Hoofdstuk 4: Een 2e orde systeem ISBN 9789043018111

Massa-veer-demper systeem Wat gebeurt als: Massa omhoog k omlaag c omlaag F omlaag Frequentie omlaag (Labview model) Wat als de kracht opeens stopt?

Waarom is een massa-veer-dempersysteem een 2e orde systeem? Vergelijking: Na Laplace transformatie: Overdrachtsfunctie:

Eigenfrequentie, Resonantiefrequentie en gedempte eigenfrequentie Eigenfrequentie: Frequentie waarbij maximaal meetrillen als demping=0 Resonantiefrequentie: Frequentie waarbij maximaal meetrillen als demping<>0 Gedempte eigenfrequentie: Frequentie waarmee de trilling uitdempt als de trillingsoorzaak verdwijnt (staprespons) Wat kan gebeuren?

Opslingering is afhankelijk van de frequentie Bode-diagram geeft de evenwichtstoestand (steady-state) In Matlab: >>m=1;c=0.1;k=1; B=tf([1],[m c k]); bode(B) NB in Db/ logaritmisch Amplitudeversterking en faseverschuiving

Bode-diagram 2 Zelfde diagram met absolute waarde (rad/s)

Invloed van β De β is de dempingsfactor β bepaalt de opslingering en de verschuiving van de resonantie-frequentie t.o.v. de eigenfrequentie

Wat als de resonantiefrequentie nul wordt? ωr=0 als β≥ 1/2√2

Doorschot Doorschot is dus afhankelijk van de demping Doorschot is nul als β≥1 (kritische demping)

Piektijd en insteltijd(settling time) (de halve periodetijd)

Variabel 2e orde systeem Let op; gereduceerde vergelijking= evenwichtssituatie (statische invering) niet meegenomen Labview model: Kp, ω0 en β veranderen K, c en m veranderen Animatie:

Polen Bij een nulpunt van de noemer = pool wordt de overdrachtsfunctie G(s) oneindig. Voorbeeld s2 + 0,1.s + 1 = 0 als:

Staprespons 2e orde systemen Voorwaarde daarvoor is dat Omdat volgens de normaalvergelijking geldt c = 1 => => Als β≥1 heeft het 2e orde systeem 2 reële polen=> het is een serieschakeling van twee 1e orde systemen β≥1 => τ1 = τ2 Als β<0=> doorschot

Pn -figuur Eerder bleek: Inverse Laplace transformatie levert een respons A.ep.t p is de positie van de pool. Als deze positief is wordt de respons op den duur oneindig (instabiel)

Staprespons Het doorschot is afhankelijk van de verhouding (λ/ωd): De piektijd is afhankelijk van ωd: TP=π/ωd De insteltijd is afhankelijd van λ: => De λ en ωd van de pool bepalen de staprespons van het systeem

Aan de positie van de dominante pool zie je: Invloed van de ligging van de polen op een staprespons van een 2e orde systeem. Aan de positie van de dominante pool zie je: Stabiliteit Doorschot Piektijd Insteltijd

Poolbaan Een poolbaan geeft de positie van de polen van het tegengekoppeld systeem afhankelijk van de versterking => reactie bij P-regeling Als G(s)/Ti.s=> Reactie bij PI- Regeling afh. Van KR

Instellen regelaar Trial and error (model en animatie) Open systeem => KP bepaald de eindwaarde Tegengekoppeld systeem => Prop.regelaar C=P =>als t=>∞ H=P.KP/(1+P.KP) PI of PID +I/s => H=∞/(1+∞) =1

DS-methode Gedrag als 1e orde systeem NB maximale versnelling in t=0 (Tv=0) Gedrag als 2e orde systeem Niet mogelijk met PID

Cascaderegelaar Overdrachtsfunctie Cascaderegelaar: Stel Als τd= τ2 blijft een PI-geregeld 1e orde systeem over Als ook τi= τ1, dan is het gedrag als van een 1e orde systeem Andere regelmethoden komen in hoofdstuk 11 aan bod