Oneindig E. Vanlommel NWD 2016

Artikel: oneindig en oneindig is twee Inleiding Uitwiskeling Artikel: oneindig en oneindig is twee Auteurs: Anne Schatteman en Luc Van den Broeck Concreet lesmateriaal: werkteksten (keuze: lln zelfstandig of onderwijsleergesprek) Achtergrond voor leraar, met verwijzing naar filmpjes Materiaal online

Inleiding www.uitwiskeling.be

∞ in de context van aantal elementen van verzamelingen Inleiding Inhoud lezing ∞ in de context van aantal elementen van verzamelingen Verschillende contexten van oneindig Enkele elementaire begrippen en paradoxen Aftelbaar oneindig Andere soorten oneindig Hotel van Hilbert

Oneindig in context van verzamelingenleer Verschillende betekenissen van oneindig Oneindig in context van verzamelingenleer bv. oneindig veel natuurlijke getallen Oneindig als limietsituatie van een dynamisch proces bv. als 𝑥→0 dan 1 𝑥 2 →+∞ Oneindig in de context van oneindig durende processen bv. steeds meer (willekeurig veel) decimalen zoeken van 𝜋

Oneindig binnen de meetkunde Verschillende betekenissen van oneindig Oneindig binnen de meetkunde

Verschillende betekenissen van oneindig ℕ= 0,1,2,3,… we kunnen de elementen op een rijtje zetten onbegrensdheid ≠ oneindigheid onbegrensdheid: de getallen worden willekeurig groot oneindigheid: #ℕ=∞ ℤ= …,−2,−1,0,1,2,… ℕ⊂ℤ heeft ℤ meer elementen dan ℕ? is het oneindig van ℤ groter dan dat van ℕ?

Even veel punten op een lijnstuk als op een rechte? Verschillende betekenissen van oneindig Even veel punten op een lijnstuk als op een rechte? Tussen elke twee punten van een rechte liggen oneindig veel andere punten, ook als die punten zelf willekeurig dicht bij elkaar liggen!

Enkele elementaire begrippen en paradoxen Door afparen kun je snel aantallen elementen vergelijken. Afparen is vaak nuttiger dan tellen en gebeurt heel natuurlijk. Voorbeeld 1 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

Voorbeeld 2: luchthavencodes Enkele elementaire begrippen en paradoxen Voorbeeld 2: luchthavencodes AMS → Amsterdam Airport Schiphol BCN → Barcelona Airport BKK → Bangkok International Airport BRU → Brussels Airport CDG → Parijs Charles de Gaulle Intern. Airport JFK → John F. Kennedy International Airport LHR → Londen Heathrow Airport PEK → Beijing Capital Airport Met elke code komt juist één luchthaven overeen en omgekeerd.

Enkele elementaire begrippen en paradoxen Er bestaat een bijectie tussen de verzameling van luchthavencodes en de verzameling luchthavens. We zien onmiddellijk dat er even veel luchthavens als codes zijn. De verzamelingen hebben even veel elementen of anders gezegd: dezelfde kardinaliteit.

Paradoxen Galileo Galilei (1564-1642) bijectie: Enkele elementaire begrippen en paradoxen Paradoxen Galileo Galilei (1564-1642) bijectie: Even veel kwadraten als natuurlijke getallen? Natuurlijke getallen die geen kwadraat zijn? Er zijn méér natuurlijke getallen dan kwadraten maar toch heeft elk natuurlijk getal juist één kwadraat????

Bernard Bolzano (1781-1848) bijectie: Enkele elementaire begrippen en paradoxen Bernard Bolzano (1781-1848) bijectie: Bevat een lijnstuk van 2cm lang even veel punten als een lijnstuk van 3cm?

Hoe vergelijken we dan wel? Enkele elementaire begrippen en paradoxen Conclusie: Het aantal elementen van oneindige verzamelingen kun je niet vergelijken zoals je dat met eindige verzamelingen doet. Je kunt niet spreken van meer, minder, even veel… Hoe vergelijken we dan wel?

Aftelbaar oneindig Richard Dedekind (1831-1916) Een verzameling wordt een oneindige verzameling genoemd, als er een bijectie kan gevonden worden met een echt deel van de verzameling. De verzameling zelf en de lege verzameling worden geen ‘echte’ delen genoemd.

