Meten en modelleren van oogbewegingen in drie dimensies Goedendag, ik ben Johan van der Meer en ik loop stage hier op de afdeling Klinische Neuro Fysiologie. Voor mijn afstuderen (richting Medische Fysica) heb ik mij bezig gehouden met het meten aan oogbewegingen in drie dimensies, en het uitrekenen van oogbewegingen aan de hand van een model. Johan van der Meer KNF, AMC

Overzicht Introductie Opname van proefpersoon en patient Oogbeweging model Model en meting vergeleken Discussie Hier een kort overzicht van mijn praatje. Ik vertel eerst iets over de opstelling en introduceer wat begrippen in de introductie. Dan laat ik een meting zien van een patient en een gezonde proefpersoon. Daarna leg ik het model uit dat ik heb gebruikt, en ga ik de meting van de patient vergelijken met het model. Als laatste discussie!

Meten van oogbewegingen Dit is de meetopstelling. Het bestaat uit 2 paar spoelen die twee magneetvelden genereren. Een magneetveld oscilleert van boven naar beneden en het andere oscilleert van links naar recht. Ze oscilleren 90 graden uit fase met elkaar. Als je een spoel in dit magneetveld stopt, zal deze een stroom genereren als het een hoek maakt met het magneetveld. Door het fase verschil van de magneetvelden kan je dan twee hoeken meten. Speciaal voor drie dimensionale metingen hebben we een siliconen huls met twee spoelen er in. de ronde spoel meet dan de horizontale en de vertikale hoek, en de 8-vormige spoel meet dan de torsie (draaingshoek). De aquisitie en analyse software is hiervoor geschreven hiervoor geschreven in LabVIEW door Thijs Boeree. De data wordt opgeslagen in EDF formaat. Straks bij de rondleiding zullen ik en thijs deze opstelling laten zien.

Rotatie vector Rotation vector = een enkele rotatie van een beginstand naar een eindstand Rotaties beschrijf ik met rotatie vectoren. Deze omschrijven een enkele rotatie van een begin orientatie naar een eind orientatie. Rotatie vectoren beschrijven een enkele rotatie met rotatie-hoek {fi} om een rotatie-as {n}. {fi} mag liggen tussen de 0 en de 180, maar zover roteert het oog niet, en de lengte van de rotatie as n is genormaliseerd (1 dus). r_{x} beschrijft torsie van het oog r_{y} beschrijft verticale positie van het oog, en r_{z} beschrijft de horizontale positie.

Rotaties commuteren niet Rotatie, die commuteren niet in drie dimensies. Het hangt helemaal af van de volgorde van de rotaties welke orientatie je op het einde krijgt. Aan de hand van twee voorbeeldjes laat ik dit zien. De dobbelsteen, die een 5 of een 1 weergeeft, afhandende van de rotatie-volgorde. Eerst naar beneden en dan tegen de klok in, of eerst tegen de klok in en dan naar beneden geeft een ander nummer (5 of 1). Het oog-voorbeeld. Hierbij roteert het oog eerst naar links, dan naar boven en dan naar rechts (moeilijk te zien op dit plaatje) En hoewel de kijkrichting hetzelfde is voor en na deze rotatie, is de orientatie toch anders geworden. Het oog is namelijk 90 graden gedraaid om de x as, dus het heeft torsie gekregen. Hoewel dit wel zeer extreem voorbeeld is, geeft het toch de problematiek weer. Aan de formule is te zien, bij dat twee rotaties (r1 en r2) na elkaar, er een uit-product in de ‘optelregel voor rotaties’ komt. Dit uitproduct zorgt ervoor dat je niet {r} = 0 krijgt bij een omgekeerde volgorde van roteren.

Vlak van Listing De oplossing die het oog heeft hiervoor is gegeven door de wet van Listing. Deze zegt, dat alle rotatie-assen van de oogposities in hetzelfde vlak liggen en dit vlak heet het vlak van Listing. Je ziet hier dat het vlak van Listing het vlak van het beeldscherm is. Alle rotatie assen liggen in dit vlak, behalve midden onder. Daar is de rotatie-as gedraaid uit het vlak, en het oog is hierdoor een beetje gedraaid om de x-as (deze draaing heet torsie). In het linker en rechter plaatje in het middel zie je dan de bijbehorende rotatie vectoren gegeven (geen schaling). De vraag is nu: Hoe komt het nou dat het oog aan deze wet van Listing voldoet? Dit komt door de Pulleys.

