Deel 2. Hoofdrekenend aftrekken

Los hoofdrekenend op en noteer hoe je het gedaan hebt 18 – 3 = . 16 – 12 = . 11 – 9 = . 83 – 7 = . 93 – 26 = . 71 – 68 = . 912 – 76 = . 713 – 387 = . 811 – 794 = .

Indirect optellen De eindtermen en leerplannen vragen dat leerlingen handig en flexibel leren hoofdrekenen, gebruikmakend van belangrijke eigenschappen van getallen en bewerkingen (vb. commutativiteit, associativiteit, inversie…), zoals Compenseren (vb. 78 – 39 = 78 – 40 + 1 = .) aftrekken via “indirect optellen” (zie volgende slide)

Indirect optellen (IO) versus direct aftrekken (DA) Direct aftrekken (DA): de aftrekker wordt van het aftrektal afgetrokken Vb. 62–38=? Bijv. “62–30=32 en 32–8=32–(2+6)=24” Indirect optellen (IO): het antwoord wordt gevonden door verder te rekenen van de aftrekker naar het aftrektal Bijv. 62–38=? “Hoeveel moet ik bij 38 doen om aan 62 te komen? 38+2=40, en 40+22=62, dus het antwoord is 22+2=24” (Indirect aftrekken (IA): het antwoord wordt gevonden door terug te rekenen van het aftrektal naar de aftrekker: Bijv. 62–38=? “Hoeveel moet ik van 62 afnemen om aan 38 te komen? 62 – 2 = 60 en 60 – 20 = 40 en 40 – 2 = 38, dus 2 + 20+2=24”)

Nog een andere indeling: Drie soorten optel- en aftrekstrategieën Decompositie- of splitsstrategieën Rijg- of springstrategieën Compensatie- of variastrategieën

36 + 37 Springen: 36 + 30 = 66 en 66 + 7 = 73 Splitsen: 30 + 30 = 60 en 6 + 7 = 13; 60 + 13 = 73 Varia: 36 + 37 = (2 x 35 = 70) en (1 + 2 = 3); dat is dan 70 + 3 = 73

375 - 249 = . Springen: 375 - 200 = 175, 175 - 40 = 135, 135 - 9 = 126 Splitsen: 300 - 200 = 100, 60 - 40 = 20, 15 - 9 = 6; 100 + 20 + 6 = 126 (ofwel: 300 – 200 = 100, 70 – 40 = 30 en 5 – 9 is 4 tekort, dus 100 + 30 – 4 = 126) Varia: 375 - 249 = 300 - 250 = 50; 50 + 75 = 125; 125 + 1 = 126

Soorten aftrekstrategieën ingedeeld volgens twee criteria Springen Splitsen Varia Direct aftrekken (DA) Indirect optellen (IO) (Indirect aftrekken, IA)

Wanneer is indirect optellen handig? IO wordt in vakdidactische kringen als dé aangewezen (hoofdreken)strategie beschouwd voor aftrekkingen met een klein verschil tussen aftrektal en aftrekker: 11 – 9 = ? 81 – 78 = ? 604 – 598 = ?

Indirect optellen: onderzoeksvragenvragen Is indirect optellen inderdaad een efficiënte (d.w.z. foutloze en snelle) strategie (voor bepaalde opgaven)? Wordt deze strategie vaak toegepast door Vlaamse basisschoolleerlingen? Wordt ze systematisch aangeleerd in het Vlaamse basisonderwijs?

Onderzoek 1a (Torbeyns et al., 2009a) 39 universiteitsstudenten 4 opgaventypes (afhankelijk van grootte van aftrekker): S400: 812–473=? S500: 814–578=? S600: 813–687=? S700: 811–785=? 3 condities: 1 keuzeconditie: proefpersoon mag kiezen tussen IO of DA 2 geen-keuze condities: Pp is verplicht IO toe te passen Pp is verplicht DA toe te passen Analyse van antwoorden en reactietijden

Resultaten mbt efficiëntie Accuraatheid en snelheid van IO en DA in de 2 geen-keuze condities (IO en DA) Type opgave Voorbeeld IO conditie DA conditie Juistheid Snelheid S400 812–473=? 91 % 8.81 s 80 % 15.96 s S500 814–578=? 81 % 9.73 s 76 % 16.68 s S600 813–687=? 8.98 s 16.67 s S700 811–785=? 95 % 7.35 s 15.42 s Totaal 87 % 8.72 s 79 % 16.18 s Hoofdeffect van conditie op accuratesse, F(1, 265) = 9.77, p < .01, partial η² = .10, en op snelheid, F(1, 264) = 123.71, p < .001, partial η² = .4 ; geen interactie-effect met type opgave

Onderzoek 1b (Torbeyns et al., in press) 40 universiteitsstudenten 2 opgaventypes (afhankelijk van grootte van verschil tussen aftrektal en aftrekker): Groot verschil: 812–73=? Klein verschil: 811–785=? 3 condities: 1 keuzeconditie: proefpersoon mag kiezen tussen IO of DA 2 geen keuze condities: Pp is verplicht IO toe te passen Pp is verplicht DA toe te passen Analyse van antwoorden en reactietijden

Resultaten mbt efficiëntie Type opgave DA conditie IO conditie Juistheid Snelheid Klein verschil (812 ‑ 793 = ?) 93 % 12.45 s 99 % 5.32 s Groot verschil (756 ‑ 78 = ?) 87 % 13.89 s 10.89 s Totaal 90 % 13.17 s 96 % 8.10 s Significant hoofdeffect van conditie op accuratesse, F(1, 207) = 29.90, p < .01, partial η² = .28, en op snelheid, F(1, 207) = 167.87, p < .01, partial η² = .65; Significante conditie × type opgave interactie, F(1, 207) = 27.74, p < .01, partial η² = .51

