Relativiteitstheorie (3)

Tot nu toe… Gelijktijdigheid is relatief, m.a.w. verschillende waarnemers zullen verschillend denken over de gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen. Tijdsduren zijn relatief: bewegende klokken lopen langzamer (tijdsdilatatie). Lengtes zijn relatief: een bewegend voorwerp is korter (Lorentz-Fitzgerald contractie). Dopplerverschuiving: de spectraallijnen van een ster die van je af beweegt hebben een lagere frequentie (red shift). Hoe ‘vertaal’ je de snelheidsmetingen van waarnemer S naar die van waarnemer S’ ?

De Lorentz Transformatie De inverse transformatie (van S naar S’ ) volgt door het teken van v om te draaien. Een snelheid van een langs de x-as bewegend voorwerp, gemeten door S is

Transformatie van snelheden Het verschil dx transformeert net zo als de coördinaat x zelf. Dit geldt ook voor het tijdsverschil dt:

Transformatie van snelheden (2) De snelheid transformeert dus als:

Transformatie van snelheden (3) Drie consequenties: als v«c : Dit is een tweede illustratie van relativistische mechanica die tot klassieke mechanica leidt als v « c. 2. als ux’= c: = snelheidstransformatie van Galileo Dit is in overeenstemming met Einstein’s postulaten!

Transformatie van snelheden (4) 3. Stel S’ beweegt zich met een snelheid v = 0.5c van S vandaan, en een voorwerp heeft een snelheid in het stelsel van S’. `Klassiek’ verwacht je dat maar toepassing van Einstein’s snelheidswet geeft

Kinetische energie De kinetische energie K van een voorwerp met massa m en snelheid v is Hoe kan je een voorwerp versnellen? Een deeltje met een elektrische lading, zoals een elektron, kan je versnellen met een elektrisch veld.

CERN - Geneve

Energie en snelheid theorie: c 2 experiment Het blijkt experimenteel dat de energie van een electron onbeperkt kan worden opgevoerd in een versneller. Maar v2 blijkt alleen lineair te zijn met de energie K als v « c. Het lijkt alsof de massa van het elektron steeds groter wordt, en het daardoor steeds moeilijker kan worden versneld. Als je de energie van het elektron laat toenemen kruipt zijn snelheid langzaam naar de lichtsnelheid toe. Blijkbaar is c de maximale snelheid die een deeltje kan bereiken.

Minkowski Diagrammen jaren tijd Raket met snelheid 0.5 c Foton in neg. x-richting 45o ruimte (x-as) lichtjaren Snelheid v volgt uit de helling van de wereldlijn Hoe groter v, des te groter is de hoek met de tijd-as Maximale snelheid is c → max. hoek is 45o Wereldlijn van huisgenoot

Twee Waarnemers - Tijdssynchronisatie t’ [Waarom?] t2 (t2+t1)/2 t’2 t1 x en x’ S S’ Synchronisatie van de klokken van S en S’ kan door S op t = t1 een lichtpuls naar S’ te laten sturen, die S’ op t’ = t’2 meteen terugkaatst. Op t = t2 ontvangt S de puls terug. Beide stralen maken een hoek van 45o met de tijdsas. S laat S’ weten dat het door S’ genoteerde tijdstip t’2 overeenkomt met zijn eigen tijdstip (t1+t2)/2. Waarnemers S en S’ bewegen niet t.o.v. elkaar. Hoe kunnen ze hun klokken gelijk zetten?

Tijdssynchronisatie (2) Gelijktijdig voor S1’ en S2’ tB’ tA’ t1 x S S1’ S2’ Maar nu is er iets vreemds aan de hand: Voor S1’ en S2’ zijn de tijdstippen tA’ en tB’ gelijktijdig, maar voor waarnemer S is het tijdstip tA’ vroeger dan tB’. We hebben het eerder gevonden resultaat dat gelijktijdigheid relatief is, nu meetkundig bewezen. We gebruiken weer het zelfde voorschrift: S1’ en S2’ sturen een lichtsignaal naar elkaar. Ook al zijn dit bronnen die voor S bewegen, volgens Einstein’s postulaten maken beide stralen toch weer dezelfde hoek van 45o met de t-as. Waarnemers S1’ en S2’ bewegen niet t.o.v. elkaar, Ze bewegen beiden met 0.25 c van S af. Hoe kunnen S1’ en S2’ hun beide klokken gelijk zetten?

Minkowski Diagrammen Ook de contracties van lengtes, de tijdsdilatatie en het Dopplereffect kunnen meetkundig worden afgeleid. Zie hiervoor het boek van Sander Bais, De sublieme eenvoud van Relativiteit. Opgaves Laat m.b.v. de Lorentztransformatie zien dat vanuit waarnemer S gezien, de x’-as van waarnemers S1’ en S2’ een hoek v/c maakt met de positieve x-as. Leg uit waarom de wereldlijn van S1’ - zoals die door S gezien wordt – wel de tijdsas van S1’ moet zijn.

