Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x) = c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

Voorkennis f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 oude exponent ervoor zetten f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 12.1

Voorkennis werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden 1 bereken f’(x). 2 los algebraïsch op f’(x) = 0. 3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0 12.1

voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x eerst haakjes wegwerken voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x f(x) = 2x² + 9x – 56 f’(x) = 2 · 2x + 9 f’(x) = 4x + 9 dezelfde termen optellen somregel van differentiëren

Andere regels ?!? De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2. Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x. Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn. Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) =  f(x) / g(x)  niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

De productregel De quotiëntregel 7.1

De productregel: Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

v.b. productregel

De kettingregel: Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide: Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus: Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.) En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x))⋅g'(x) .

v.b. kettingregel

De kettingregel Kettingregel: De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels De kettingregel Kettingregel: Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie y = f (x) als volgt te werk. Schrijf f als een ketting van twee functies. Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. Druk het product van de afgeleide functies uit in x. 12.3

Oefenopgave

Oefenopgave y f (x) = (½x2 - 2x)3 bepaal waar de rico = 0 Stel y = (½x2 – 2x)3 = u3 met u = ½x2 – 2x en f’ (x) = 3u2 · (x – 2) = 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) f’ (x) = 0 geeft 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0 ½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2 Wat is de vergelijking van de raaklijn bij x =6 ? Stel l : y = ax + b a = f’ (6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2(6 – 2) = 432 dus l : y = 432x + b yA = f(6) = (½ · 62 – 2 · 6)3 = 216 dus A(6, 216) f x O 216 = 432 · 6 + b 216 = 2592 + b -2376 = b l : y = 432x - 2376

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum. Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn: Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.6

De grafiek van een machtsfunctie n even n oneven y y y y a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 ∙ ∙ x x x x O O O O lijnsymmetrisch met de y-as puntsymmetrisch met (0, 0) 9.1

Welk functievoorschrift hoort bij de verschillende parabolen ?

opgave 2 y a f(x) = -2(x + 2)2 – 3 n even  top (-2, -3) bergparabool max. is f(-2) = -3 Bf = <  , -3 ] b h(x) = 0,18(x – 3)2 – 4 n even  top (3, -4) dalparabool min. is f(3) = -4 Bg = [ -4 ,  > n even a < 0 x O n even a > 0 y x O 9.1

opgave 5 a y = 0,3x4 y = 0,3(x + 5)4 + 6 y = 0,9(x + 5)4 + 18 top (-5, 18) b y = 0,3x4 y = 0,9x4 y = 0,9(x + 5)4 + 6 top (-5, 6) Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x+5 en tel je 6 bij de functiewaarde op. translatie (-5, 6) verm. met 3 tov de x-as Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met 3, vermenigvuldig je de functiewaarde met 3. verm. met 3 tov de x-as translatie (-5 ,6)

∙ voorbeeld y f(x) = √(x + 5) + 3 beginpunt (-5, 3) Df = [ -5 ,  > Bf = [ 3 ,  > ∙ 3 1 x -5 -1 O 1

∙ Voorbeeld 2 y 1 l(x) = -√(x - 1) - 1 beginpunt (1, -1) Dl = [ 1 ,  > Bl = <  , -1 ] -1 O x 1 ∙ -1

Wortelvergelijkingen oplossen 2x + √x = 10 √x = 10 – 2x x = (10 – 2x)2 x = 100 – 40x + 4x2 -4x2 + 40x + x – 100 = 0 -4x2 + 41x – 100 = 0 D = (41)2 – 4 · -4 · -100 D = 81 x = x = 6¼ v x = 4 isoleer de wortelvorm kwadrateer het linker- en het rechterlid los de vergelijking op -41 ± √81 -8 controleer of de oplossingen kloppen voldoet niet voldoet 9.1

Oefening 1 √(x + 12) = x x + 12 = x2 -x2 + x + 12 = 0 x2 – x – 12 = 0 x – 4 = 0 v x + 3 = 0 x = 4 v x = -3 Oefening 2 2x + √x = 6 √x = 6 – 2x x = (6 – 2x)2 x = 36 – 24x + 4x2 -4x2 + 24x + x – 36 = 0 -4x2 + 25x – 36 = 0 D = (25)2 – 4 · -4 · -36 D = 49 x = x = 4 v x = 2¼ Oefening 3 10 - x√x = 2 -x√x = -10 + 2 -x√x = -8 x2 · x = 64 x3 = 64 x = 3√64 x = 4 -25 ± √49 -8 voldoet voldoet niet voldoet voldoet niet voldoet

∙ ∙ 1 x y f (x) = standaardfunctie De grafiek heet een hyperbool f (0) bestaat niet De grafiek bestaat uit 2 losse delen takken van de hyperbool Je hebt een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. Een asymptoot is een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel samenvalt. De grafiek is puntsymmetrisch in (0,0) 4 3 2 ∙ y=0 1 -2 -1 1 2 3 x ∙ -1 -2 x=0 9.2

