De O-notatie Algemene lijn: Broncode analyseren Herhalingsfrequentie bepalen O-notatie afleiden

De herhalingsfrequentie “het aantal herhalingen in een algoritme.” Voorbeeld: Herhalingsfrequentie: O-notatie: for(int i=0;i<10000;i++) { for(j=0;j<n*n;j++) {schrijf weg;} }

Regels O-notatie

De O-notatie Wat nu? if(iets==1) {schrijf 1 keer weg;} else{ for(int i=0;i<n;i++) { schrijf weg; }

De O-notatie Bij if-else constructies complexiteitsontwikkeling onvoorspelbaar. Derhalve: Worst case gedrag bepalen Best case gedrag bepalen Indien mogelijk: statistiek en kansrekening gebruiken om gemiddelde gedrag te bepalen.

Eindigheid van algoritmen Heeft een probleem een oplossing? Hoe dit te bepalen? Programma? Kan dit?! eindig(algoritme x) if( algoritme x==eindig) return true else return false

Eindigheid van algoritmen Algoritme dat zichzelf analyseert: eindig(algoritme)  oneindig(algoritme) Oneindig(algoritme)  eindig(algoritme) Algoritme() if(eindig(algoritme) {blijf oneindig doorgaan} else{return}

Eindigheid van algoritmen Conclusie: Algoritme dat eindigheid van een algoritme bepaalt, bestaat niet. Er zijn algoritmen mogelijk, waarvan niet is vast te stellen of ze eindig zijn. Bijv: Foo(int x) while(x!=1) if(x%2==0){x/=2;} else{ x=((3*x)+1;)} return;

Filosoferen? Algoritme dat eindigheid van algoritme bepaalt. Ben je je bewust van je eigen bewustzijn?  Ja?  Hoeveel complexiteit is daarvoor nodig? Begrijpt een tafel dat ie een tafel is? Begrijpt Wessel zichzelf? Nee!

Soorten problemen Polynomiale problemen: Doenlijke problemen: Sorteren van kleingeld Sorteren van lijsten Algemeen: complexiteitsontwikkeling ≤ Niet polynomiale problemen: Ondoenlijk: Ingestort zandkasteel precies nabouwen. Kraken van 448 bit Blowfish encrypted bestand. Algemeen: complexiteitsontwikkeling:

Soorten problemen Misschien polynomiaal: Niet deterministisch polynomiaal: Misschien te doen…..misschien niet…. Irak Israël / Palestijnen Handelsreizigersprobleem Rugzakprobleem

Recursie en bewijsvoering Uitdaging: zo efficiënt mogelijke software schrijven. Opdracht: Schrijf een programma dat de optelsom alle gehele positieve getallen onder een gegeven n berekent.

Recursie en bewijsvoering Schrijf een programma dat de optelsom van alle gehele positieve getallen onder een gegeven n berekent. Functie(5) levert: =15 Functie(8) levert: =36

Recursie en bewijsvoering Oplossing: Complexiteitsontwikkeling? Wiskundige notatie? Welnu: Functie(int x) { int result=0 for(int i=1;i<=x;i++) {result+=i;} return result; }

Recursie en bewijsvoering Goh…. Misschien geldt: Eens kijken… n

Recursie en bewijsvoering n

Recursie en bewijsvoering Hoe te bewijzen dat: Met predicatenlogica:

Inductieve bewijsvoering Dit betekent: Bewijs de eigenschap (= het predicaat) voor een getal (b). Toon aan dat daaruit volgtdat de eigenschap ook geldt voor het volgende getal… Hoe dit te vertalen naar:

Inductie: Basisstap Gooi de eerste dominosteen om: Vul het getal 1 in, in de vergelijking: Eerste steen omgegooid…

Inductie: inductiestap Neem nu een willekeurig getal x: Doe dit ook voor de opvolger x+1:

Inductie: inductiestap Voor de opvolger geldt: Maar dat kan ook anders: Bouw hem op uit zijn voorganger:

Inductie: inductiestap Uit: Volgt dat:

Inductie: inductiestap We hebben nu 2 vergelijkingen voor de opvolger: En:

Inductie: inductiestap

Opvolger direct uitgeschreven: Opvolger opgebouwd uit zijn voorganger: Beide formules zijn gelijkwaardig: bewijs geleverd

Winst? We weten nu: Hiermee kunnen we ons algoritme herschrijven: Functie(int x) { int result=0 for(int i=1;i<=x;i++) {result+=i;} return result; } Functie(int x) { Return(float)1/2 x*(x+1); }

Winst? Veel winst! Functie(int x) { int result=0 for(int i=1;i<=x;i++) {result+=i;} return result; } Functie(int x) { Return(float)1/2 x*(x+1); }

Voorbeeld: Bresenham Cirkels tekenen op een monitor… Onmogelijk vanwege het discrete karakter van monitoren. Derhalve: genoegen nemen met een benadering.

