In een 6e klas Jcu: vooral ‘exact’ gemotiveerde leerlingen. Typisch wiskunde D. Wat vooraf ging aan de Analytische Meetkunde Anderhalf uur proeven aan.

Presentatie over: "In een 6e klas Jcu: vooral ‘exact’ gemotiveerde leerlingen. Typisch wiskunde D. Wat vooraf ging aan de Analytische Meetkunde Anderhalf uur proeven aan."— Transcript van de presentatie:

1 In een 6e klas Jcu: vooral ‘exact’ gemotiveerde leerlingen. Typisch wiskunde D. Wat vooraf ging aan de Analytische Meetkunde Anderhalf uur proeven aan AM. De Algebra, nogmaals. Mooie dromen tot slot

2 Wat vooraf ging ….

3 Analytisch word je soms vanzelf [D]
Vooraf ging Voronoi-diagrammen Iso-afstandlijnen Basis Euclidische meetkunde Start probleem: Divide the North Sea …..

4 Verdeel de zee (voor olie)
Formuleer een kriterium (voor toekenning van punt aan een land. kriterium vs. constructie

5 Twee voorstellen Wouter (cs): Voronoi-diagram op hoofdsteden en
+ isoafstandsl. 50 km uit kust Julia (cs): Net van isoafstandslijnen. Snijdt overeenkomenden. Trek vloeiende lijn

6 Verfijning in nagesprek
Politiek of meetkundig Vaktaal: voetpunt, stootcirkel Voronoi-diagram op duizenden kustpunten

7 Vooruitlopend, informeel ….. [G]
Richting van de conflictlijn in X is Middeloodlijn van voetpunten Ve en Vn (... Maar pas op)

8 Diepteonderzoek begint met een strak geval

9 Stukje cirkel of niet? Bewijs? [B]
Trappetje toont x en y-stapje! Referentielijn, boven en midden 1e: Die kan die niet zijn.. 2e: Als het een cirkeltje is, dan..

10 Punt/lijn conflict op het bord Julia’s methode

11 Algemeen plan Parabool Onderzoeken met cabri….

12

13 De Schimmen van de AM verschijnen vanzelf [B,D]
Rooster, Pythagoras Meer punten ??????? Per 2; 1, 3, 5, >>>>> ALGEBRA

14 Daarna: Ellips, hyperbool Raaklijneigenschappen, Redeneren …

15 Haalt ie dat? leerlingen onderzoek levert op:
Helling wordt groter dan van de lijn [G] Als x groter wordt wordt a relatief kleiner. Die heft t op. Kwadraten groeien sterker!! [G] (Is de conflict-parabool ook de y = x2 parabool?) [D]

16 anderhalf uur Analytische Meetkunde

17 1 Wat is Analytische Meetkunde [A]

18 Voorbeeld! Vind vierkant PQ SR op de diagonalen met AS = SR = RB
Synthetisch (Euclides), Analytisch (Pappos), Analytisch/Algebraisch (Descartes),

19 Synthetische aanpak Oplossing wordt geconstrueerd
Deellijn BAC Evenwijdig AB Voltooien constructie Deellijn, Z-hoeken ASR gelijkbenig AS= SR, etc. Oplossing wordt geconstrueerd Gevolg door bewijs: waarom is het goed?

20 Analytisch (Pappos) Eerst oplossing zoeken..
* SAR=SRA=RAB Dus deellijn. ASR gelijkbenig Werk achteruit verder Doe alsof probleem opgelost (maak een schets..) Gegevens! Aangeven in de figuur. Werk vanuit de oplossing achteruit DAARNA: constructie en bewijs.

21 Descartes 1596-1650 Cogito, ergo sum.
Alleen van het denken zijn we zeker.

22 Analytisch-algebraisch (Descartes) [4, 1]
Gezocht lijnstuk x (of y) Stel vergelijkingen op; y + x + y = a y2 + y2 = x (pyth) Los op: x = a/ (1 + 2 ) (Construeer oplossing vanuit de formule). y Doe alsof opgelost (schets) Benoem Lijnstukken: a,x,y Zet er zoveel mogelijk bij! Werk vanuit de oplossing achteruit Vertaal naar vergelijkingen Los die op (DAARNA: constructie en bewijs).

23 Descartes’ La Géométrie uit 1637
elk vraagstuk dat over grootheden gaat, kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem; [4,1] elk meetkundig probleem kan worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem; elk algebraïsch probleem kan worden teruggebracht tot het oplossen van een of meer vergelijkingen met één of meer onbekenden. [4,2]

24 Speciale methode: Afstanden x en y tot Twee vaste lijnen, coordinaten [B, 5]
Cabri: descartesvoorb(Mod)

25 Probleem is verplaatst van
Een bewijsstap vinden en expliciet redeneren naar uitvoeren van de algebra en dat is een heel lastig punt ……………………………………………………………………………………………… Voorbeelden … ………………………………………………………………………………………………

26 2. Cirkelvergelijking opstellen
Verschillende vormen, verschillende doelen. [D, 15]

27 Vergelijking Cirkelvergelijking ???? “Waar denk jij aan?”
Oplossen! En jij? “Een vergelijking zegt Ja of Nee.”

28 Mail met Anne-Lotte in Princeton:
Een vraag n.a.v. de cirkelvergelijking: Overigens: ik heb nog nooit vierkantsvergelijkingen gehad, misschien is dat ook een deel van het probleem. [4]

29 3. Loodrechte stand en Thales gebruiken om vergelijking te bouwen [C 10,11]
Remco heeft al: R: …. “Wat moet ik nu??” Ai, ai, ai ?? Nee: kansje! [4] Eindelijk een vráág naar de algebra ….

30 4. Parametrisering en uitdelen [E 20,21,22] [4]
Enige parate kennis zou prettig zijn

31 Kansen voor beoefenen van Algebra [4]
Algebra (be)oefenen binnen een relevant en motiverend kader. Analytisch meetkunde is daar heel geschikt voor Algebra met een PLAN in je achterhoofd Driemaal algebra …….

32 Algebra: Transformaties [4-7]
(x, y) Verschoven over (16, 5). Dus (x-16, y-5) in origineel. Origineel: F(x, y ) = 0 Beeld: F(x-16, y-5 ) = 0

33 Algebra: ellipsvergelijking

34 Algebra: ellipsvergelijking [D 15]
Algebra doen samen met je klas en maken van een plan….

35 Hier kun je niet omheen

36 Ruimtelijke Analytische Meetkunde [E 27-29]
Hewet: lessen in Ruimtemeetkunde Dit blijft bescheiden Enkele belangrijke figuren en krommen verkennen

37 G: Verkenning software bij Analytische meetkunde [H]
Cabri

38 Een paar mooie dromen tot slot?

39 Algebra: veelterm en factor z = x2 – y2 z = (x – y )(x + y) Twee lijn-vezelingen van het zadelvlak.

40 Modelling facial expression

41 Mijn favoriete tekenprogramma
1: Polygon 2: Smooth 3: Reshape

42 Splines, Bezier-curves
t van 0 naar 1 t P + (1-t) Q t3 P + 3t2(1-t) Q + 3t(1-t)2 R + (1-t)3 S

43 Meetkunde!

44 Bewijs Bundels!

45 Vragen ………………….. Materialen op de website Behoeften? Aanvullingen?

46 Einde