ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 6 IBB ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 6 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propedeuse, kernprogramma 2e kwartaal

De standaard logaritmische functie Beschouw de functie: y = 2logx ( Derive: y = Log(x,2) ) en y = ½ logx ( Derive: y = Log(x, ½) )

De standaard logaritmische functie Waardentabel: y = 2logx met g > 1 x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 y = 2logx -1 0,58 1,32 1,58 1,81 2,17 2,32 ∆y 0,42 0,32 0,26 0,23 0,19 0,17 0,15

De standaard logaritmische functie Waardentabel: y = ½ logx met 0 < g < 1 x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 y = 1/2logx -0,58 -1 -1,32 -1,58 -1,81 -2 -2,17 -2,32 ∆y -0,42 -0,32 -0,26 -0,23 -0,19 -0,17 -0,15

De standaard logaritmische functie Bij x = 1 is y gelijk aan 0, dit is het snijpunt met de x-as. Bij de logaritmische functie met grondtal 2 vertoont de functie een stijgend verloop, bij toenemende x wordt de mate van stijgen geringer. Bij de logaritmische functie met grondtal ½ vertoont de functie een dalend verloop, bij toenemende x wordt de mate van dalen geringer. Beide grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de x-as De toe – en afnamen van de functie y = glogx worden steeds kleiner Als g > 1, dan is de grafiek van de functie stijgend Als 0 < g < 1, dan is de grafiek van de functie dalend

De standaard logaritmische functie Waardentabel: y = 2logx en y = 2x x -2 -1 ¼ ½ 1 2 4 y = 2logx y = 2 x 1,19 1,41 16

De standaard logaritmische functie Eigenschappen Voor y = 2logx geldt: x > 0. Voor y = 2 x geldt: y > 0 De x- en y waarden van beide functies zijn verwisseld. Beide functies zijn elkaars gespiegelde in de lijn x = y Beide functies zijn stijgend, echter bij toenemende x stijgt y= 2 x steeds sneller, y = 2logx daarentegen steeds langzamer

Functievoorschrift van een logaritmische functie opstellen. De formulevorm is: y = a * 2log(x + b) Als een logaritmische functie door de punten (-3,0) en (0,10) gaat, dan wordt de vergelijking gevonden de substitutiemethode a * 2log(-3 + b) = 0 ↔ a = 0 of 2log(-3 + b) = 0 ↔ -3 + b = 1 a * 2log(b) = 10 ↔ a * 2log(b) = 10 ↔ a * 2log(b) = 10 ↔ b = 4 ↔ a = 10/2 = 5 (want: 2log4 = x → 2x = 22 → x = 2 ) De vergelijking van de gevraagde logaritmische functie is dan: y = 5 * 2log(x + 4)

Functievoorschrift van een logaritmische functie opstellen. Als een logaritmische functie door de punten (3,0) en (6,3) gaat, dan wordt de vergelijking gevonden de substitutiemethode De formulevorm is: y = a * 4log(x + b) a * 4log( 3 + b) = 0 ↔ a = 0 of 4log( 3 + b) = 0 ↔ 3 + b = 1 a * 4log(6 + b) = 3 ↔ a * 4log(6 + b) = 3 ↔ a * 4log(6 + b) = 3 → b = -2 → a = 3 (want 4log4 = 1) De vergelijking van de gevraagde logaritmische functie is dan: y = 3 * 4log(x - 2)

Functievoorschrift van een logaritmische functie opstellen. Rekenregel functievoorschrift bepalen Om het functievoorschrift te bepalen moeten we de coordinaten van twee punten kennen om vervolgens twee vergelijkingen te kunnen opstellen waarin a en b de onbekenden zijn.

Transformaties Als de grafiek van y = glogx bij positieve p horizontaal p eenheden naar links wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = glog(x + p) Als de grafiek van y = glogx bij positieve p horizontaal p eenheden naar rechts wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = glog(x - p) Als de grafiek van y = glogx met een factor p wordt vermenigvuldigd t.o.v. de x-as, dan heeft de nieuwe grafiek de functievoorschrift y = p * glogx Als de grafiek van y = glogx bij positieve p verticaal p eenheden naar boven wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = p + glogx Als de grafiek van y = glogx bij positieve p verticaal p eenheden naar beneden wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = - p + glogx

