Gecijferdheid les 1.3 Kwadraten en machten Een kwadraat is een vermenigvuldiging van een getal met zichzelf. Dus 5² = 5 X 5 =25 Noteer de kwadraten tot 20 uit je hoofd. Machtsverheffen is een vermenigvuldiging van een getal met zichzelf net zo vaak als de factor aangeeft. Dus 5³ = 5 X 5 X 5 = 125 Noteer de derde machten tot 10.

Doelen Na deze les weet je wat kwadrateren en machtsverheffen zijn. Na deze les kun je met kwadraten en machten werken. Na deze les ken je praktische toepassingen van kwadraten en andere machten.

Kwadraten en machten 2² X 3² = 6² = 36 Mag dit altijd? Bewijs dat eens!

Een paar sommen om te oefenen 210 : 102 = 82 + X2 = 102 27 x ((2 : 3)2 + (2 : 32)) = Let op: eerst tussen haakjes; er staan dubbele haakjes. 40 x ((5 : 10)2 + (10 : 52)) =

Kwadraten en machten 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ( is 5²) Mag dit altijd? Bewijs dat eens.

Kwadrateren vanuit ankerpunt 1² = 1 X 1 = 1 2² = 2 X 2 = 4 Etc. Een kwadraat is altijd: Het vorige kwadraat + (2 X het vorige getal) + 1. Kijk maar naar de figuur. 4² = 3² + (2 x 3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

Kwadraten Dus als je 16² niet weet, maar je weet wel 15² kun je daar gebruik van maken. 16² = 15² + (2 X 15) + 1 Maak gebruik van ankersommen bij: 21² 26²

Kwadraten Volgorde van berekeningen 8 + 3 X 5² = 8 + 3 X 25 = 8 + 75 = 83 En nu jullie: 12 - 3² X 2² - 1² = (2 + 4)² - (3² + 4)² = 15² X (16² + 12²) = 13² + 5² X (6 – 4)² =

Kwadraten Volgorde van berekeningen 8 + 3 X 5² = 8 + 3 X 25 = 8 + 75 = 83 En nu jullie: 12 - 3² X 2² - 1² = -25 (2 + 4)² - (3² + 4)² = -133 15² X (16² + 12²) = 90.000 13² + 5² X (6 – 4)² = 269

Machten Reken deze sommen uit. Kun jij ontdekken hoe het zo snel mogelijk kan? 5² x 5³ = (5²)³ = (2 x 4)4 = 54 : 5² =

machten Rekenregel 1: Product van machten Als twee machten met elkaar vermenigvuldigd worden, en het grondtal is gelijk, dan mag je de exponenten bij elkaar optellen. Voorbeeld: 5² x 5³ = 55

machten Rekenregel 2: Een macht van een macht Bij een macht van een macht moet je de exponenten met elkaar vermenigvuldigen. Voorbeeld: (5²)³ = 56

machten Rekenregel 3: Een macht van een product Bij een macht van een product neem je elke factor tot die macht. Voorbeeld: (2 x 4)4 = 24 x 44 = 16 x 256 = 4096

machten Rekenregel 4: Het delen van machten Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal moet je de exponenten aftrekken. Voorbeeld: 54 : 5² = 5²

Even oefenen 34: 92 x (3 : 23)2 = 3 x 43 − 23 = 5² + 24 + 33 =

Even oefenen 34: 92 x (3 : 23)2 = 9/64 3 x 43 − 23 = 169 5² + 24 + 33 = 68 (−2) 4 + 3 x 4² = 64 4 x 4³ : (−3 + 1) 4 = 16

Oefenopgaven

Enkele “platte sommen” 113 − 11 = ? 34/92 X (3/23)2 = (1/3)2 x …. = 3

De Rechthoek Een boer heeft een stuk land in de vorm van een rechthoek. De lengte twee keer zo lang als de breedte. De oppervlakte van dat land is 1250 m². Hij moet een hek om dat land zetten. Hoeveel meter hek heeft hij nodig?

Weet je het nog 210 : 102 = ? 10 (0,2)8 10,24

Body Mass Index (BMI) De BMI (Body Mass Index) zegt iets over de verhouding tussen lengte en gewicht. Bij een BMI tussen 19 en 26 wordt meestal gesproken van een gezond gewicht. De rekenformule is: BMI = gewicht in kilo's gedeeld door de lengte in het kwadraat. Of korter: (gewicht in kg, lengte in meters): BMI = gewicht : lengte2. Roelof weegt 90 kg en is 180 cm lang. Als hij wil dat zijn BMI onder de 26,0 komt, Hoeveel kilo zal hij dan minimaal moeten afvallen? (Vul een geheel getal in. Indien nodig afronden.)

Machten Welke van de volgende vier uitkomsten zijn deelbaar door 12? 72 − 52 72 + 52 212 27 + 25

Uitwerkingen van de oefenopgaven

Enkele “platte sommen”; uitwerkingen 113 − 11 = ? (11 X 11 X 11) -11  1331 – 11 = 1320 34/92 X (3/23)2 = 81/81 X (3/8 X 3/8) 1 X 9/64 = 9/64 (1/3)2 x …. = 3 (1/3 X 1/3) X ….. = 3 1/9 X …… = 3 1/9 X 27 = 3  dus 27 invullen op de stippellijn.

De Rechthoek; uitwerking Eerst het land twee keer zo groot maken door de breedte te verdubbelen (het wordt een vierkant). Dan verdubbelt ook de oppervlakte. Die wordt dan 2500 m2. De lengte van dat vierkant is dan 50 meter. Immers 50 m X 50 m = 2500 m2. De lengte van de rechthoek is dus 50 meter en de breedte 25 meter) de helft van de lengte. De omtrek van het land is dan: 50 m. + 25 m. + 50 m. + 25 m. = 150 meter hek heeft hij nodig.

Weet je het nog; uitwerking 210 : 102 = ? 210 = 1024 102 = 100 1024 : 100 = 10,24 (antwoord D) Mocht je twijfelen over antwoord C, reken dan eens uit hoeveel 0,2 X 0,2 X 0,2 etc. is.

Body Mass Index (BMI); Uitwerking BMI  kg : m2 Roelof weegt nu 90 kg. Hij wil naar BMI < 26. Dus: 26 = …. : 1,82 (1,82 = 3,24) 26 X 3,24 = 84,24 kg. Hij moet dus 5, 76 kg afvallen. Afgerond is dat 6 kg.

Machten; uitwerking Welke van de volgende vier uitkomsten zijn deelbaar door 12? 72 − 52 72 + 52 212 27 + 25 72 − 52 49 – 25 = 24 (ja) 72 + 52 49 + 25 = 74 (niet) 212 (ja, want elke macht > 22 is deelbaar door 4). 27 + 25 (ja, zie antwoord C)