Verkeersgolven Rini van Dongen 50 jaar,

Verantwoording Op 5-04-1997 heb ik voor h* een voordracht gehouden met als titel: “Golven op de snelweg”. Voor deelnemers aan het autoverkeer is het een bekende ervaring: plotseling vaart moeten minderen om niet op je voorganger te botsen. Even later is de weg weer vrij en kan er weer worden versneld. Lighthill, Whitham hebben in 1955 laten zien dat dit verschijnsel een gevolg is van dichtheidsgolven en hebben een theoretische verklaring gegeven. Deze theorie was het onderwerp van een voordracht in 1997. In dit document wordt de voordracht van toen gecombineerd met een kort overzicht van nieuwe ontwikkelingen op het gebied van “traffic science”. Rini van Dongen April 2013

Verkeersgolven Door M.J. Lighthill en G.B. Whitham (1955) werd voor het eerst de analogie onderkend tussen niet-lineaire compressiegolven in een gas en golven in de dichtheid van verkeersdeelnemers op een autoweg. Kenmerk van verkeersgolven is dat “traagheid” geen rol speelt: het zijn kinematische golven. Verwante kinematische golfverschijnselen zijn o.a.: vloedgolven in rivieren en gletschers

Uitgangspunten Continuüm beschrijving voor de verkeers- dichtheid ρ, het aantal auto’s per lengte autoweg Deterministisch, d.w.z. we veronderstellen eenduidig verband tussen “flow” q en dichtheid ρ Uiteraard zijn er geen botsingen

Definities: ρ : autodichtheid [aantal auto’s per km] v : snelheid van de auto’s q : “flow” [aantal auto’s per uur] Per definitie geldt: q = ρ·v

Basisveronderstelling: q = q(ρ) Is dit realistisch? Soms wel en soms niet, afhankelijk van het type autoweg, zoals aantal rijbanen, op- en afritten etc.

q Soms is q in redelijke mate een functie van ρ (of v) zoals in dit voorbeeld uit Billingham and King (2000) q q v

Soms is er erg veel spreiding, vooral bij de hogere dichtheden, volgens Van der Weele et al. (2003), gemeten door Rijkswaterstaat op de A58 bij Oirschot NB. Een verband zoals hier aangegeven wordt in de literatuur een fundamenteel diagram genoemd.

Lighthill en Whitman veronderstellen een verband tussen q en ρ zoals in het plaatje wordt weergegeven: A

De maximale snelheid correspondeert met de raaklijn in de oorsprong. De “flow” is daar nul omdat de dichtheid nul is. De flow is ook nul bij maximale dichtheid. We zullen later zien dat tan β, de helling van de raaklijn, hier getekend in een willekeurig punt A, correspondeert met een golfsnelheid A

Behoud van verkeersdeelnemers (auto’s) wordt beschreven met de volgende elementaire behoudswet: Je kunt deze wet zelf afleiden door een stukje weg met lengte Δx te nemen en te bedenken dat een toename van q in x-richting leidt tot een afname van het aantal auto’s in dat stukje weg. Echter, q is verondersteld uitsluitend van de dichtheid af te hangen. Dus q = q(ρ). Dan wordt de behoudswet:

Met de definitie c(ρ) = dq/dρ voldoet de dichtheid ρ dus aan: We zullen zien dat c(ρ) de betekenis heeft van een golfsnelheid.

We kunnen de vergelijking als volgt interpreteren: Langs “trajecten” x(t) die voldoen aan: geldt:

In woorden: de dichtheid verandert niet langs een traject met “snelheid” c(ρ). Deze snelheid c(ρ) is dus constant, maar wel afhankelijk van de waarde van de dichtheid zelf. In een plaats-tijd- vlak zijn de lijnen van constante dichtheid dus rechten! Dat heeft interessante consequenties. Stel, we nemen op zeker tijdstip een stuk snelweg waar. Er is sprake van een zeker dichtheidsprofiel zoals hieronder getekend. We kunnen dan het nieuwe profiel op een willekeurig ander tijdstip eenvoudig construeren, zoals in de figuur aangegeven.

De trajecten met snelheid c(ρ ) heten in de wiskunde karakteristieken. Deze karakteristieken zijn in ons plaats-tijd diagram rechten. Een schaar karakteristieken zal of divergent zijn (expansiegolf), of convergent (compressiegolf). Er treedt dus vrijwel altijd een vervorming van de golf op. Het is nu ook duidelijk waarom c een golfsnelheid is. Het is immers de snelheid waarmee een “dichtheidsverstoring” zich voortplant.

Samenvatting: De autosnelheid v = q/ρ = tan α. De golfsnelheid c = dq/dρ = tan β. Golven planten zich achterwaarts voort omdat dv/dρ <0! “Vacuum” limiet:

Toepassing: het stoplicht springt op groen Oplossing: Als het stoplicht (x = 0) op groen springt vertrekt uit dit punt een (expansie-)waaier van karakteristieken. Immers het hele bereik van dichtheden is in de singulariteit (x = 0, t = 0) vertegenwoordigd. Dan volgt voor de expansiewaaier: dx/dt = c(ρ) = x/t. Op x = 0 moet dus blijven gelden c = 0, en dq/dρ = 0. Gevolg: op x = 0 is q maximaal!

Toepassing: het stoplicht springt op groen/ vervolg De maximale capaciteit van een verkeersweg kun je eenvoudig meten bij een verkeerslicht! Althans volgens deze theorie. Een mogelijk traject van een auto in het plaats-tijd diagram is in het plaatje geschetst. Let wel, als je een enkel traject kent, ken je ze allemaal: de oplossing is gelijkvormig!