ℕ is dus een oneindige verzameling Aftelbaar oneindig ℕ is dus een oneindige verzameling want er is een bijectie tussen de natuurlijke getallen en de kwadraten 1,2,3,4,5,6 is geen oneindige verzameling

Aftelbaar oneindig Georg Cantor (1845-1918) Als er een bijectie bestaat tussen twee verzamelingen noemen we die verzamelingen gelijkmachtig. aantal elementen van een verzameling = kardinaliteit van de verzameling (zowel eindig als oneindig)

We noteren deze kardinaliteit met ℵ 0 Aftelbaar oneindig Alle verzamelingen gelijkmachtig met ℕ worden aftelbaar oneindig genoemd. We noteren deze kardinaliteit met ℵ 0 ℵ (alef) is de eerste letter in het Hebreeuws alfabet In symbolen: #ℕ= ℵ 0

De verzameling van de kwadraten is aftelbaar. Aftelbaar oneindig De verzameling van de kwadraten is aftelbaar. Is ℤ aftelbaar?

Is ℕ 0 gelijkmachtig met ℕ? Aftelbaar oneindig Is ℕ 0 gelijkmachtig met ℕ? Is de verz. oneven natuurlijke getallen aftelbaar oneindig?

Verzameling witte stippen gelijkmachtig met verz. zwarte stippen? Aftelbaar oneindig Verzameling witte stippen gelijkmachtig met verz. zwarte stippen?

Is ℚ aftelbaar oneindig? Zoek zelf voorbeelden Rij van de priemgetallen Rij van de veelvouden van 4 Rij van de machten van 10 Is ℚ aftelbaar oneindig?

Kun je de elementen van ℚ in een rijtje schikken? Aftelbaar oneindig Kun je de elementen van ℚ in een rijtje schikken?

Besluit: ℚ is aftelbaar oneindig ℵ 0 =#ℕ=#ℤ=#ℚ Zelfde soort oneindigheid

Kardinaliteit van ℝ? Is ℝ aftelbaar? Aftelbaar oneindig Kardinaliteit van ℝ? Is ℝ aftelbaar? Werkmoment: diagonaalbewijs van Cantor

Andere soorten oneindig Bespreking . . .

Andere soorten oneindig 0,1246877389561… 10 kleuren nodig

Andere soorten oneindig

Besluit: ℝ is niet aftelbaar (overaftelbaar) #ℝ= 2 ℵ 0 Andere soorten oneindig Besluit: ℝ is niet aftelbaar (overaftelbaar) #ℝ= 2 ℵ 0 Zijn er nog meer soorten oneindig dan die van ℕ en ℝ?

voor eindige verzamelingen 𝐴 geldt: #℘ 𝐴 = 2 #𝐴 Andere soorten oneindig Cantor bewees: De verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling heeft altijd een grotere kardinaliteit dan die verzameling. Notatie: ℘(𝐴) voor eindige verzamelingen 𝐴 geldt: #℘ 𝐴 = 2 #𝐴 Daarom notatie 2 ℵ 0 voor de kardinaliteit van ℝ

→ steeds ‘grotere’ oneindigheden: Andere soorten oneindig → steeds ‘grotere’ oneindigheden: ℕ, ℘ ℕ , ℘ ℘ ℕ , ℘ ℘ ℘ ℕ ,… of nog ℵ 0 , 2 ℵ 0 , 2 2 ℵ 0 , 2 2 2 ℵ 0 ,…

continuümhypothese Cantor bewees ook: Andere soorten oneindig Cantor bewees ook: er bestaan oneindig veel soorten oneindig → ℵ 0 , ℵ 1 , ℵ 2 , ℵ 3 , … Dé vraag: is ℵ 1 = 2 ℵ 0 ? En bij uitbreiding: is ℵ 2 = 2 ℵ 1 ? Enz. continuümhypothese

Andere soorten oneindig continuümhypothese: er bestaat geen verzameling waarvan de kardinaliteit ligt tussen de kardinaliteit van de verzameling van de gehele getallen en de kardinaliteit van de verzameling van de reële getallen ℵ 1 = 2 ℵ 0

Andere soorten oneindig Kurt Gödel en Paul Cohen bewezen dat met het gebruikelijk systeem van axioma’s (zonder contradicties) uit de verzamelingenleer de continuümhypothese noch kan worden weerlegd, noch kan worden bewezen Deze onbeslisbaarheid oplossen door andere (betere?) axiomasystemen te zoeken?

