Download de presentatie
GepubliceerdJoachim Visser Laatst gewijzigd meer dan 10 jaar geleden
1
Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding
3.1. Centrummaten – Gemiddelden 3.2. Kwantielen 3.3. De spreidingsmaten
2
Centrummaten het rekenkundig gemiddelde de mediaan de modus
bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of frequentieverdelingen
3
Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen
a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig) b. alle waarnemingen spelen een rol bij de bepaling van het kengetal c. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk zijn d. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteit bezitten e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn
4
Het rekenkundig gemiddelde
Wat? Het rekenkundig gemiddelde van een reeks waarnemingsresutaten is gelijk aan de som van alle resultaten gedeeld door het aantal waarnemingen (dit is de steekproef- of popultieomvang) Symbool: Formule:
5
Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (1)
1. Vermindert men alle waarnemingen met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde verminderd met dat getal men mag op de meetschaal een nieuwe oorsprong invoeren 2. Vermenigvuldigt men alle resultaten met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde met dit getal vermenigvuldigd (idem delen) men mag alle resultaten vereenvoudigen
6
Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (2)
3. De som van de afwijking van alle waarnemingsresultaten ten opzichte van hun rekenkundig gemiddelde is nul Opm. : het rekenkundig gemiddelde wordt in de statistiek altijd berekend op één rang meer dan de waarnemingsresultaten.
7
Het gewogen rekenkundig gemiddelde (1)
Wat? Als niet aan alle waarnemingen een zelfde belang mag gehecht worden, vermenigvuldigt men elke waarde met een wegingsfactor en bepaalt men pas dan het rekenkundig gemiddelde
8
Het gewogen rekenkundig gemiddelde (2)
Voorbeeld: examenuitslagen student D.V. Rekenkundig gemiddelde: Gewogen rek.gemiddelde: Vakken Resultaat op 10 studiepunten Economie 5 6 Statistiek 7 3 Recht 9 4
9
Het rekenkundig gemiddelde van gegroepeerde gegevens
Formule: De klassemiddens worden representatief voor elke klasse: alle frequenties worden vermenigvuldigd met de overeenkomende klassemiddens
10
Centrummaten het rekenkundig gemiddelde de mediaan de modus
bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of frequentieverdelingen
11
aantal waarden < Me = aantal waarden > Me
De mediaan (1) Wat? De mediaan van een reeks waarnemings-resultaten is de middelste van de naar grootte gerangschikte resultaten. De mediaan verdeelt een reeks resultaten in twee gelijke groepen: aantal waarden < Me = aantal waarden > Me Symbool: Me Synoniem: midscore
12
De mediaan (2) bij oneven aantal waarnemingen:
Me = middelste van naar grootte gerangschikte bij even aantal waarnemingen: Me = rek. gemiddelde van middelste twee Bij gegroepeerde frequentieverdelingen: Me = tweede kwartiel (Q2) mediaanklasse: zie cumulatief frequentiehistogram
13
De modus Wat? De modus van een reeks waarnemingsresultaten is de waarneming die het meest voorkomt (= de uitslag met de hoogste frequentie) Symbool: Mo Opmerkingen: hebben alle resultaten in een reeks dezelfde frequentie, dan is er geen modus de modus is de enige centrummaat ook te gebruiken voor kwalitatieve kenmerken unimodale, bimodale, multimodale verdelingen
14
De modus bij gegroepeerde waarnemingen (1)
de modale klasse is de klasse met de hoogste frequentie nauwkeuriger: f = frequentie modale klasse fl = frequentie (lagere) voorgaande klasse fh= frequentie (hogere) volgende klasse b = benedengrens modale klasse i = klasse-interval
15
De modus bij gegroepeerde waarnemingen (2)
Grafische bepaling van de modus bij frequentieverdelingen: modale klasse Mo
16
Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen
a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig) b. alle waarnemingen spelen een rol bij de bepaling van het kengetal c. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk zijn d. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteit bezitten e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn
17
Keuze van de centrummaten (1)
+ - Rekenkundig gemiddelde voldoet in alle opzichten als centrummaat eign: a,b,c,d,e gevoelig voor uitbijters Mediaan ongevoelig voor uitbijters eign: a,b,c kleine steekproef-stabiliteit algebraïsch weinig mogelijkheden Modus snel te bepalen eign: a,c nagenoeg geen positieve eigen-schappen
18
Keuze van de centrummaten (2)
De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid van de verdeling extreme waarden
19
Keuze centrummaat in functie van het meetniveau
ratio interval ordinaal nominaal Rek. gemidd. Mediaan Modus
20
Keuze van de centrummaten (3)
De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid mogelijke extreme waarden
21
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1a)
Symmetrische verdelingen normale verdelingen b.v. IQ-scores, de meeste natuurlijke verschijnselen
22
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1b)
Bimodale symmetrische verdelingen Mo1 Mo2
23
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (2)
Scheef naar links (negatief scheef) b.v. lichaamsgewicht mannelijke 40-plussers in België Mo staart
24
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (3)
Scheef naar rechts (positief scheef) b.v. belastbaar inkomen Belgische bevolking in € Mo staart
25
Keuze van de centrummaten (4)
De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid mogelijke extreme waarden
26
Keuze centrummaat in functie van mogelijke extreme waarden
Extreme waarden (= uitbijters): beïnvloeden het gemiddelde de mediaan is hier beter geschikt dan het rekenkundig gemiddelde Voorbeeld: = 15,6 Me= 4,5
27
Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding
3.1. Centrummaten – Gemiddelden 3.2. Kwantielen 3.3. De spreidingsmaten
28
Kwantielen Wat? Kwantielen verdelen een frequentieverdeling in een aantal gelijke stukken (= stukken met gelijke frequentie) Doel? Kwantielen dienen om een uitkomst te situeren ten opzichte van andere uitkomsten
29
Kwantielen (2) Soorten kwantielen: Kwartielen: Q1, Q2 , Q3
verdelen de frequentieverdeling in 4 gelijke intervallen, elk met 25% van de uitkomsten Decielen: D1, D2 , … , D9 verdelen de frequentieverdeling in 10 gelijke intervallen, elk met 10% van de uitkomsten Percentielen: P01, P02 , … , P99 verdelen de frequentieverdeling in 100 gelijke intervallen, elk met 1% van de uitkomsten
30
Kwantielen (3) De interkwartielafstand (IKA) geeft de
range aan van de middelste helft van de resultaten. De IKA is ongevoelig voor uitbijters.