Het Minkowski interval Stel dat S een aantal andere waarnemers ziet die allemaal met een verschillende snelheid op t = 0 door de oorsprong van S zijn coördinatensysteem reizen: t t = s x S vraagt zich af op welk punt op hun wereldlijn de waarnemers vinden dat er een tijdsduur s is verstreken. Omdat het hier om voor S bewegende klokken gaat, zullen deze punten boven t = s liggen, en meer naar boven naarmate de snelheid t.o.v. S groter is Het blijkt dat de lijn die door al deze punten van gelijke tijd loopt, een hyperbool is.

Het Minkowski interval (2) ct ct’ We kunnen de vorm van de groene lijn berekenen door langs de verticale as ct uit te zetten i.p.v. t. Nu hebben beide coördinaten dezelfde dimensie nl. afstand. ct’ = s x Vanwege de tijdsdilatatie hebben we De positie van de bewegende waarnemers (volgens S ) is x = vt. Dus: Dit is de uitdrukking voor een hyperbool in het x,ct – vlak.

Het Minkowski interval (3) t = s x We noemen de ‘lengte’ s de Minkowski lengte, of het Minkowski interval. Een zeer bijzondere eigenschap is dat s2 Lorentz-invariant is, d.w.z. voor iedere willekeurige andere waarnemer geldt Dit is aannemelijk omdat het hier gaat om een tijdsduur meting in het ruststelsel van een waarnemer (s wordt de eigentijd genoemd), en die moet wel Lorentz- invariant zijn. Opgave Toon algebraïsch aan dat s2 Lorentz-invariant is.

De Tweelingparadox Tweeling paradox heeft te maken met relativiteit van ruimte en tijd. Het hangt samen met de tijddilatatie van bewegende zaken of personen. We gebruiken de tweeling paradox om dit te illustreren.

Ruimte-tijd diagrammen Om de relativiteit van ruimte en tijd goed te beschrijven maken we gebruik van ruimte-tijd diagrammen. Hierin wordt de positie horizontaal uitgezet en de tijd vertikaal. Probeer dit zelf maar eens voor enkele voorbeelden op ruitjespapier. Hier geven we het voorbeeld van een fietstocht met 12 km/u van de VU naar CS in Amsterdam. Een waarnemer die op de VU blijft zal R’s reis naar het CS anders beschrijven dan R zelf.

Ruimte en Tijd Experimenteel blijkt dat de lichtsnelheid voor iedereen dezelfde waarde heeft, ongeacht zijn snelheid t.o.v. de lichtbron: c = 299 792 458 m/s Einsteins speciale relativiteitstheorie neemt dit gegeven als uitgangspunt. De Lorentz transformatie vertelt hoe je de ruimte- en tijdmetingen (t,x,y,z) van waarnemer S kunt omzetten in de metingen (t’,x’,y’,z’) van waarnemer S’. Het enige `ingrediënt’ dat je daarbij nodig hebt is de onderlinge snelheid v van S en S’. Deze snelheid wordt geacht constant te zijn.

Een consequentie is: Lorentz-Fitzgerald contractie Een bewegend voorwerp of afstand is korter dan hetzelfde voorwerp dat stil staat! Dit effect treedt alleen op bij zeer grote snelheden: v ≈ c

Tweede consequentie: Tijdsdilatatie Voor een bewegend iets/iemand loopt de klok langzamer Kosmische muonen bereiken de aarde! levensduur muon = 2.2 x 10-6 s (d.i. maximaal circa 660 m) Maar met v = 0.99995 c leeft het muon 100 x zo lang en legt dan circa 66 km af

Gamma factor voor tijdsdilatatie Stel v = 0.99995 c dan v2/c2 = 0.9999, en 1-v2/c2 = 1/10 000 en (1-v2/c2)1/2 = 1/100 → g = 100

Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie Als v = 0.6 c dan g = 1.25 Tijdsdilatatie: de klok van een deeltje of een reiziger die met 0.6 c beweegt t.o.v. jou loopt een factor g = 1.25 langzamer dan jouw klok. Lorentzcontractie: de afstand die door een bewegend deeltje of reiziger wordt afgelegd is voor hem een factor g korter. Bijv. 3 lichtjaar : 1,25 = 2,4 lichtjaar.