De cirkel: een definitie Een cirkel = een verzameling punten die allemaal op een gegeven afstand r liggen van een centraal punt. r y x

De cirkel: eigenschappen De relatie tussen een punt op de rand en het centrum: Pythagoras r

Een cirkel tekenen… Loop over de x- as en bereken de bijbehorende y- coördinaat op basis van de straal:

Een cirkel tekenen… Problemen: De cirkel wordt niet mooi gesloten getekend… Ieder punt kost nogal wat rekenkracht. Gebroken getallen zijn niet zo netjes en leiden mogelijk tot afrondingsfouten.

Een cirkel tekenen… Een andere methode: poolcoördinaten. r

Een cirkel tekenen… Poolcoördinaten: problemen: Hoekberekening vormt een gebroken getal. Gebruik van goniometrische functies…

Goniometrie in een computer Goniometrische functies volgens Taylor:

Een cirkel tekenen: Bresenham Een cirkel is symmetrisch… Teken 1/8 deel van de cirkel en construeer de rest volgens herhaald spiegelen.

Een cirkel tekenen: Bresenham Definieer een cirkelfunctie: Punt (x,y) op cirkel met straal r?  functiewaarde=0 Punt (x,y) binnen de cirkel?  functiewaarde <0 Punt (x,y) buiten de cirkel?  functiewaarde >0

Bresenham: recursie… 2 mogelijkheden voor het volgende pixel… evaluatiepunt

Bresenham: recursie… Hebben we getekend: Dan wordt de volgende: OF

Bresenham: recursie… Evalueer de cirkelfunctie op het evaluatiepunt teneinde de y- coördinaat van de opvolger te kunnen berekenen:

Bresenham: recursie… Evaluatiepunt binnen cirkel? Teken: Evaluatiepunt buiten cirkel? Teken:

Bresenham: recursie… Evalueer cirkelfunctie voor “de opvolger van de opvolger”:

Bresenham: recursie… Ofwel:

Bresenham: recursie  code int circleMidpoint(int xC,int yC,int radius) { int x=0,y=radius; int p = 1-radius; While(x<y) { x++; if(p<0) { p+=2*x+1; } else { y--; p+=2*(x-y)+1; }

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Stappen: 0

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Stappen: 1

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Stappen: 2

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Stappen: 3

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Stappen: 4

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Stappen: 5

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Stappen: 6

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Stappen: 7

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi 0 stappen

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi T(n-1) stappen

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi T(n-1)+1 stappen

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi 2T(n-1)+1 stappen

Recursie en O-notatie Recurrente betrekking: Wat is van deze betrekking de complexiteitsontwikkeling?

Recursie en O-notatie Verband: Dit is te herschrijven middels introductie van een nieuwe functie:

Recursie en O-notatie Substitueren:

Recursie en O-notatie Verdubbeling bij iedere stap; Dit levert:

Recursie en O-notatie Verdubbeling bij iedere stap; Dit levert:

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi Alle schijven moeten via middelste paal.

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi 0 stappen

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi T(n-1) stappen

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi T(n-1) +1 stappen

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi 2T(n-1) +1 stappen

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi 2T(n-1) +2 stappen

Recursie en de O-notatie De torens van Hanoi 3T(n-1) +2 stappen

Sorteren Bubblesort Insertionsort Arraysort Mergesort Quicksort E.v.a.

Sorteren Bubblesort Nogal dom algoritme… Complexiteitsontwikkeling:

Bubblesort Werking: Vergelijk eerste 2 elementen

Bubblesort Werking: Vergelijk eerste 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort Werking: Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

Bubblesort En opnieuw….(zucht…) Vergelijk volgende 2 elementen A>B?  Verwissel A<B?  Doe niets

mergesort Iets slimmer… Werking: Neem 2 reeds gesorteerde arrays:

mergesort Werking: Neem 2 reeds gesorteerde arrays: En een derde…  nadeel: geheugen!

mergesort Werking: vergelijk

mergesort Werking: Schrijf de kleinste weg

mergesort Werking: Vergelijk volgende

mergesort Werking: En schrijf kleinste weg…

mergesort Werking: Vergelijk volgende…

mergesort Waar komen die 2 gesorteerde lijsten aan het begin vandaan? Antwoord: roep mergesort recursief aan, totdat je lijsten van grootte 1 hebt verkregen

quicksort Slim algoritme Complexiteitsontwikkeling: Gebaseerd op partitionering m.b.v. Pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Zoek vanaf lower naar waarde hoger dan pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Gevonden!

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Zoek vanaf upper naar waarde kleiner dan pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Gevonden

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Verwissel beide

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Verwissel beide

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Ga verder: Zoek vanaf lower waarde groter dan pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Ga verder: Zoek vanaf lower waarde groter dan pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Ga verder: Zoek vanaf lower waarde groter dan pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Ga verder: Zoek vanaf lower waarde groter dan pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Ga verder: Zoek vanaf lower waarde groter dan pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Ga verder: Zoek vanaf lower waarde groter dan pivot

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 gevonden

quicksort Werking: lowerupper Pivotwaarde: 6 Zoek vanaf upper naar waarde kleiner dan pivot