Fascinerende priemgetallen Els Vanlommel Hilde Eggermont NWD21, 30 januari 2015

Inhoud Begrippen ICT Formules voor priemgetallen Rijen van priemgetallen Gaten tussen opeenvolgende priemgetallen

Inhoud Waarom priemgetallen? Hoe dit materiaal gebruiken in de klas? bouwstenen natuurlijke getallen intrigerend, open problemen pure schoonheid met praktische toepassingen Hoe dit materiaal gebruiken in de klas? axiomatische opbouw niet noodzakelijk losse werkteksten

Uitwiskeling Deze workshop is gebaseerd op een artikel rond priemgetallen uit Uitwiskeling 28/3. Dit artikel staat integraal bij de handouts op de website van NWD. Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskunde-leraren, vanuit de praktijk van het wiskunde-onderwijs. Meer info: www.uitwiskeling.be

1. Begrippen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat enkel deelbaar is door 1 en door zichzelf. Unieke priemfactorisatie Elk natuurlijk getal kan op een unieke manier geschreven worden als product van priemgetallen. Hoofdstelling van de rekenkunde. Dat maakt priemgetallen zoals atomen in chemie: ze kunnen gebruikt worden om andere getallen mee te maken. Een belangrijk woord uit de hoofdstelling is het woord ‘uniek’. Om de priemfactorenontbinding uniek te maken sluiten we 1 uit als priemgetal. 1 wordt anderzijds ook niet als een samengesteld getal beschouwd. Het vormt eigenlijk een categorie op zichzelf, het is een erg eenzaam getal. De meeste oude Griekse wiskundigen beschouwden 1 zelfs niet als getal en dus zeker geen priem. In de 19de eeuw echter beschouwden veel wiskundigen 1 wel als een priemgetal, maar ondertussen is het dus gedegradeerd.

1. Begrippen de rest bij deling van 𝑎 door 𝑚 is 𝑏 𝑎≡𝑏 (mod 𝑚) de rest bij deling van 𝑎 door 𝑚 is 𝑏 𝑎−𝑏 is deelbaar door 𝑚 𝑎 is 𝑏 op een veelvoud van 𝑚 na Het is geen absolute noodzaak dat leerlingen kunnen modulorekenen. Je kunt dat eenvoudig vermijden bij het bestuderen van priemgetallen en gewoon met de resten rekenen, maar het is een voordeel als je de basis van modulorekenen, en bijvoorbeeld het rekenen met restklassen, kent.

2. ICT WolframAlpha

2. ICT Geogebra

2. ICT GRT TI84plus

3. Formules voor priemgetallen Marin Mersenne (1588-1648) formule voor alle priemgetallen 𝑀 𝑛 = 2 n −1 oneindig veel? Euclides: als 𝑀 een Mersennepriemgetal is, dan is 𝑀 𝑀+1 2 een volmaakt getal Euler: even volmaakte getallen geen oneven volmaakte getallen? Marin Mersenne was een Franse theoloog, filosoof, muziektheoreticus, wetenschapper (akoestiek, mechanica) en wiskundige. Het grootste deel van zijn leven woonde hij in Parijs. Tijdens zijn studententijd aan het Jezuïetencollege was hij een klasgenoot van René Descartes waarmee hij zijn hele leven bevriend is geweest. Hij had een uitgebreide correspondentie met heel wat belangrijke wiskundigen uit zijn tijd waardoor hij een belangrijke rol had in de verspreiding van wiskundige kennis. Hij correspondeerde o.a. met Constantijn Huygens, de vader van de bekende Christiaan Huygens, maar ook met Fermat, Pascal en Galilei. Mersenne verdedigde Descartes en Galilei tegen de felle godsdienstkritiek waarmee zij te maken hadden (wat voor hem als priester niet evident was). Mersenne was gefascineerd door priemgetallen en hij zocht naar een formule die alle priemgetallen zou voortbrengen. Hij slaagde daar niet in, maar hij maakte wel een lijst van priemgetallen met een speciale vorm: 2^n-1, we noemen die nu mersenne priemgetallen. De eerste Mersenne priemgetallen zijn 3,7,31 en 127. Op dit moment is het grootste gekende priemgetal een Mersenne priemgetal, het 48e gekende mersenne priemgetal. Wiskundigen denken dat er oneindig veel Mersenne priemgetallen bestaan maar dat vermoeden is nog niet bewezen, het is één van de grote open problemen in de wiskunde. Mersenne was niet de eerste die Mersenne priemgetallen bestudeerde. Euclides bewees al in de 4de eeuw voor Christus dat als M een priemgetal is van de vorm 2^n-1 dan M(M+1)/2 een perfect of volmaakt getal is. Een perfect getal is een getal waarvan de som van de delers (kleiner dan het getal) het getal zelf is. Bv. 6=1+2+3. Voorbeelden: M=2^2-1=3 and 3*4/2=6 is perfect, M=2^3-1=7 and 7*8/2=28=1+2+4+7+14 Euler bewees in de 18de eeuw dat elk even volmaakt getal van de vorm M(M+1)/2 moet zijn met M een Mersennepriemgetal. Al de gekende volmaakte getallen zijn even en er zijn sterke indicaties dat oneven perfecte getallen niet bestaan, maar dat is nog niet bewezen. Dat is nog één van de vele open problemen in wiskunde, waarschijnlijk is dit zelfs het oudste open probleem. Ander open probleem: vermoeden van Goldbach (18de eeuw): elk even getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen. vb. 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7; 12 = 5 + 7; 14 = 7 + 7; 16 = 5 + 11; 18=11+7=13+5 Open problemen: intrigerend voor lln, ze lijken heel gemakkelijk maar zijn enorm moeilijk om te vatten en te bewijzen. Naar aanleiding van Einsteins vermeende uitspraak ‘God dobbelt niet’, zei Paul Erdös: ‘God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbers…’

3. Formules voor priemgetallen Werkmoment

3. Formules voor priemgetallen 333333331 is deelbaar door 17 slim priemgetallen zoeken: priemdelers ≤ 𝑛 2 13 −1 = 8191 is priem Niet juist; 2 11 −1=2047=23⋅89 Samengesteld getal; 2 1000 −1= (2 500 −1)( 2 500 +1) Je voelt hier hoe moeilijk het is om priemdelers te zoeken. lln krijgen al snel door dat je dat op een slimme manier kunt doen, nl alleen priemdelers kleiner dan wortel(n). Om een lijst van priemgetallen te maken, kun je bv. de zeef van eratosthenes gebruiken.

3. Formules voor priemgetallen Juist; 𝑀 𝑝 priem ⟹ p priem Bewijs door contrapositie: Als 𝑝=𝑎𝑏 met 1<𝑎<𝑝 en 1<𝑏<𝑝 dan: 𝑀 𝑝 = 2 𝑎 𝑏 − 1 𝑏 =( 2 𝑎 −1)( 2 𝑎 𝑏−1 +…+1) Besluit: 𝑀 𝑝 is geen priemgetal. bewijstechnieken, enkele mooie en relatief eenvoudige bewijsjes

3. Formules voor priemgetallen verwerken in presentatie

3. Formules voor priemgetallen 𝟐 𝟓𝟕𝟖𝟖𝟓𝟏𝟔𝟏 −𝟏 48ste Mersennepriemgetal (25/01/2013)

4. Rijen van priemgetallen Er zijn oneindig veel priemgetallen Bewijs (gebaseerd op het bewijs van Euclides, 325 v.Chr.): Stel dat er eindig veel priemgetallen zijn, m.a.w. stel dat 𝑝 1 , 𝑝 2 … 𝑝 𝑛 alle priemgetallen zijn. Dan is 𝑅= 𝑝 1 ⋅ 𝑝 2 ⋅…⋅ 𝑝 𝑛 +1 geen priemgetal (omdat 𝑅> 𝑝 𝑖 ) en dus heeft R een priemdeler 𝑝. Maar geen enkele van de priemgetallen van de lijst hierboven is een deler van R, dus 𝑝∉ 𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 . Dit is een contradictie. gekleurde houtgravure uit 1584

4. Rijen van priemgetallen geïnspireerd door dit bewijs: rijen van oneindig veel verschillende priemgetallen, die toch niet alle priemgetallen bevatten