Onvolledigheidsstelling van Gödel (1931): Andere soorten oneindig Onvolledigheidsstelling van Gödel (1931): Elk axiomatisch systeem dat krachtig genoeg is om alle basiseigenschappen van de natuurlijke getallen te bewijzen, is ofwel onvolledig ofwel incosistent. onvolledig systeem = axiomatisch systeem waarin ware uitspraken bestaan die niet kunnen bewezen worden, onbeslisbaren genoemd incosistent systeem = axiomasysteem waarin contradicties zitten

Zijn onbeslisbaren zeldzaam? Andere soorten oneindig Zijn onbeslisbaren zeldzaam? Cristian Calude (1994): er zijn oneindig veel ware uitspraken, maar slechts een heel beperkt deel ervan kan bewezen worden met onze axiomasystemen → onbeslisbaarheid is de regel: het overgrote deel van wat waar is, is onbereikbaar

Rekenen met oneindige kardinaalgetallen: hotel van Hilbert. ℵ 0 , ℵ 1 , ℵ 2 , ℵ 3 , … zijn oneindige kardinaalgetallen (transfiniete getallen) Rekenen met oneindige kardinaalgetallen: hotel van Hilbert.

belangrijkste wiskundigen 20e E Hotel van Hilbert David Hilbert (1862-1943) Göttingen belangrijkste wiskundigen 20e E eigen bijdragen, beroemde studenten (Emmy Noether, Hermann Weyl, John von Neumann...) 23 problemen van de 20e eeuw (voordracht in 1900) hoofdrol in grondslagencrisis Hilbert-programma: volledige en consistente axiomatisatie van de wiskunde "Wir müssen wissen - Wir werden wissen!" ↔ onvolledigheidsstellingen Gödel

Hotel van Hilbert gedachte-experiment van Hilbert tijdens lezing in 1924 om tegenintuïtieve eigenschappen van oneindig te verduidelijken

Hotel met oneindig veel kamers, genummerd 1,2,3,4,... Hotel van Hilbert Hotel met oneindig veel kamers, genummerd 1,2,3,4,... oneindig veel meubilair, servies, keukenpersoneel, kamermeisjes... het hotel is volgeboekt

3 nieuwe gasten die elk een kamer willen Hotel van Hilbert Probleem 1 3 nieuwe gasten die elk een kamer willen geen probleem volgens uitbater hoe lost hij dit op?

Elke hotelgast naar kamer met volgnummer dat 3 groter is. 𝑛→𝑛+3 Hotel van Hilbert Elke hotelgast naar kamer met volgnummer dat 3 groter is. 𝑛→𝑛+3 De 3 nieuwe gasten nemen de eerste drie lege kamers in. ℵ 0 +3= ℵ 0 algemeen: ℵ 0 +𝑥= ℵ 0

hoteleigenaar geeft deze gasten weer allemaal een kamer hoe? Hotel van Hilbert Probleem 2 toeristen in bus met aftelbaar oneindig veel zitplaatsen die alle bezet zijn hoteleigenaar geeft deze gasten weer allemaal een kamer hoe?

dus: oorspronkelijke gasten in kamers met even nummer Hotel van Hilbert oorspronkelijke gasten naar kamer met nummer dat dubbele is van huidige kamernummer 𝑛→2𝑛 dus: oorspronkelijke gasten in kamers met even nummer nieuwelingen in kamers met oneven nummer

Conclusie: ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 of 2⋅ ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 2 Algemeen: Hotel van Hilbert Conclusie: ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 of 2⋅ ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 2 Algemeen: ℵ 0 ⋅𝑥= ℵ 0

wordt dit een catastrofe voor de hoteluitbater? Hotel van Hilbert Probleem 3 colonne van aftelbaar oneindig veel bussen met telkens aftelbaar oneindig veel zitplaatsen die alle bezet zijn door toeristen wordt dit een catastrofe voor de hoteluitbater?

oorspronkelijke gasten in even kamers per bus op rij slinger maken Hotel van Hilbert oorspronkelijke gasten in even kamers per bus op rij slinger maken zoals hiernaast in oneven kamers inschuiven

bewijs (met priemfactorenontbinding) bv. 28512=2 5 ⋅ 3 4 ⋅ 11 1 uniek! Hotel van Hilbert bewijs (met priemfactorenontbinding) bv. 28512=2 5 ⋅ 3 4 ⋅ 11 1 uniek! iedereen uit hotel, hotel leeg nieuwkomers in kamer met nummer 𝑝 𝑛 𝑏 waarbij 𝑛 het nummer van het zitje in de bus is, 𝑝 𝑛 het 𝑛-de priemgetal en 𝑏 het busnummer passagier op 3de plaats van bus 6: 𝑝 3 =5, 𝑏=6, 5 6 =15625 15625 op juist 1 manier te schrijven als 𝑝 𝑛 𝑏 enkel kamers met machten van priemgetallen bezet oorspronkelijke bewoners vullen de gaten

Hotel van Hilbert conclusie: ℵ 0 ⋅ ℵ 0 = ℵ 0 algemeen: ℵ 0 𝑥 = ℵ 0

bewoners in opstand, ambitieus plan Hotel van Hilbert Probleem 4: bewoners in opstand, ambitieus plan bewoners vormen comités, zoveel als mogelijk: alle mogelijke comités van 1 persoon, van 2 personen ... ook het lege comité elk comité nodigt vriend uit die kamer wil vriend van lege comité in kamer 1

triomfantelijk dagen ze eigenaar uit: ‘los dit maar eens op’! Hotel van Hilbert triomfantelijk dagen ze eigenaar uit: ‘los dit maar eens op’! lukt niet meer moeilijk te bewijzen

bewijs uit ongerijmde: Hotel van Hilbert bewijs uit ongerijmde: Stel dat het wel lukt om al de nieuwe gasten een kamer te geven. Stel 𝐻 de verzameling van de oorspronkelijke hotelgasten. Dan is ℘(𝐻) de verzameling comités.

Hotel van Hilbert Stel 𝐻 gelijkmachtig met ℘ 𝐻 d.w.z. er bestaat een bijectie 𝑓 van 𝐻 op ℘ 𝐻 Stel 𝐴= 𝑥∈𝐻 | 𝑥∉𝑓(𝑥) Merk op: 𝐴∈℘ 𝐻 en 𝑓 𝑥 ∈℘ 𝐻

𝐴∈℘ 𝐻 , 𝑓 bijectie van H naar ℘ 𝐻 dus ∃𝑐∈𝐻:𝑓 𝑐 =𝐴 Hotel van Hilbert 𝐴∈℘ 𝐻 , 𝑓 bijectie van H naar ℘ 𝐻 dus ∃𝑐∈𝐻:𝑓 𝑐 =𝐴

𝑐∉A 𝑑𝑒𝑓. 𝐴 𝑐∈𝑓(𝑐) 𝑓 𝑐 =𝐴 𝑐∈𝐴 Hotel van Hilbert Twee mogelijkheden: c∈A 𝑑𝑒𝑓. 𝐴 𝑐∉𝑓 𝑐 𝑓 𝑐 =𝐴 𝑐∉A 𝑐∉A 𝑑𝑒𝑓. 𝐴 𝑐∈𝑓(𝑐) 𝑓 𝑐 =𝐴 𝑐∈𝐴 Contradictie, dus 𝐻 niet gelijkmachtig met ℘ 𝐻 . Geen bijectie tussen kamers en nieuwe gasten.

Hotel van Hilbert D.i. het bewijs van Cantor voor het bestaan van oneindig veel oneindigheden nl. aangetoond dat 𝐻 en ℘(𝐻), die tenminste even groot is als 𝐻, niet gelijkmachtig zijn. Dus is ℘ 𝐻 strikt groter dan 𝐻. Toegepast op ℕ levert dit oneindig veel oneindigheden: ℕ, ℘ ℕ , ℘ ℘ ℕ , ℘ ℘ ℘ ℕ ,… ℵ 0 , 2 ℵ 0 , 2 2 ℵ 0 , 2 2 2 ℵ 0 ,…