Voorbeeld f(x)=4x/(x+2) en g(x)= x-3 wanneer geldt f(x)>g(x) ? horz.asymptoot voor grote x vert.asymptoot noemer = 0 y 8 f 4x x + 2 a f(x) = noemer = 0 x + 2 = 0  x = -2 vert.asymptoot : x = -2 voor grote x is f(x) ≈ 4x/x = 4 horz.asymptoot : y = 4 b voer in y1 = 4x/(x+2) en y2 = x - 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 6 f(x) > g(x) geeft x < -2 v -1 < x < 6 6 4 y=4 2 f g ∙ ∙ ∙ -8 -6 -4 -2 2 4 x -2 ∙ Wanneer ligt de grafiek van f boven g ? -4 x=-2

∙ ∙ ∙ ∙ a f(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot : x = -3 opgave 21 vert.asymptoot noemer = 0 horz.asymptoot voor grote x y 8 2x-1 x + 3 a f(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot : x = -3 voor grote x is f(x) ≈ 2x/x = 2 horz.asymptoot : y = 2 b voer in y1 = (2x-1)/(x+3) en y2 = x - 3 optie intersect geeft x = -2 v x = 4 f(x) ≤ g(x) geeft -3 < x ≤ -2 v x ≥ 4 6 f 4 y=2 2 g f ∙ ∙ ∙ x -8 -6 -4 -2 2 4 -2 ∙ Wanneer ligt de grafiek van f onder of op g ? -4 x=-3 9.2

Kenmerken van sinusoïden formules hebben de vorm : y = a + b (sin( c(x-d) ) en y = a + b (cos( c(x-d) ) b > 0 en c > 0 8.3

kenmerken van de grafiek van y = a + b (sin( c(x - d) ) evenwichtsstand y = a amplitude = b periode = beginpunt (d, a) 2π c 8.3

De exacte-waarden-cirkel 12.4

∙ ∙ ∙ ∙ Oefening Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π]. sin2(x) + sin(x) = 0 sin(x)(sin(x) + 1) = 0 sin(x) = 0 v sin(x) = -1 x = k · π v x = 1½π + k · 2π Op domein [0, 2π] geeft dat de nulpunten x = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π. y f ∙ ∙ ∙ ∙ x O ½π π 1½π 2π

De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x) f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x) g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x) Dus f (x) = cos(2x) Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2x f’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2 f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x) 12.5

voorbeeld g (x) = x cos(x) g’ (x) = [x · cos(x)]’ g’ (x) = [x]’ · cos(x) + x · [cos(x)]’ g’ (x) = 1 · cos(x) + x · - sin(x) g’ (x) = cos(x) – x sin(x) g’

Voorbeeld 2 g (x) = x2 sin(3x) g’ (x) = [x2 · sin(3x)]’ g’ (x) = [x2]’ · sin(3x) + x2 · [sin(3x)]’ g’ (x) = 2x · sin(3x) + x2 · 3 cos(3x) g’ (x) = 2x sin(3x) + 3x2 cos(3x) g’

j’ Voorbeeld 3 j (x) = x + 3 sin2(x) j’ (x) = [x + 3 (sin(x))2]’ j’ (x) = 1 + 3 · 2 sin(x) · cos(x) j’ (x) = 1 + 6 sin(x) · cos(x) j’ 12.5

glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 23 = 8 ⇔ 2log(8) = 3 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen: glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y x > 0 , g > 0 en g ≠ 0

5log() = 5log(5-1) = -1 b 3log(3√3) = 3log(31 . 3½) = 3log(31½) = 1½ voorbeeld a 5log(0,2) = 5log() = 5log(5-1) = -1 b 3log(3√3) = 3log(31 . 3½) = 3log(31½) = 1½ c ½log(8) = ½log((½)-3) = -3 d ¼log() = ¼log((¼)2) = 2

De standaardgrafiek y = glog(x) functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies g > 1 0 < g < 1 y y y = x y = x y = 2x 1 y = (½)x 1 x x O O 1 1 y = 2log(x) y = ½log(x) 9.3

voorbeeld          x = 4 y 4 a y = 3log(x) 4 naar rechts 2 omhoog y = 3log(x – 4) + 2 b Df = < 4, > 3 2  x   1 3 9 1   3log(x) -2 -1 1 2    O 1 2 3 4 5 -1 2 omhoog   4 naar rechts -2  

Voorbeeld f(x)= 3log(4x – 1) los op 3log(4x – 1) ≤ 2 a verticale asymptoot : 4x – 1 = 0 x = ¼ voer in y1 = log(4x-1)/log(3) b f(x) ≤ 2 3log(4x – 1) = 2 4x – 1 = 32 4x = 10 x = 2½ ¼ < x ≤ 2½ 3 ∙ ∙ 2 y = 2 ∙ x 1 2 3 4 ∙ 1 3log(4x - 1) 1 1,8 2,2 2,5 ∙ -1 1 2 2½ 3 4 x -1 -2 x = ¼

Voorbeeld 2 f(x) = 6 + ½log(x2 + 5) en g(x) = 3log(x2 – 2x) los op f(x) > g(x) a x2 + 5 = 0 heeft geen oplossingen dus f heeft geen verticale asymptoot g(x) = 3log(x2 – 2x) x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 v x = 2 voer in y1 = 6 + log(x2 + 5)/log(½) en y2 = log(x2 – 2x)/log(3) y g f O x x = 0 x = 2

g f b optie intersect (-2,759 ; 2,344) en (3,776 ; 1,732) c f(x) > g(x) -2,759 < x < 0 v 2 < x < 3,776 g f -2,759 O x 3,776 x = 0 x = 2

Transformaties toepassen op y = f (x) beeldgrafiek translatie (a,0) g(x) = f(x - a) vervang x door x – a translatie (0,b) g(x) = f(x) + b tel b op bij de functiewaarde verm. t.o.v. de x-as met c g(x) = c · f(x) vermenigvuldig de functiewaarde met c verm. t.o.v. de y-as met d g(x) = f( x) vervang x door x 9.4

г l l opgave 50 a AC + BC = 12 – x Omdat AC = BC is AC = = 6 - ½x b Pythagoras in ∆ADC : CD 2 + AD 2 = AC 2 CD 2 = AC 2 – AD 2 CD 2 = (6 - ½x)2 – (½x)2 CD 2 = 36 – 6x + ¼x2 - ¼x2 = 36 – 6x CD = √(36 – 6x) c O = ½ · AB · CD O = ½x √(36 – 6x) 12 - x 2 г l l D x

Opgave 53

O(∆ABC) = ½ · AC · AB AC = OC – OA = 4 – p opgave 54 O(∆ABC) = ½ · AC · AB AC = OC – OA = 4 – p AB = yB = f (p) = p2 – 2p + 3 Dus O = ½(4 – p)(p2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p2 – 2p + 3)

Opgave 56

Opgave 58 200-x

Opgave 63a&b

Opgave 63c&d

Opgave 63c&d

Opgave 64

K r opgave 70 a De inhoud is I = πr2h , dus 500 = πr2h. dus h = De materiaalkosten zijn K = πr2 · 1 + πr2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh . K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr + Voer in y1 = 3πx2 + 4πx + De optie minimum geeft x ≈ 3,5. De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingen r ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm. 500 πr2 onderkant bovenkant rand van deksel mantel 500 πr2 1000 r K b 1000 x 445,1 r 3,5

Opgave 76

De ABC-formule ax2 + bx + c = 0 De discriminant D = b2 – 4ac D < 0 geeft geen oplossingen. D = 0 geeft 1 oplossing. D > 0 geeft 2 oplossingen. 12.2

Opgave 17

opgave 19 a Stel k : y = ax + b dus Dus 12.2

opgave 19 b rcraaklijn = -3, dus f’ (x) = -3 x2 = 1 x = -1 v x = 1 f(-1) = -5 en f(1) = 5 De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5)

opgave 19 c f’ (x) = 0 geeft x2 = 4 x = -2 v x = 2 max. is f(-2) = -4 en min. is f(2) = 4

opgave 19 d f’ (x) = 2 geeft x2 = -4 Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, heeft de vergelijking x2 = -4 geen oplossingen. Dus er is geen raaklijn met rc = 2.

Opgave 23

opgave 24 a geeft f’ (x) = 0 geeft x = 4 f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4 Min. is f(4) = -4. b rcraaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3 Raaklijn y = -3x c rcraaklijn = 3 dus f’ (x) = 3 1½√x – 3 = 3 1½√x = 6 √x = 4  x = 16 f (16) = 16 dus A(16, 16) raaklijn l : y = 3x + b 16 = 3 · 16 + b -32 = b l : y = 3x - 32

opgave 65a 72 dm3 Stel de hoogte is h dm. K = kosten bodem + kosten zijkanten

opgave 65b geeft geeft geeft Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm. De minimale kosten zijn = 21,6 euro

opgave 67 €10 De oppervlakte is x · y = 75 dus y = De kosten van de afrastering zijn K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y K = 30x + 40 · = 30x + = [30x + 3000x-1]’ = 30 – 3000x-2 = 30 – = 0 geeft 30 = 30x2 = 3000 x2 = 100 x = 10 v x = -10 De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m. 75 x €20 €20 y €20 75 x 3000 x x dK dx y 3000 x2 dK dx dK dx 3000 x2 x 10

opgave 68a K = kosten langs het bos + kosten in het weiland K = y · 60 + (x + y) · 15 K = 60y + 15x + 15y K = 15x + 75y O = xy O =1200

opgave 68b geeft geeft geeft Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m. De minimale kosten zijn ≈ 2324 euro

opgave 68c geeft Voer in De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1 geeft geeft Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezen voor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.