4. Rijen van priemgetallen 𝑣 1 =2 𝑣 𝑛+1 de kleinste priemdeler van 𝑏 𝑛 =1+ 𝑣 1 2 𝑣 2 2 … 𝑣 𝑛 2 𝑣 2 =5, 𝑣 3 =101, 𝑣 4 =1 020 101, 𝑣 5 =53 een getal kan geen twee keer voorkomen Stel dat het priemgetal 𝑝 een tweede keer voorkomt in de lijst. D.w.z. dat 𝑝 de kleinste priemdeler is van 1+ 𝑣 1 2 𝑣 2 2 … 𝑣 𝑛 2 terwijl één van de getallen 𝑣 1 , 𝑣 2 ,…, 𝑣 𝑛 gelijk is aan 𝑝. Dit is een contradictie.

4. Rijen van priemgetallen 𝑣 1 =2 𝑣 𝑛+1 de kleinste priemdeler van 𝑏 𝑛 =1+ 𝑣 1 2 𝑣 2 2 … 𝑣 𝑛 2 als 3 niet voorkomt in 𝑣 1 , 𝑣 2 ,… ,𝑣 𝑘 dan is 3 geen deler van 𝑏 𝑘 =1+ 𝑣 1 2 𝑣 2 2 … 𝑣 𝑘 2 m.a.w. 3 is dan niet 𝑣 𝑘+1 Als 3 niet voorkomt in 𝑣 1 ,𝑣 2 ,… ,𝑣 𝑘 dan is 3 geen deler van 𝑣 1 𝑣 2 … 𝑣 𝑘 . Dus: 𝑣 1 𝑣 2 … 𝑣 𝑘 ≡1(𝑚𝑜𝑑 3) of 𝑣 1 𝑣 2 … 𝑣 𝑘 ≡2(𝑚𝑜𝑑 3). En dan is (𝑣 1 𝑣 2 … 𝑣 𝑘 ) 2 ≡1(𝑚𝑜𝑑 3) zodat 𝑏 𝑘 = 1+(𝑣 1 𝑣 2 … 𝑣 𝑘 ) 2 ≡2(𝑚𝑜𝑑 3).

4. Rijen van priemgetallen 𝑣 1 =2 𝑣 𝑛+1 de kleinste priemdeler van 𝑏 𝑛 =1+ 𝑣 1 2 𝑣 2 2 … 𝑣 𝑛 2 Het getal 3 kan dus nooit voorkomen in deze rij. basis: 3 behoort niet tot het rijtje 𝑣 1 , 𝑣 2 ,… ,𝑣 5 inductiestap: als 3 niet voorkomt in 𝑣 1 , 𝑣 2 ,… ,𝑣 𝑘 dan is 3 ook niet 𝑣 𝑘+1 bewijstechnieken

5. Gaten tussen priemgetallen Werkmoment

5. Gaten tussen priemgetallen Als 𝑝=2, dan is 𝑝+1 priem. Als 𝑝>2, dan is 𝑝+1 even. Ja, 3,5 , 17,19 … Vermoeden: oneindig veel priemtweelingen. Ja, (3,5,7). Maar er zijn geen andere priemdrielingen 𝑝,𝑝+2,𝑝+4 . Als 𝑝>3, is altijd één van de drie getallen deelbaar door 3.

5. Gaten tussen priemgetallen Ja, (3,7,11). Weer zijn er geen andere neef-priemdrietallen (𝑝,𝑝+4,𝑝+8). Als 𝑝>3, is altijd één van de drie getallen deelbaar door 3. Ja. Er bestaat slechts één sexy priemvijftal, 5,11,17,23,29 . In alle andere gevallen is altijd één van de vijf getallen deelbaar door 5.

5. Gaten tussen priemgetallen Alleen als het laatste cijfer 1 is, is geen van de getallen 𝑝, 𝑝+6,𝑝+12 en 𝑝+18 deelbaar door 5. De getallen zijn deelbaar door 2, 3, 4,…,𝑘. Willekeurig groot. De gaten tussen opeenvolgende priemgetallen noemen we priemwoestijnen. Alhoewel we in theorie wel weten dat we willekeurig grote priemwoestijnen kunnen maken, betekent dat niet dat we die grote priemwoestijnen ook kennen. De grootst gekende priemwoestijn tot nu heeft een lengte van 66520 en is ontdekt in 2012.