ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3 IBB ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal

Briggse Logaritmen gx = a De uitkomst a wordt berekend door het grondtal g te verheffen tot de macht x Met g =10 en x = 2 kunnen we a berekenen: 102 = 100 2x = 8, tot welke macht moeten we 2 verheffen om 8 te krijgen ? Het vinden van deze uitkomst, in dit geval 3, noemen heet ‘logaritme nemen’. De notatie hiervan is: x = glog a

Logaritme nemen 4log64 = 10log10 = 9log1/3 = 4x = 64 ↔ 4x = 43 ↔ x = 3

Logaritme nemen gx = a ↔ glog a Om de exponent x van een grondtal g te bepalen terwijl de uitkomst a bekend is, gebruiken we dus de logaritme gx = a ↔ glog a 3 2log√4 = x ↔ 2x = 41/3 ↔ 2x = (22)1/3 ↔ x = 2/3 1/4 log a = -2 ↔ ¼ -2 = a ↔ (4-1)-2 = a ↔ a = 42 ↔ a = 16 glog 1/16 = -2 ↔ g -2 = 1/16 ↔ g -2 = 16-1 ↔ g -2 = (42)-1 ↔ g -2 = 4-2 ↔ g = 4

Logaritme nemen Het grondtal g van de logaritme moet positief en ongelijk aan nul zijn. Het argument a van de logaritme moet altijd positief zijn.

Logaritme nemen -2log 8 = x ? 4log -16 = x ? 1log 2 = x ? 0log 2 = x ? bestaat niet, want er is geen macht waartoe je -2 kunt verheffen om 8 te krijgen. 4log -16 = x ? 4x ≠ -42 bestaat niet, want geen enkele machtsverheffing met 4 als grondtal heeft -16 als uitkomst. 1log 2 = x ? 1x ≠ 2 bestaat niet, want tot welke macht we 1 ook verheffen er komt altijd 1 uit. 0log 2 = x ? 0x ≠ 2 bestaat niet, want tot welke macht we 0 ook verheffen, er komt altijd 0 uit.

Eigenschap 1 zodat g glog a = a ( a> 0, g > 0, g ≠ 0) De exponent 2 van het grondtal 10 kunnen we vervangen door 10log 10 zodat 1010log100 = 100 Dus als we van een zeker getal a (bijv. 9) de waarde glog a bepalen (bijv. 3log9) En we gebruiken de uitkomst hiervan (3log 9) weer als exponent in een machtsverheffing met hetzelfde grondtal (3), dan krijgen we het oorspronkelijke getal a (9) terug.

Voorbeeld eigenschap 1 3 3log 9 = 9 ↔ 32 = 9 2 2log 8 = 8 ↔ 23 = 8

Eigenschap 2 glog a = x1 en glog b = x2 dan geldt ook: gx1 = a en gx2 = b, Zodat: a * b = ab = gx1 * gx2 = g x1 + x2 Dus: g x1 + x2 = ab , Zodat ook: glogab = x1 + x1 = glog a + glog b Het bovenstaand bewijst eigenschap 2, welk luidt: glog a + glog b = glogab (a > 0 en b > 0, gelijke grondtallen) Bijv. 4log 3 + 4log 5 = 4log15

Eigenschap 3 glog a = x1 en glog b = x2 dan geldt ook: gx1 = a en gx2 = b Zodat: a/b = gx1 / gx2 = gx1 – x2 glog a/b = x1 – x2 ↔ glog a – glog b Het bovenstaand bewijst eigenschap 2, welk luidt: glog a – glog b = glog a/b (a > 0 en b > 0, gelijke grondtallen) bijv. 2log 4 – 2log 8 = 2log 4/8 = 2log ½ ↔ 2x = ½ ↔ 2x = 2 -1 ↔ x = -1

Eigenschap 4 We weten dat: a = g glog a (eigenschap 1) Indien we linker- en rechterlid tot de macht p verheffen, dan: ap = g p glog a M.b.v de definitie van het logaritme, gx = a ↔ glog a : g p glog a = ap ↔ glog ap = p gloga Het bovenstaand bewijst eigenschap 4, welk luidt: p glog a = glog ap

Voorbeeld eigenschap 4 2log 4 + 2log 4 = 2log 16 ↔

Eigenschap 5 7log3 = x ↔ 7x = 3 Er geldt nu: 5log7x = 5log 3 ↔ (grondtal 5 willekeurig gekozen) x * 5log 7 = 5log 3 (eigenschap 4) x = 5log3 / 5log 7 ↔ x = log 3 / log 7 ↔ x = 0,5646 m.b.v. 1 geldt : 7log 3 = log 3 / log 7 70,5646 = 3 Het bovenstaand bewijst eigenschap 5, welk luidt: bloga = glog a / glog b (g = een willekeurig gekozen grondtal)

voorbeelden gloga2bc3 = gloga2 + glogb + glogc3  -1/2 * 1 = -1/2

voorbeelden gloga2 / c√b = gloga2 – (glogc + glog√b) 

Eigenschap 6 Oplossen van logaritmische vergelijkingen 3logx = 3log5 + 3log2 3logx = 3log10 ↔ x =10 (eigenschap 2) Logaritmische vergelijking worden opgelost met de eigenschap: glog a = glog b ↔ a = b

Voorbeeld #1 eigenschap 6 10logx4 = 1 + 10log5 + 10logx  4*10logx = 10log10 + 10log5 + 10logx  3*10logx = 10log10 + 10log5  3*10logx = 10Log50  10logx3 = 10log50  x3 = 50  en x > 0

Voorbeeld #2 eigenschap 6 4logx = 3 + 4log2  4logx = 4log64 + 4log2  4logx = 4log128  x > 0 (bestaansvoorwaarde logaritme) x = 128 y = 4log128 = log128/log4 = 3,5 Snijpunt: (128,3.5)

Grafiek voorbeeld #2 x > 0 x = 128 y = 3,5

Voorbeeld #3 2logx = 4log2x  2logx = 2log2x / 2log4 (eigenschap 5)  2logx2 = 2log2x (eigenschap 4)  x2 = 2x (eigenschap 6)  x2 – 2x = 0  x(x – 2) = 0  x = 0 of x = 2 bestaansvoorwaarde x > 0  x = 2, y = 2log2 = 1 Snijpunt: (2,1)

Grafiek voorbeeld #3

EINDE Docent: M.J.Roos WWW.HRO.MROOS.COM