31
Percentiel percentiele rang
b.v. P57 = 173,5 cm 57% van de resultaten zijn kleiner of gelijk aan 173,5 cm percentiele rang (p) b.v. p168cm = 48,3% een lengte van 168cm komt overeen met de 48,3% kleinste resultaten
32
5-getallen-résumé Een frequentieverdeling kan omschreven worden met 5 kengetallen:
33
Boxplot (boxdiagram) Een boxplot is de grafische voorstelling
van het 5-getallen-résumé: de randen van de box: Q1 (bodem) Q3 (deksel) het tussenschot in de box: Me twee « bakkebaarden »: van de box tot aan Xmin en Xmax Doel: een snelle vergelijking van verschillende frequentieverdelingen
34
Boxplot (5-getallen-résumé)
Xmax Q3 Me Q1 Xmin
35
Vergelijking boxplots
36
Grafische bepaling van kwantielen
96 percentiel: P27 = 133 percentiele rang: P528 = 96% 27 133 528
37
Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding
3.1. Centrummaten – Gemiddelden 3.2. Kwantielen 3.3. De spreidingsmaten
38
Spreiding, dispersie, variatie
3 invalshoeken: de verschillen tussen de uitkomsten onderling de range op de meetschaal, waarbinnen een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten
39
De variatiebreedte of de range (1)
Wat? het verschil tussen de uiterste resultaten Voordelen: zeer snel en eenvoudig te bepalen Nadeel: maximaal beïnvloed door uitbijters
40
De variatiebreedte of de range (2)
Bij gegroepeerde gegevens is de range:
41
De interkwartielafsand (IKA)
Beter dan de range: Voordeel: totaal ongevoelig voor uitbijters! Ook: IDA = interdecielafstand (D9 – D1)
42
Spreiding, dispersie, variatie
3 invalshoeken: de verschillen tussen de uitkomsten onderling de range op de meetschaal, waarbinnen een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten
43
Spreiding Algemeen: Spreiding: waarin
de afstand tussen een centrummaat C en de waarnemingsresultaten Xi Spreiding: waarin
44
De gemiddelde absolute afwijking
Wat? het gemiddeld verschil tussen elke uitslag en het rekenkundig gemiddelde van alle uitslagen Symbool: Formule: voor gegroepeerde gegevens: Xi mi
45
De variantie en de standaardafwijking
Wat? de variantie van een reeks uitslagen geeft aan in hoeverre deze afwijken van het gemiddelde Symbool: Formule: mi
46
De standaardafwijking (1)
Variantie: wordt uitgedrukt in de tweede macht van de meeteenheid de standaardafwijking is de vierkantswortel uit de variantie de standaardafwijking is de belangrijkste spreidingsmaat in de statistiek
47
De standaardafwijking (2)
Formule: of fi . mi² voor gegroepeerde gegevens: Xi fi .mi
48
De standaardafwijking (3)
De standaardafwijking is de meest gebruikte spreidingsmaat: normale verdelingen worden gekarakteriseerd door het rekenkundig gemiddelde en de standaardafwijking in een Gauss-curve is de afstand van de buigpunten tot de symmetrieas steeds gelijk aan de standaardafwijking in een normale verdeling ligt steeds een zelfde percentage van de waarnemingen tussen het gemiddelde vermeerderd/verminderd met 1, 2 of 3 keer de standaardafwijking
49
Normale verdelingen (1)
b.v. N(63;12,7) 16%
50
Normale verdelingen (2)
vlakke normale verdeling spitse normale verdeling
51
Normale verdelingen (3)
cm NL cm B
52
De variatiecoëfficiënt
Wat? Een relatieve spreidingsmaat, onafhankelijk van de meeteenheid, om de spreiding van verschillende steekproeven te vergelijken Symbool: Formule: De standaardafwijking wordt uitgedrukt in verhouding tot het rekenkundig gemiddelde
Verwante presentaties
© 2024 SlidePlayer.nl Inc.
All rights reserved.