Grootte van en afstand tot zon & maan à la Aristarchos van Samos Jeroen Spandaw, TU Delft NWD, 30 januari 2015

Hoe groot is de maan?

Hoe groot is de zon?

Hoe ver weg zijn zon & maan?

Doelen van deze voordracht Bepalen van S, L, s en ℓ à la Aristarchos

Moderne waarden afstand S = 150.000.000 km ( 1,7%) afstand L = 380.000 km ( 5,5%) straal s = 700.000 km straal ℓ = 1.700 km S : L  s : ℓ  400 : 1 (1 significant cijfer) S : s  L : ℓ  200 : 1 (1 significant cijfer) S : 2s  L : 2ℓ  100 : 1 (1 significant cijfer)

Doelen van deze voordracht Bepalen van S, L, s en ℓ à la Aristarchos Ideeën v.d. methode belangrijker dan getalsmatige uitkomsten historische correctheid Claim: begeleide herontdekking door leerlingen mogelijk deels zelfs in onderbouw!

Beetje geschiedenis Pythagoras van Samos (ca. 572 – 500): aarde = bol; geocentrist Pythagoreeërs: centrum = vuur  zon Aristarchos van Samos (ca. 310 – 230): afstand en grootte zon & maan; heliocentrist! Eratosthenes van Alexandrië (ca. 276 – 195): omtrek van de aarde Archimedes van Syracuse (ca. 287 – 212) Ptolemeos van Alexandrië (ca. 100 – 175): Almagest

Zonsverduistering S : s = L : ℓ S : L = s : ℓ Nu: Hoe groot is L : ℓ ?

Duimsverduistering

Duimsverduistering L : ℓ  200 : 1 hoek  0,5

Zonsondergang zonsondergang duurt 2 minuten 1 diameter  2 min hele cirkel  24 uur dus: diam : 360 = 1 : 720 dus diameter = 0,5 en L : ℓ  200 : 1

Tussenstand Weten nu: S : s  L : ℓ  200 : 1 Volgende vraag: Wat is S : L?

Wat is S : L ?

Hoek MAZ bij halve maan

Hoek MAZ bij halve maan

Waarde van S / L = cos(MAZ) Aristarchos: MAZ = 87 en 1/20 < cos(87) < 1/19 ! (b) uitstekend, (a) niet Werkelijke waarden: MAZ  89,85 en cos(89,85)  1/400 Kleine meetfout, grote consequenties!

Tussenstand: S : L : s : ℓ Kennen nu alle verhoudingen tussen S, L, s, ℓ : S : s  L : ℓ  200 : 1 (duim of zonsopgang) S : L  s : ℓ  400 : 1 (halve maan) Volgende vraag: Hoe verhouden zich deze grootheden tot de aardstraal t?

Maansverduistering

Maansverduistering

Maansverduistering breedte aardschaduw b  2t

ruimte-tijd-grafiek

Conclusie

Conclusie

aardschaduw : maandiameter = 8 : 3

BONUS: Afstand naar de maan Middelpunt maan doet aardschaduw in 160 minuten; doet hele cirkel om aarde in maand. Dus 2πL : b  maand : 160 min Dus: L : b  40 : 1

Samenvatting Maansverduistering L : b  40 : 1 en b : 2ℓ = 8 : 3 Samen: L : ℓ  210 : 1. Compatibel met eerdere resultaten duimsverduistering tijdsduur zonsondergang

Tussenstand: S : L : s : ℓ : t Kennen alle verhoudingen tussen S, L, s, ℓ : S : L  s : ℓ  400 : 1 S : s  L : ℓ  200 : 1 Weten nu ook: L : b  40 : 1 TO DO: Hoe verhoudt breedte aardschaduw b zich tot de aardstraal t? Volgende dia’s: b  0,7  2t Daaruit volgt: L : t  60 : 1

Tapse aardschaduw Te bewijzen: b  0,7  2t Equivalent: D := |AF|  4L

Tapse schaduw, want ……….……………….…

Tapse schaduw, want de zon niet oneindig ver

Tapse schaduw, want de zon niet oneindig ver

Tapse schaduw, want de zon niet oneindig ver D bepalen via (S + D) : D = s : t

Synthese Weten: Gevolg: Klopt zeer goed! b / 2t = 1 – L / D (S + D) : D = s : t S  400L s  2L L  40b Gevolg: b / 2t  0,7 L : t  60 : 1 Klopt zeer goed!

Conclusie Met elementaire methoden kun je uitdrukken in aarddiameter. afstanden tot maan en zon en hun diameters uitdrukken in aarddiameter. Conclusie: Zon VEEL groter dan aarde.  heliocentrisme?

Was Aristarchos heliocentrist? Archimedes: Ja! Sir Thomas Little Heath: Aristarchos van Samos = Copernicus van de Oudheid

Heliocentrische herinterpretatie van Ptolemeus’ Almagest Straal planeetbanen uitgedrukt in Astronomische Eenheid = straal aardbaan Numeriek spectaculair goede resultaten (fout 0.3% – 3%) Omlooptijden al bekend van Babyloniërs Dus Ptolemeus had Derde Wet Kepler T  R3/2 kunnen ontdekken!

Regressie met GR Data uit Almagest! exponent = 1.500 r2 = 0.9999

Bronnen Aristarchos van Samos, On the sizes and distances of Sun and Moon Sir Thomas Heath, Aristarchos of Samos – The Ancient Copernicus, Dover (2004). Ptolemeus, Almagest, Princeton (1998). Uitwiskeling, zomer 2013, 3, jaargang 29.