Physics of Fluids 4 Viscous flows Bernoulli (2) Sound velocity

Inhoud  Navier-Stokes vergelijking  Bernoulli  Analytische oplossing van een visceuze stroming  Geluidssnelheid

Massabehoud Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking verandering in de tijd letterlijk stroming (in – uit) productie = krachten

Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking massa instroom m linkervlak in tijdsinterval Dt: m = r(x,y,z) u(x,y,z) Dt DyDz deze massa heeft een snelheid u in de x-richting dan is de impuls mu die in het kubusje stroomt: (mu)in = r(x,y,z) u(x,y,z) u(x,y,z) DtDyDz impuls uitstroom rechtervlak (mu)uit = r(x+Dx,y,z) u(x+Dx,y,z) u(x+Dx,y,z) DtDyDz verandering impuls in x-richting per tijdseenheid Dt

Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking massa instroom m onderste vlak in tijdsinterval Dt: m = r(x,y,z) w(x,y,z) Dt DxDy deze massa heeft een snelheid u in de x-richting dan is de impuls mu die in het kubusje stroomt: (mu)in = r(x,y,z) u(x,y,z) w(x,y,z) Dt DxDy impuls uitstroom bovenste vlak (mu)uit = r(x,y,z+Dz) u(x,y,z+Dz) w(x,y,z+Dz) Dt DxDy verandering impuls in z-richting per tijdseenheid Dt

Incompressibele stroming: Navier-Stokes vergelijking visceuze krachten niet lineaire termen snelheid u in x-richting snelheid v in y-richting Laplace operator divergence of velocity field gradient operator non linearity snelheid w in z-richting

Hydrostatic equilibrium Zero velocity: (u,v,w)=0 Laplace operator divergence of velocity field gradient operator non linearity

Voorwaarden voor toepassen Bernoulli Steady state: Viscositeit: m=0 Euler equations Bernoulli: som is constant langs een stroomlijn

Pythagoras beker http://www.youtube.com/watch?v=4q9Jim1abMo

Pythagoras beker Waarom loopt het glas leeg?

Verklaring Bernoulli h1 h2 Op stroomlijn geldt Druk p1 = p3 = patm Incompressibel Steady-state Wrijvingsloze stroming h1 h2 z Op stroomlijn geldt Druk p1 = p3 = patm Snelheid V1 << V2 = V3

Verklaring Bernoulli h1 h2 z Snelheid

Verklaring Bernoulli h1 h2 z Snelheid Druk

Viscositeit m source: Munson et al

Wanneer mogen we viscositeit verwaarlozen? Veronderstel twee-dimensionale, steady-state pijpstroming in de x- en z-richting. De zwaartekrachtsversnelling is neerwaarts in de z-richting, g=(0,0,-g)

Bepaal karakteristieke waarden stromingsvariabelen De fysische variabelen zijn u, w, x, z, en p De "karakteristieke" waarden voor deze variabelen zijn Snelheid V bijvoorbeeld gemiddelde stroming in een pijp Lengteschaal L bijvoorbeeld diameter van de pijp Druk p0 druk "ergens "in de pijp, tov atmosferische druk ~ rV2

Introduceer dimensieloze variabelen Substitutie levert

Introduceer dimensieloze variabelen Substitueer in de vergelijkingen

Reynolds getal Osborne Reynolds (1842-1912) Uit de schaalanalyse kunnen we concluderen dat visceuze krachten mogen worden verwaarloosd indien Re>>1

Reynolds getal Typische Reynolds getallen

Visceuze stroming tussen twee platen source: Munson et al Probleemstelling Stroming is incompressibel Snelheidsvector parallel aan twee oneindig lange platen met vaste afstand 2h No-slip conditie op platen Stroming is steady state Visceuze krachten mogen niet verwaarloosd worden

Visceuze stroming tussen twee platen Probleemstelling 1. Stroming is incompressibel 2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0 3. Oneindig lange platen: (anders kan u naar oneindig gaan)

Visceuze stroming tussen twee platen Probleemstelling 1. Stroming is incompressibel 2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0 3. Oneindig lange platen: 4. Steady state: 5. Zwaartekracht: g=(0,-g ,0)

Visceuze stroming tussen twee platen Probleemstelling 1. Stroming is incompressibel 2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0 3. Oneindig lange platen: 4. Steady state: 5. Zwaartekracht: g=(0,-g,0)

Visceuze stroming tussen twee platen Integratie Integratie Integratie Hydrostatische druk in de y-richting

Visceuze stroming tussen twee platen "No-slip" randvoorwaarde: u(y=±h)0 Trek deze vergelijkingen van elkaar af Oplossing snelheidsprofiel:

Visceuze stroming tussen twee platen De volume flux (per eenheid van lengte in de z-richting) De gemiddelde snelheid De maximale snelheid

Visceuze stroming in een pijp: Poiseuille stroming Bij een verhoging van het hematocrietgehalte (verhouding bloedcellen/bloedplasma) van 40 naar 60, bijvoorbeeld door EPO, kan de viscositeit van bloed met een factor 3 toenemen

Samenvatting  Bernoulli toepassen  Dimensieloos maken van vergelijkingen  Analytische vergelijking van een visceuze stroming