Wat zijn pulleys? A/B = kh Hoe lost het oog dit op, dat alle rotatie assen in het vlak van Listing blijven? Dit komt door de aanwezigheid van pulleys. Dit zijn structuren, die de buik van de spieren op hun plek houden. Een soort schacht of huls waar ze door heen lopen. Deze figuur laat zien wat een pulley doet met de actie van de oogspieren op de oogbol. De kracht die de spier zou uitoefenen wordt anders gericht. Hoewel de actie van de spier afhangt van de oogstand, is de verhouding B/A altijd gelijk. De verhouding van wordt gegeven door een constante k en dit noem ik dan de pulley constante. Elk spierpaar (het oog heeft er drie) kan hier dan zijn eigen pulley constante hebben. Veranderen van deze constante betekent effectief, het verplaatsen van de pulley voor dat spierpaar. Modelsilumaties geven aan dat voor gezonde personen, de waarde van k = 0.5 het beste werkt. Veranderen van deze k waardes in sumulaties zal dus een effect hebben op de oogbol-dynamica. A/B = kh kh=0.5 zorgt ervoor dat oogrotaties wel commuteren

Meting van proefpersoon Vervolgens: We hebben metingen gedaan aan een gezond proefpersoon. Via een nogal uitgebreid calibratie protocol, waarbij de proefpersoon moest kijken vanaf het midden naar een stand (gegeven door een laserpuntje op een scherm -- bij de rondleiding hierover meer) en weer terug. De proefpersoon maakt dus saccades van hier naar nier enzovoorts. We hebben hier voor de gehele meting de rotatievector componenten \vec{r} x, y en z tegen elkaar uitgezet. Horizontaal, verticaal, horizontaal torsie en verticaal torsie. De rotatie vectoren hebben in zich de rotatie-assen, en dus, via een kleinste kwadratenmethode, heb ik het vlak van listing gefit. Vervolgens kan ik dan een conversie doen, zodat het vlak van listing netjes op de assen komt te liggen. Pas op: de schaling is wel anders in het tweede plaatje. Dit doe ik met die formule, en die staat gegeven op de rotatie commuteren niet-dia.

Meting van patient Twee dingen veranderen na verticale saccade op tijd t = 1 sec. DC in r_{x} Slag in dr_{x}/dt Hier presenteer ik een opname, gemaakt door Patricia Apkarian en Lo, in het artikel Ocular Motor Disorders Associated With Inborn Chiasmal Crossing Defects, in 1999. Rotatievectoren en tijdsafgeleide van rotatie vectoren. Hoeken zijn in graden. Links een saccade naar onder, rechts een saccade naar boven. Bovenste drie zijn de rotatie vectoren, onderste drie zijn de tijdsafgeleiden van de rotatievectoren. Deze persoon heeft een congenitale nystagmus. Horizontaal kan deze persoon zijn ogen niet stilhouden en hij moet met een saccade telkens zijn positie bijstellen, waarna hij steeds een korte periode kan kijken. Er vallen twee dingen op na het maken van de verticale saccade. (1) Als eerste verandert de offset van de r_{x}, maw: er wordt een andere torsie gemeten. (2) Als tweede valt op, dat de slag van de snelle fase in de dr_{x}/dt grafiek meer naar boven gaat met een saccade naar onder, en meer naar beneden gaat met een saccade naar boven. Aan het gedrag van de torsie te zien, schendt deze persoon de wet van Listing. Met een model heb ik simulaties gedaan die het gedrag van deze persoon nabootsen. (1) en (2).

Oogbewegingsmodel van Schnabolk en Raphan En dan komt nu het model. Het Dynamiche oogbewegingsmodel van Schnabolk and Raphan, maakt een uitspraak over hoe de neuronale signalen worden opgebouwd die worden gevoerd aan de spieren die het oog besturen. Non-commutativiteit is bij dit proces niet aan de orde, en met behulp van een simpele integrator worden de spieren aangestuurd. De matrix M geeft weer hoe de actie is van de oogspieren aan de hand van het oogspier signaal. Hier wordt de non-commutativiteit dus opgelost en de pulleys zijn in het model hier terug te vinden! Wat je er in stopt is een neuronaal positie ‘commando’ (als functie van tijd). Het uiteindelijk resultaat wordt weergegeven door een rotatie-as en een rotatie-hoek. (als functie van tijd), deze reken ik om naar een rotatievector. We simuleren telkens voor drie seconden.

Dia van oogspieren en zeggen dat er 3 paar zijn en dat ze aangestuurd worden!!!

Motoneuron signaal Neurale invoer  Stap + Puls  Motoneuron signaal Hier geef ik een voorbeeld hoe het model omgaat met een neuronaal commando dat het oog zegt ergens naar toe te gaan. Ik laat boven eerst z (horizontaal) dan y (verticaal) en daarna pas x (torsionaal) zien. Op tijd is 1 second, is er een opdracht om horizontaal beweging te maken, en op tijd = 2 s een commando om een verticake beweging te maken. Torsionaal gebeurt er niks. Het commando wordt omgerekend naar een puls en een stap. De puls is niets anders dan de neurale input, maar dan verkleind. De stap is een stapfunctie, waarvan de hoogte wordt bepaald door het oppervlakte onder de neurale input. Motoneuron signaal is puls + step bij elkaar opgeteld. Belangrijk om te zien is, dat er torsionaal niets gebeurt; het oog wordt dus twee dimensionaal aangestuurt. De grafiekjes laat ik toch zien, want de mathematica implentatie van het model rekent nu eenmaal met drie-dimensionale vectoren. Maar de x componenten zouden dus eigelijk weg kunnen. Torsionaal gebeurt er niks. Ik geef toch drie dimensies weer, maar dat komt omdat het model met vecoteren rekent. Maar neuronaal bestaan er eigelijk alleen maar TWEE dimensies!!

Vergelijkingen model Nou dit zijn dan de vergelijkingen, geimplementeerd in mathematica 5.0. In de eerste vergelijking zie je de Mn weer terug. Door vermedigvuldiging met een motor-matrix M wordt dit spikes/s naar newton omgerekend, en het effect van de pulleys doorgerekend. De vergelijking is een krachtenbalans tussen actieve aansturing van de spier, elastische kracht, visceuse kracht een massatraagheid. De laatste twee vergelijkingen geven de rotatie-as en de rotatie-hoek aan de hand van de hoeksnelheid. Deze vier vergelijkingen vormen dan een dynamisch systeem, dat is: een stelsel van gekoppelde vergelijkingen.

Pulley Matrix De Motor matrix, die van motoneuron spikes/s naar kracht newton gaat, is gegeven door een constante (m, nodig voor conversie van spikes/s naar newtowns) en de pulley matrix. De kolommen geven de acties op de spierparen weer (torsionaal, verticaal, horizontaal in dit geval). Elk spierpaar kan hier zijn eigen pulley constante hebben. Een andere pulley constante komt overeen met een andere verhouding van B/A en zo wordt de locatie van de pulley doorgerekend. Verder is goed om op te merken, dat Mn altijd 0 is voor de simulaties. Omdat Mn een vector is waarvan de x component 0 is, en M.Mn een matrix maal die vector is, is de waarde van k_{x} eigelijk niet van belang. In dit model is alleen de vertikale en de horizontale pulley belangrijk. Voor een gezond persoon is de waarde van de pulley constants 0.5. Hiermee ligt de uitkomst van het model in namelijk het vlak van Listing, zoals we zullen zien bij de simulaties. A/B = kh

Invoer en uitkomst uitvoer: rotatie-as en rotatie-hoek invoer rotatie vector Hier zie je de uitkomst van het model, als je de neurale invoer met de twee saccades er in stopt. Ik moet er hier wel bij zeggen, dat de waarde van de pulleys constanten 0.5 zijn. Het model berekent de rotatie-as en de rotatie-hoek, dit is gegeven in het middelste plaatje. Hoek is gegeven in graden. De rotatie-as heeft altijd lengte 1. Dit wordt omgerekend en rechts zie je dan de oogorientatie weergegeven in rotatie-vectoren: een rotatie van een primaire orientatie naar de huidige orientatie.

Uitslag hangt af van Pulleys Met pulleys (kh = kv = 0.5) Wet van Listing is voldaan Zonder pulleys (kh = kv = 0) Wet van Listing gaat niet op Hier zie je het efect dat de pulleys hebben op de gemodelleerde rotatie vectoren die uit het model komen. Zonder de pulleys heb je een schending van de wet van Listing. Het model voorspelt namelijk een torsie van 5 graden tijdens het maken van een saccade en dit is niet wat de metingen zeggen. Torsie verdwijnt uiteindelijk wel (door de elastische bijdrage in de modelvergelijkingen), maar tijdens de saccade is die er toch wel. De aanpassing van het model met de pulleys zorgt ervoor dat Listing’s wet geldt (dus dat het model voorspelt wat je daadwerkelijk meet) tijdens de saccade. Uitproberen met de volgorde van saccades maken (eerst horizontaal, dan verticaal), en met verschillende waardes voor de pulley constanten levert verschillend gedrag op in r_{x} torsionaal.

Uitslag hangt af van orientatie van Listing vlak Hier laat ik zien wat de orientatie van het vlak van listing heeft op de twee-saccade signaal. Omdat het vlak van listing is gedraaid met 10 graden rechter plaatje, heb je een torsie DC signaal. Dit is eigelijk hetzelfde wat we te zien kregen bij de meting van de proefpersoon. Met deze twee dingen zijn dan simualties te doen aan de patient.

Neurale invoer patient Verklaar wat je hier ziet: bovenste is horizontale input (een sinus plus een saccade (spike). Maar niet groot ten opzichte van een 30 graden saccade input (onder te zien)! Te zien aan de schaling. De torsionale input is (zoals altijd met deze simulaties) gelijk aan 0 en die laat ik daarom ook niet zien. Dit geeft weer, dat het oog telkens afdrijft en telkens een herstelsaccade wordt gemaakt. De proefpersoon is niet bewust al de saccades aan het maken, in tegenstelling tot de verticale saccade.

Vergelijking model-meting kh = 0.3 kv = 0.5 Hier zien we de resultaten van het model. Alleen OD heb ik heir gemodelleerd, dus het rechter oog. Als we als input die in de vorige dia gebruiken en de pulley constanten (die de trekrichting van de spieren bepalen) zetten op de aangegeven waarden, dan zien we zien in de torsie richting golfjes ontstaan. In de torsie snelheid ontstaan pulsen. Deze lijken veel op de meting.

Vergelijking model-meting kh = 0.3 kv = 0.5  n = (0,0.95,0.32) Vervolgens wordt ook nog eens het vlak van listing aangepast. Dit heeft twee voornamelijke effecten op de uitslag van het model. Als eerste een torsie DC na de saccade, en als tweede de pulsen voor de saccade in torsie snelheid. Dit lijkt toch wel veel op de metingen. Met eigelijk een simpele aanname is dan de meting verklaard!

Conclusies 1 Pulleys veranderen trekrichting oogspieren Alleen horizontale en vertikale pulley in model Neuronale torsie aansturing is er niet in dit model Model geeft simulatie van torsiegedrag aan de hand van een mechanische misplaatste horizotale pulley Pulleys veranderen de trekrichting van de oogspier-paren. Weergegeven door een pulley-constante, verhouding tussen hoek van oogstand en hoek van trekrichting van de spier. Locatie pulley weergegeven door een andere pulley constante. Er zijn maar twee pulleys, horizontale en verticale, voor het horizontale spierpaar en het verticake spierpaar. Omdat er neuronaal geen torsie-aansturing is, is geen pulley voor torsionale spierpaar. Ik kan een (mechanisch) model maken waar ik anatomisch een pulley verplaats. Door het verplaatsen van die pulley geven de simulaties een mooie simulatie van de meting van de patient met oogbewegingsstoornis CN. Het model rekent met normaal werkend werkt stap, puls naar motoneuron signalen. Alleen de aansturing is anders. Verder rekent het model niet met een neuronale torsie-aansturing, die is er niet. De uitslag van het model lijkt toch veel op de metingen van de patient.

Vragen? Dank u wel

Extra: Pulley Matrix with three k values Afleiding van de pulley matrix hier weergegeven

Extra: Pulleys and Plane effects; 3-D plot Links: k waardes mis: h=0.3, v=t=0.5 Rechts: draaien van Listing vlak pulley constant changed Listing’s plane rotated

Extra: Elasticity, viscosity and inertia (Fpassive) Fpassive is given by three terms: Elasticity Viscosity Moment of inertia Het model zegt verder, dat de actieve kracht, gegeven door de muscle (pulley) matrix werkend op het motoneuron signaal, wordt tegengewerkt door de passieve kracht, gegenereerd door de elasticiteit (dit is een belangrijke aanname in het model (met elasticiteitsconstante k, niet te verwarren met de pulley-constanten)), en verder door de viscositeit (B * omega) en door de massa-traagheid (J * dt omega) Als we het model volledig uitschrijven, dus als we zeggen {Factive} = {Fpassive} krijgen we het model van schnabolk en raphan.

Extra: Active force calculation of step step pulse

kanweg: Introductie Meetopstelling voor oogbewegingen Rotatie vectoren Vlak van Listing Pulleys Als eerste laat ik de meetopstelling zien waarmee we in drie dimensies oogbewegingen kunnen meten. Dan vertel ik hoe we de orientatie van het oog weergeven met rotatie vectoren. Vervolgens leg ik uit wat het vlak van Listing is, en wat pulleys zijn.