Paradoxen Epimenides, zelf op Kreta wonend, sprak: `Alle Kretenzers zijn leugenaars.’ Alle mannelijke inwoners van Sevilla die zich zelf niet scheren, worden geschoren door de barbier die zelf ook in de stad woont. Wie scheert de barbier van Sevilla? Russell Een paradox is een schijnbare tegenspraak.

Logboek van een waarnemer We zetten plaats en tijd tegen elkaar uit in een x-t diagram R is het pad van raket met v = 0.6 c -> g=1.25 Maximale snelheid is c. Pad van R valt binnen lichtkegel Punten met dezelfde (eigen) tijd liggen op een hyperbool! Licht- en radiogolven gaan onder een hoek van 45o We zetten plaats en tijd tegen elkaar uit in een x-t diagram R geeft pad van raket met v = 0.6 c Maximale snelheid is c. Pad van R valt binnen lichtkegel We zetten plaats en tijd tegen elkaar uit in een x-t diagram R geeft pad van raket met v = 0.6 c We zetten plaats en tijd tegen elkaar uit in een x-t diagram

De lichtkegel De voorwaartse lichtkegel wordt gevormd door alle punten waar je naar toe kan reizen of signalen naar toe kunt sturen De achterwaartse lichtkegel zijn die punten waar je vandaan had kunnen komen, of waarvan je signalen van hebt kunnen ontvangen. De lichtkegel beweegt met iedere waarnemer mee door het tijd-ruimte diagram

Een reis naar de sterren Tweeling A en R A blijft thuis R reist met v = 0.6 c ster S op 3 lj afstand Voor R duurt de reis 4 jaar nl. 5/1,25 vanwege de tijdsdilatatie A concludeert dat R bij S aankomt na 5 jaar. Een door R vanaf S verzonden bericht komt inderdaad 5+3=8 jaar na R’s vertrek bij A aan! Maar R schrijft pas 4 jaar onderweg te zijn…

Een reis naar de sterren (nogmaals) A verdwijnt met v = -0,6 c S nadert met v = 0,6 c Lichtsignalen blijven lijnen onder 45 graden! R arriveert bij S na 4 jaar! Op klok van A is maar 3,2 jaar (4/1,25) verstreken! Voor reiziger R is de afstand tot S maar 2,4 lichtjaar (3/1,25) (Lorentzcontractie)

De hele reis naar S A concludeert dat terugreis voor R weer 5 jaar duurt Voor R duurt de reis weer 4 jaar A is 10 jaar ouder, maar R is 8 jaar ouder. R is dus naar de toekomst gereisd! SMS’jes van R naar A: aantal = 8, de tussenduur ervan vermindert volgens A na 8 jaar. R verstuurt ze echter telkens waneer er volgens hem precies 1 jaar verstreken is

Hoe kan dat nu? Wat is hier aan de hand ? Als we nu vanuit R’s standpunt de zaak bekijken verstrijkt er tijdens de heenreis voor A maar 4/1,25 = 3,2 jaar. Vanuit R gezien zou A dus al met al maar 6,4 jaar ouder zijn geworden! Wat is hier aan de hand ?

De hele reis naar S (variant 1) Nu gezien door iemand die op de heenreis met R is meegereist en daarna gewoon verder is gegaan Voor R is de terugreis een kwestie van A inhalen Snelheid van terugkerende R is v = 0.88 c (0.6 +0.6=0.88! Opgetelde snelheden blijken lager dan verwacht te zijn, hun som is altijd < c.) en zijn tijd loopt nu nog langzamer (g = 2.105) De jaarlijkse berichten van R gaan elkaar vanuit dit perpectief nog sneller opvolgen!

De hele reis naar S (variant 2) Heenreis voor reiziger R Terugreis voor reiziger R Wereldbeeld verandert Bij het omdraaien verzet R z’n klok niet, maar de klok van A gaat wel opeens nog langzamer lopen volgen R. Maar ook vindt R dat de positie van de aarde opeens veranderd is! [Ga na!] (De onderlinge snelheid van R en A verandert nl. van +v in -v!) Plaats en tijd zijn relatief!

Paradox = schijnbare tegenstelling Het is gek Maar waar!

De oplossing Heenreis van reiziger R vindt plaats met snelheid +v. Terugreis voor reiziger R gaat met snelheid –v. R moet afremmen om terug te keren (bijv. de raket stoppen etc.). Zijn rol en die van A zijn dus niet symmetrisch! R is dus strikt genomen geen ‘goede’ waarnemer, want de theorie beschrijft alleen waarnemers met een constante snelheid t.o.v. elkaar. Zowel de ‘doorreizende’ compagnon van R als A zien het beiden juist: R is minder oud geworden dan z’n tweelingbroer.

Einde There once was a girl named Ms. Bright, who could travel much faster than light. She departed one day, the Einsteinian way, and returned on the previous night… Einde