Onderzoeksvragen en -hypothesen Dirk De Bock Illustraties vanuit het wiskundedidactisch onderzoek naar de lineariteitsillusie Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie K.U.Leuven Hogeschool-Universiteit Brussel Zomerschool Vakdidactisch Onderzoek Leuven, 8-10 september 2010

VERDUBBELING VAN HET VIERKANT “Om een vierkant met de dubbele oppervlakte te tekenen moet je de zijde verdubbelen.” (Slaaf in Plato’s dialoog Meno)

P(minstens 1 zes in 4 worpen met één dobbelsteen) = P(minstens 1 dubbele zes in 24 worpen met twee dobbelstenen) 4 / 6 24 / “He [de Méré] applied the mathematics he knew, the kind of mathematics which in my childhood was called the rule of three… Maybe he would have performed better if he had never learned mathematics at all! (Freudenthal, 1973) HET PROBLEEM VAN DE DOBBELSTENEN

China : Economische groei van 14% per jaar Filip: “Inkomen van de inwoners verdubbelt elke 7 jaar” (14 % x 7 = 98 %) (PROCENTUELE) GROEI

DE STANDAARD VAN 8 SEPTEMBER 2010 “Wees niet bang of toch wel” (p. 10) "Een Waal is 13% armer dan de gemiddelde Belg, een Vlaming 9% rijker. Vlamingen zijn dus gemiddeld 22% rijker dan Walen.” Joseph Pagano, Vice-Recteur de l'Université de Mons, Professeur de Finances publiques et membre du Conseil Supérieur des Finances

DE STANDAARD VAN 8 SEPTEMBER 2010 Als de ‘gemiddelde Belg’ 100 euro heeft, heeft de gemiddelde Waal er 87 en de gemiddelde Vlaming er 109. Vermits 109/87 = 1,0253 (afgerond), zijn de Vlamingen dan gemiddeld ruim 25 % rijker dan de Walen.

DEFINITIE Neiging van leerlingen om gelijk welke numerieke relatie tussen grootheden te gaan behandelen alsof het een recht evenredige of lineaire relatie betrof. Freudenthal, 1983 De neiging om lineariteit of proportionaliteit gelijk waar te gaan toepassen

DEFINITIE In heel diverse domeinen elementaire rekenkunde algebra meetkunde kansrekening fysica biology …

MEETKUNDE: SCHAALVERGROTING LINEAIRE VERGROTING MET FACTOR k: OPPERVLAKTE × k 2 EN VOLUMES × k 3 1 k2k2 k k3k3 k 1 k k3k3 1 k k2k2

Verband lineaire afmetingen ↔ oppervlakte/volume van (lineair) vergrote/verkleinde meetkundige figuren: De overtuiging dat – wanneer een meetkundige figuur vergroot wordt met factor k – de oppervlakte en het volume van die figuur ook toenemen met factor k SCHAALVERGROTING

VOORBEELDEN In responding to questions about the effect of halving and doubling lengths of the sides of a square, most students said that the area was also halved or doubled. NCTM, 1989 De verkleinde Standaard (De Standaard, 8 maart 2004)

VOORBEELDEN Wij vragen normaalschoolstudenten wat er zal gebeuren als ze twee Din-A4 bladen naast elkaar leggen en met de fotokopie-machine verkleinen om ze samen op één Din-A4 blad te krijgen. Steevast krijgen we als antwoord dat de tekst niet langer leesbaar zal zijn, de hoogte en de breedte van de letters en van de tekeningen zou worden gehalveerd Feys, 1995

VOORBEELDEN

ONDERZOEK OPSTARTEN (Anecdotische) vermeldingen, vaak in de marge van onderzoek met een andere inhoudelijke focus, doch geen “harde” empirische data beschikbaar…

ONDERZOEKSLIJN Collectieve toetsen Individuele interviews Onderwijsexperiment

INITIËLE ONDERZOEKSVRAGEN Zelfgemaakte en aangeboden tekeningen Aard van de figuur Sterkte van de lineariteitsillusie + invloed van leeftijd ?

COLLECTIEVE TOETSEN Grote groepen jarigen losten proportionele en niet-proportionele items op onder verschillene experimentele condities

COLLECTIEVE TOETSEN Zelfgemaakte en aangeboden tekeningen Aard van de figuur Collectieve toetsen – and jarigen Overgeneralisatie-effect! Geen significant effect Betere prestatie indien effectief tekening gemaakt / gebruikt vierkant > cirkel > onregelmatige figuur

VERVOLGSTUDIES Metacognitieve hulp Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit Collectieve toetsen

Metacognitieve hulp Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit Vervolg- studie 1 Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES

Metacognitieve hulp Confrontatie vooraf met niet-proportionele opgave Vervolgstudie 1 Adequate visuele ondersteuning Tekeningen op ruitjespapier aangeboden Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES

Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 1

Metacognitieve hulp Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit Vervolg- studie 2 Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES

Ontbrekende-waarde-opgaven “Om een vierkant stuk grond met zijde 200 m te bemesten, heeft Louis 8 uur nodig. Hoeveel uur zal hij ongeveer nodig hebben om een vierkant stuk grond met zijde 600 m te bemesten?” Vergelijkingsopgaven “Louis heeft vandaag een stuk grond bemest. Morgen moet hij een stuk grond bemesten waarvan de zijde driemaal zo groot is. Hoeveel keer meer tijd heeft hij daar ongeveer voor nodig? Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 2

Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 2

Metacognitieve hulp Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit Vervolg- studie 3 Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES

Authentische context Video over bezoek Gulliver aan eiland Lilliputters Alle toetsopgaven aan deze video gekoppeld Geïntegreerde tekenactiviteit Tekening maken voor aanbieding numerieke gegevens Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 3

Collectieve toetsen VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 3

CONCLUSIES Collectieve toetsen  Kleine positieve effecten van experimentele manipulaties  Hardnekkig en weerkerend fenomeen  Resistent tegen diverse vormen van hulp

METHODOLOGISCHE SHIFT … Individuele interviews Observeren van individuele leerlingen « Luidop denken » Doorvragen De Bock et al.  Collective toetsen Onderliggende processen ?

ONDERZOEKSVRAGEN Illusion of linearity Andere processen  Onderliggende processen ?  Hoe diepgeworteld ? Lack of « sense- making » Oppervlakkig modelleren Uitsluiten alledaagse kennis Intuïtief redeneren Overtuigd dat alle grootheden proportioneel gelinkt zijn Ongeoorloofde generalisatie van lineaire functies Wiskundige misconceptie  Hoe diepgeworteld ? Doorbreekbaar ?

Individuele interviews UITGEBALANCEERD DESIGN INDIVIDUELE DIEPTE INTERVIEWS  12-jarigen en 16-jarigen (n = )  Leerlingen lossen vraagstuk op « luidop denkend »  Vragen door de interviewer  Adaptieve / semi-gestructureerd: Toenemende vormen van hulp / cognitief conflict

Probleem Een reclameschilder heeft 6_ml verf nodig om de kleine kerstman op een etalageruit te schilderen. Hoeveel verf zal hij ongeveer nodig hebben voor de vergrote versie van deze figuur? Hoogte: 56 cm Hoogte: 168 cm Individuele interviews

Probleem Correct 2 Vragen Waarom ? Hoe zeker? 38 Individuele interviews

Probleem Vragen Correct 2 HULP 38 We gaven dit vraagstuk aan leerlingen in een andere school. Zij gaven de volgende antwoorden … Individuele interviews

Probleem Vragen Correct 2 HULP 38 HULP 36 Een leerling die 54 ml antwoordde, zei me dat de kerstman drie keer hoger en drie keer breder wordt, zodat je negen keer meer verf nodig hebt … Correct 2 Individuele interviews

Probleem Vragen Correct 2 HULP 38 HULP 36 Correct 2 14 HULP 22 Individuele interviews

Probleem Vragen Correct 2 HULP 38 HULP 36 Correct 2 14 HULP 22 HULP 13 Kun je de oppervlakte van de twee rechthoeken berekenen? Hoeveel keer groter … Correct 9 Individuele interviews

Probleem Vragen Correct 2 HULP 38 HULP 36 Correct 2 14 HULP 22 HULP 13 Correct 5 STOP 8 Individuele interviews Correct 9

Op zoek naar de wortels Intuïtiviteit van het lineair model “The idea of linearity immediately comes to the mind, because there are no simpler relations than linear ones” (Rouche, 1989) Effecten van onderwijs “the acivity of solving word problems in school is not the same as ‘the same’ activity or contents embedded in other systems of activity in other parts of life” (Lave, 1992)

Op zoek naar de wortels Domein-specifieke elementen “De hoogte en de breedte van de figuur worden verdrievoudigd, dus de oppervlakte wordt ook verdrievoudigd” (student in interview studie door De Bock et al., 2002)

- (hoe) kan een leeromgeving ontworpen worden - die leerlingen de nodige kenniselementen, vaardigheden en houdingen laat verwerven - om de lineariteitsillusie te overwinnen Onderzoeksvraag: Hoe kan deze lineariteitsillusie doorbroken worden? i.e. het onderscheid (kunnen) maken tussen proportionele en niet-proprotionele situaties in de context van de vergroting / verkleining van figuren, en hierop op adequate wijze reageren ONDERWIJSEXPERIMENT

Experimentele lessenreeks van 10 uur PretestPosttest(6 months) Retentie test Experim. groep 10 exper. Lessen Controle groep Reguliere lessen + klasobservaties, leerlingen vragenlijsten, …

Hoeveel weegt een kabouter ? MensKabouter 180 cm15 cm gr 40,5 gr SECONDARY SCHOOL PUPILS’ ILLUSION OF LINEARITY : 12 : 12 3

RESULTATEN EXPERIMENTELE GROEP

De lineariteitsillusie doorbroken? - Ja (minder onterecht lineair redeneren) - MAAR- Key word strategy -Verworven kennis is onstabiel -Nieuwe misconcepties - Blijft (intrinsiek?) moeilijk cfr. project (kabouters), retentie? CONCLUSIES

Meer gedetailleerde info? ISBN: