Gelijkvormigheid en verhoudingstabellen

Verhoudingstabel x 2 x 0,5 x 1,5 2 3 4 1 A B C A=3x1,5 B=3x2 C=3x0,5

In een verhoudingstabel zijn de kruisproducten gelijk !! f a.f=b.e c.f=d.e In een verhoudingstabel zijn de kruisproducten gelijk !! a.d=b.c b= c a.d ‘Kruisproducten’ is een handige rekenmethode voor het uitrekenen van een ontbrekend getal in een verhoudingstabel.

Som 21 H21) y 20 40 22 x 32 Hoogte toren= 27,5+20+40 = 87,5 m Lengte schaduw=22+16+32 = 70 m

Gelijkvormigheid Definitie: Figuren met dezelfde vorm noemen we gelijkvormige figuren.

Twee hoeken gelijk

Wat blijft hier gelijk?

Gelijkvormige driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijk hebben: twee hoeken. (hh) een hoek en de verhouding van de omliggende zijden. (zhz) de verhouding van de zijden. (zzz) een rechte hoek en de verhouding van twee niet-omliggende zijden. (zzr)

Gegeven: DE=8 en AD=5 BC = 12 en AE = 4 Lijn DE is evenwijdig aan BC Bereken: AC, AB, EC en DB Stap1: bewijs van gelijkvormigheid. ∠D1 en ∠B zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen. Dus ∠D1 = ∠B . ∠A = ∠A voor zowel ∆ABC als ∆ADE. Dus ∆ABC is gelijkvormig met ∆ADE ∆ABC ∆ADE Gegeven: DE=8 en AD=5 BC = 12 en AE = 4 Lijn DE is evenwijdig aan BC Let op: Er is niet gegeven dat de 2 driehoeken gelijkvormig zijn. Dat moet eerst bewezen worden, voordat we berekeningen met verhoudingen gaan uitvoeren AD AE DE AB AC BC 5 4 8 AB AC 12

Opg 47 ∆A1DF AD DF AF ∆BA2E BA AE BE ∆ADF 1,2 DF AF ∆BAE 2,5 2 1,5 1 1

F - hoeken ∠A2 en ∠B3 zijn F-hoeken. Je ziet een tekening waarin twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde. ∠A2 en ∠B3 zijn F-hoeken. Ze vormen samen namelijk een F. Nu geldt het volgende: overeenkomstige hoeken bij evenwijdige lijnen zijn even groot.

Snavelfiguur The x x x F-hoek !! Let op de volgorde Letters C E 9 2 6 AB BC CA DB BE DE E 9 2 The x x 6 B A D 6+ x BC 9 x BE 2

Z - hoeken ∠A1 en ∠B2 en zijn Z-hoeken. Je ziet een tekening waarin twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde. ∠A1 en ∠B2 en zijn Z-hoeken. Ze vormen samen namelijk een Z. Z-hoeken zijn bij evenwijdige lijnen even groot. Soms is het een gespiegelde of een uitgerekte Z.

Zandloperfiguur The x x x Z-hoek !! S 10 SP=10 Q T R 6 P PQ QR PR ST SR 10 SP=10 The x Q T R 6 BC x 10 BE 10-x x 6 P

Gelijkvormigheid driehoeken stap 1: eerst aantonen (=bewijzen) dat er sprake is van gelijkvormigheid Gelijkvormigheid kan bewezen worden door vast te stellen dat alle hoeken gelijk zijn. Stap 2: uitrekenen van verhoudingen Indien figuren gelijkvormig zijn, dan zijn alle verhoudingen van overeenkomstige lijnen gelijk. Met behulp van de verhoudingen en bekende lijnstukken, kunnen overeenkomstige lijnstukken berekend worden. Kruisproducten zijn een belangrijk hulpmiddel hierbij.

Samenvatting ‘Kruisproducten’ is een handige rekenmethode voor het uitrekenen van een ontbrekend getal in een verhoudingstabel. Definitie: Figuren met dezelfde vorm noemen we gelijkvormige figuren. Gelijkvormigheid kan bewezen worden door vast te stellen dat bijv. twee hoeken gelijk zijn of de andere stellingen Indien figuren gelijkvormig zijn, dan zijn alle verhoudingen van overeenkomstige lijnen gelijk. Met behulp van de verhoudingen en bekende lijnstukken, kunnen overeenkomstige lijnstukken berekend worden. Kruisproducten zijn een belangrijk hulpmiddel hierbij.

Allerlei hoeken 3havo Scherpe hoek Rechte hoek Stompe hoek Gestrekte hoek Hoek < 90˚ Hoek = 90˚ Hoek > 90˚ Hoek = 180˚ Overstaande hoeken Z-hoeken F-hoeken Zijn gelijk!!!

Allerlei driehoeken 3havp Scherphoekige  Stomphoekige  Rechthoekige  3 scherpe hoeken 1 stompe hoek 1 rechte hoek Gelijkbenige  Gelijkzijdige  2 gelijke benen, 2gelijke hoeken 3 gelijke benen, 3 gelijke hoeken = 60˚

Rechthoekige driehoek Hoekpunten Alfabetisch met de klok mee C Schuine zijde rechthoekszijde A B rechthoekszijde

Tangens - TOA Tan ∠B = C ∠B B A ∠ABC Schuine zijde rechthoekszijde overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde Tan ∠B = C ∠B ∠ABC = Schuine zijde Overstaande rechthoekszijde B Aanliggende rechthoekszijde A

Rekenen met tangens 6,2 4,5 overstaande rechthoekszijde Tan ∠A= = = 1,378 Hoe steiler de helling is, hoe groter de tangens is. De tangens rond je af op 3 decimalen. 6,2 4,5 overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde

TOA 60o b 30o 3

TOA (zz of zh en je weet alles!) c b a tan α zijde b 1 zijde a tan β α β α + β+90o=180o

Arctangens (inverse tangens) b 30o a 3

Standaardwaarden tangens hoek 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o tan ∠ 1 -1

opgave 36 Stap 1 bereken BD met Pythagoras Stap 2 bereken BC met tangens

opgave 36 Stap 1 Tekenen Stap 2: Bereken ∠AED door ∠ADB te bereken

opgave 38