Vervorming van een willekeurig dichtheidsprofiel We kijken nu opnieuw naar de vervorming van een willekeurig dichtheidsprofiel. Het rechterdeel van het profiel vormt een expansiegolf, de karakteristieken zijn divergent. Het linker deel vormt een compressiegolf. Het compressiedeel wordt steiler, het expansiedeel vervlakt. De karakteristieken in het compressiedeel van de golf zullen elkaar gaan snijden. Dat kan niet. In plaats daarvan ontstaat een schokgolf!

Verkeersschokgolven Een schokgolf is een vrijwel discontinue verstoring. We noemen de schoksnelheid . De toestand voor de schok (A) wordt gegeven door v en ρ, de toestand na de schok (B) met een ^. De behoudswet zegt nu dat de flux die de schok instroomt gelijk is aan de flux die de schok verlaat.

Verkeersschokgolven De behoudswet eist dus dat: In het q-ρ plaatje is de schokovergang A-B getekend. De helling is de schoksnelheid. Het rode en groene lijntje stellen een zwakkere en de meest sterke schok voor vanuit toestand A.

Het stoplicht springt op rood: een schokgolf! shock t Banen van auto’s x

Stoplicht springt op groen en rood Aan welke voorwaarde moet een goed functionerend verkeerslicht voldoen? De capaciteit gedurende de “groentijd” moet groter dan of gelijk zijn aan de totale instroom gedurende een volledige periode. tijd plaats

Verkeerslicht / vervolg time Een stagnerend verkeerlicht leidt tot het beeld hiernaast. Schokken worden afgewisseld met expansiewaaiers! position

Perspectief Inmiddels is het beschrijven en voorspellen van verkeersgedrag een volwassen wetenschap geworden. De theorie van Lighthill en Whitham (1955) is later aangevuld door P. I. Richards (1956) en wordt in de literatuur aangeduid als de LWR- theorie. Deze LWR-theorie vormt nog altijd de basis van “traffic science”. Tal van wijzigingen en verbeteringen zijn sindsdien voorgesteld. Zo wordt onder meer rekening gehouden met: “tijd-responsie”, d.w.z. dat autobestuurders niet onmiddellijk op veranderingen reageren. verschillende klassen voertuigen en met meerdere rijbanen met afzonderlijke q(ρ) verbanden. met op- en afritten, met splitsing en samenvoeging van wegen. Naast de macroscopische LWR-theorie en varianten daarop wordt ook gerekend met een microscopische theorie, waarbij de individuele voertuigen in de tijd worden gevolgd, rekening houdend met hun interacties.

De moderne “verkeerskunde” is niet alleen gebaseerd op theorie, maar ook op metingen. Autowegen worden voorzien van meetlussen, en er wordt gebruik gemaakt van luchtfotografie en film. In Nederland bestaan tal van opleidingen in de “verkeerskunde’, zowel op HBO-niveau als op universitair niveau. Tweejaarlijks worden sinds 2001 de Symposia over “Traffic and Granular Flow” gehouden. Recente overzichten van het vak worden onder meer gegeven door Rosini (2013) en Treiber en Kesting (2013). Voorbeeld van een gemeten plaats-tijd diagram Het plaatje op de volgende pagina toont een voorbeeld van de meting van de verkeersstromen op de A58 door Rijkswaterstaat . Het plaatje is bewerkt door Van der Weele et al. (2003). Let wel: de plaats-as is nu vertikaal en de tijdas is nu horizontaal. Duidelijk waarneembaar zijn de stremmingen: schokgolven die zich met een snelheid van 18 km/hr stroomopwaarts voortplanten!

Van der Weele et al. in “Traffic and Granular Flow ’03” 1 Νοvember 2001 (Thursday) x in km Van der Weele et al. in “Traffic and Granular Flow ’03” slope = - 18 km/h slope  110 km/h t speed [km/h]

Tot slot twee voorbeelden van YouTube filmpjes over het ontstaan van spontane “schokgolven” de zogenaamde “phantom traffic jams” in het verkeer. Het eerste filmpje betreft een waarneming van een snelweg met een numerieke simulatie http://youtu.be/goVjVVaLe10 . Het tweede betreft een interessant experiment aan de universiteit van Bristol (Eddy Wilson), dat overigens eerder was uitgevoerd in Nagoya. Op een cirkelvormige autoweg krijgen 22 autobestuurders de taak om met gelijkblijvende onderlinge afstand met constante snelheid te rijden. Dat is een instabiel systeem. Er ontstaan spontaan schokgolven; de “phantom traffic jams”. (http://youtu.be/Rryu85BtALM.)

Literatuur M.J. Lighthill, G.B. Whitham (1955), Proc. Royal. Soc. A.,229, 317-345 P.I. Richards (1956) , Operations Research, 4, 42-51 J. Billingham and A.C. King (2000), Wave Motion, Cambridge Un. Press Traffic and Granular Flow, Twee-jaarlijkse Symposia sinds 2001, Springer K. van der Weele, W. Spit, T. Makkes, D. van der Meer (2003) in: Traffic and Granular Flow, Springer Massimo D. Rosini (2013), Models for Vehicle Flows and Crowd Dynamics, Springer Martin Treiber and Anne Kesting (2013), Traffic Flow Dynamics, Springer

Verkeersgolven, besluit Met dank aan Ko van der Weele Rini van Dongen april 2013