Onderzoek 2 (Torbeyns et al., 2009b) 71 2de, 71 3de en 53 4de klassers, die geen systematische instructie hebben gekregen in IO Twee individuele tests Spontaan gebruik van IO: 20 items, waaronder 5 aftrekkingen van het type 81-79=? IO vermelden als een van de mogelijke strategieën: 8 items waaronder 2 van het type 81-79=? met als opdracht minstens 2 verschillende oplossingswijzen te geven

Resultaten: een gokje? Leerjaar Spontaan gebruik van IO bij opgaven zoals 81-79=? IO als mogelijke strategie bij opgaven zoals 81-79=? 2 ? 3 4

Resultaten Leerjaar Spontaan gebruik van IO bij opgaven zoals 81-79=? IO als mogelijke strategie bij opgaven zoals 81-79=? 2 4 % 5 % 3 8 % 15 % 4 20 %

Onderzoek 3 (Torbeyns et al., 2009c) Vergelijking van het gebruik van IO tussen leerlingen van 2de, 3de en 4de leerjaar van 1 school waarin een rekenmethode wordt gebruikt waarin IO expliciet en systematisch wordt aangeleerd vs. (IO-school) Van 2 scholen die een rekenmethode hanteren waarin dat niet gebeurt (DA-school) Via een schriftelijke toets waarvan 1/3 van de opgaven de IO strategie uitlokken (vb. 81 – 79 = ?) Analyse: nagaan of de IO-strategie wordt toegepast op deze opgaven die deze strategie uitlokken, en de resultaten voor de IO-school en de DA-scholen onderling vergelijken.

Resultaten De totale frequentie van IO was extreem laag: slechts 65 van de 2370 items (2.7%) werden opgelost mbv IO Slechts 3 van de 1547 items (0.2%) in de DA-groep werden opgelost mbv IO, versus 62 van de 823 (7.5%) in de IO-groep Vrijwel alle (i.e. 63 van de 65) IO-strategieën werden gevonden in het 2e leerjaar Dus: een klein beetje meer IO-strategiegebruik in (het 2de leerjaar van) de IO-school, maar verrassend en teleurstellend lage gebruiksfrequentie in deze school gegeven de systematische instructie in de IO-strategie

Interpretatie van dit resultaat Is het zo dat in de IO-school de IO-strategie effectief en systematisch is onderwezen (zoals de rekenmethode voorschrijft én zoals door de geïnterviewde leerkrachten werd beweerd)? Nood aan verder onderzoek naar de reële klaspraktijk m.b.t. plaats van IO-strategie in het curriculum Mogen we ervan uitgaan dat als leerlingen de IO-strategie niet rapporteren (mondeling of schriftelijk), zij deze strategie niet hebben gebruikt Nood aan verder onderzoek naar de betrouwbaarheid van zelfrapportages over rekenstrategiegebruik (maar we weten intussen al uit onderzoek dat leerlingen soms IO gebruiken zonder die strategie te rapporteren, omdat ze (a) niet weten dat ze IO toegepast hebben, (b) de IO strategie niet kunnen uitleggen of opschrijven, c) denken dat deze handige strategie niet geoorloofd is.

Een vraag (vooral voor leerkrachten onderbouw lagere school) In hoeverre wordt in uw rekenmethode systematisch aandacht besteed aan de IO-strategie voor hoofdrekenend aftrekken? Staat u achter de aanpak die hieromtrent gevolgd wordt in uw rekenmethode? Hoe reageert u op leerlingen die IO als hoofdrekenstrategie hanteren?

Toemaatje 1: Onderscheid DA vs. IO ook al bij tellen van kleuters 5 à 6-jarige kinderen krijgen eenvoudige aftrekkingen mondeling aangeboden (vb “9 eraf 3 is…”) Men gaat na of ze de opgaven via DA of IO tellend hebben opgelost Direct aftrekken (DA): “9… 1 eraf is 8, 2 eraf is 7, 3 eraf is 6 … dus het antwoord is 6” Indirect optellen (IO): “3…1 erbij is 4, 2 erbij is 5, 3 erbij is 6, 4 erbij is 7, 5 erbij is 8, 6 erbij is 9… het antwoord is 6” Sommige (slimme) kleuters tellen via DA bij oefeningen als 9-2 en via IO bij oefeningen als 9-7!

Toemaatje 2: Onderscheid ook erg belangrijk bij vraagstukken Bij welke opgave verwacht je meest/minst IO-strategieën? Piet heeft 74 appels en hij geeft er 68 aan An. Hoeveel heeft Piet er dan nog? Piet heeft 68 appels. Hij krijgt er nog wat bij en nu heeft hij er 74. Hoeveel appels heeft Piet bij gekregen? Piet en An hebben samen 74 appels. Piet heeft er 68. Hoeveel heeft An er? Piet heeft 74 appels. An 68. Hoeveel heeft Piet er meer dan An?

Onderscheid ook erg belangrijk bij vraagstukken Bij welke opgave verwacht je meest/minst IO-strategieën? Meest: Piet heeft 68 appels. Hij krijgt er nog wat bij en nu heeft hij er 74. Hoeveel appels heeft Piet bij gekregen? Minder: Piet en An hebben samen 74 appels. Piet heeft er 68. Hoeveel heeft An er? Piet heeft 74 appels. An 68. Hoeveel heeft Piet er meer dan An? Minst: Piet heeft 74 appels en hij geeft er 68 aan An. Hoeveel heeft Piet er dan nog?

Toemaatje 3: Onderscheid DA vs. IO speelt ook bij cijferrekenen

Toemaatje 4: IO in rekenmethoden (Das Zahlenbuch)

Toemaatje 5: Lege getallenlijn als denk- en communicatiemiddel