bij het opstellen of na bewerking is diagram niet noodzakelijk minimaal Minimalisatie-algoritme werkt van beneden naar boven elimineert dubbels elimineert knopen met identieke subbomen X1 X3 X2 1 X1 X3 X2 1 X1 X3 X2 1 X1 X3 X2 1 Digitale elektronica
47
Boolese functies Boolese decisiediagrammen
Gebruik van BDD’s: testen of functies gelijk zijn tautologietest voldoenbaarheid berekenen complement Combinaties van BDD’s met operatoren + en functiecompositie met ITE( ) X1 X2 X3 1 + Digitale elektronica
48
Boolese functies Boolese decisiediagrammen
X1 X2 X3 1 + X1 X2 X3 1 + X1 X2 1 X3 X1 X2 X3 1 + X1 X2 X3 1 Digitale elektronica
49
Boolese functies Boolese decisiediagrammen: functiecompositie
Digitale elektronica
50
Boolese functies Boolese decisiediagrammen: functiecompositie
X2 X3 1 X1 ITE X1 X2 X3 1 ITE X1 1 X2 X1 1 X2 Digitale elektronica
51
Fontslide Digitale elektronica
Verwante presentaties
© 2024 SlidePlayer.nl Inc.
All rights reserved.