Transformaties y y =2 + 3 * 2log(x+2) y = 3 * 2log(x+2) De grafiek y = 2logx wordt met factor 3 vermenigvuldigd t.o.v de x-as en vervolgens twee eenheden naar links en twee eenheden naar boven verschoven. Het functievoorschrift van de dan ontstane functie is dan: y = 2 + 3 * 2log(x + 2)

Transformaties

Rekenregels standaardfunctie met een factor vermenigvuldigen grafiek horizontaal verschuiven grafiek verticaal verschuiven

Logaritmische ongelijkheden Grafische oplossing Teken de grafiek van de functies uit het linker- en rechterlid van de ongelijkheid. Bereken de snijpunten van beide grafieken. Lees uit de tekening de oplossing af. Voorbeeld: De grafiek van : 1/3logx < 2 Het snijpunt volgt uit: 1/3logx = 2 ↔ x = 1/9 ( (3-1)2 = 1/32 = 1/9 ) Uit de tekening volgt: x > 1/9

Logaritmische ongelijkheden Algebraïsche oplossing: Schrijf het linker- en het rechterlid als één logaritme, beide met hetzelfde grondtal. Gebruik volgens de eigenschappen; g > 1 dan: aloga > glogb ↔ a > b 0 < g < 1 dan: gloga > glogb ↔ a < b

Logaritmische ongelijkheden Voorbeeld 1: 1/3logx < 1/3log1/9 ↔ x > 1/9 1/3logx < 2 ↔ x > 0 (bestaansvoorwaarde) We zeggen ook wel dat bij een logaritmische ongelijkheid met grondtal g met 0 < g < 1 het ongelijkheidsteken omklapt.

Logaritmische ongelijkheden Voorbeeld 2: 3log(x2) < 3log(x + 2) 1/3log(1/x2) < 3log(x + 2) x ≠ 0 (bestaansvoorwaarde linkerlid) x > -2 (bestaansvoorwaarde rechterlid ↔ x2 < x +2 en x ≠ 0 en x > -2 ↔ x2 – x – 2 < 0 en x ≠ 0 en x > -2 ↔ (x – 2)(x + 1) < 0 en x ≠ 0 en x > -2 ↔ -1 < x < 2 en x ≠ 0 en x > -2 ↔ -1 < x < 0 of 0 < x < 2 Uitwerking: 1/3log(1/x2) ↔ 3log1/x2 / 3log1/3 ↔ 3logx-2 / -1 ↔-11 * -2 * 3logx ↔ 2 * 3logx ↔ 3logx2

Grafiek voorbeeld 2 -1 < x < 2 en x ≠ 0 en x > -2 -1 < x < 0 of 0 < x < 2

Logaritmische ongelijkheden Voorbeeld 3 -1 + 3log(x + 2) ≥ 3log(x – 4) bestaansvoorwaarde: -1 + 3log(x + 2) → x >- 2 3log(x – 4) → x >4 Snijpunt: -1 + 3log(x + 2) = 3log(x – 4) ↔ 3log1/3 + 3log(x + 2) = 3log(x – 4) ↔ 3log (x +2) / 3 = 3log(x - 4) ↔ (x + 2) / 3 = x – 4 ↔ -2x = -14 ↔ x = 7 Uit de tekening aflezen: 4 < x ≤ 7

Grafiek uit voorbeeld 3 Uit de tekening aflezen: 4 < x ≤ 7

Grafiek uit voorbeeld 3 Voorbeeld 4: Het aantal konijnen K in een duingebied wordt beschreven door de functie met de vergelijking: K = 5000 + 2000 * 3log(t + 1) Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1990 Teken de grafiek van deze functie voor de periode 1990 -2010 Hoeveel konijnen waren er op 1 januari 1995 ? In welk jaar zal het aantal konijnen de 15000 overschrijden ?

Grafiek uit voorbeeld 4 Voor t = 0 : 3Log(0 + 1) = 3Log1 = 0, invullen in de formule geeft voor K = 5000 K = : 5000 + 2000 * 3Log(5 + 1) ↔ 5000 + 2000 * Log6 / Log3 ↔ K = 8262 3log(t+1) > 5 ↔ 35 = t + 1 = 243 → t = 243 – 1 → t = 242 Het overschrijdingsjaar is: 1990 + 242 = 2232 (Tip: K = 5000 + 2000 * 3log(t + 1) voor K = 15000)

EINDE Docent: M.J.Roos WWW.HRO.MROOS.COM