Hogere Wiskunde Limieten en Continuiteit college week 5 Een inleiding M.J.Roos 8 mei 2011

Limieten en Continuiteit De functie f heet continue in x = a De grenswaarde van f(x) is gelijk aan de functiewaarde f(a) en zal de grafiek van f in a doorlopen.

Limieten en Continuiteit De functie f heet discontinue in x = a. De grenswaarde is nu niet de functiewaarde, de grafiek maakt een sprong of heeft een gaatje,

Limieten en Continuiteit De ophefbare discontinuiteit in x = a Hierbij is de rechterlimiet in x=a gelijk aan de linkerlimiet in x=a, terwijl f(a) daar niet gelijk aan is, We kunnen deze discontinuiteit opheffen door een apart functievoorschrift voor x=a te definieren:

Limieten en Continuiteit Voorbeeld: De ophefbare discontinuiteit in x = a: De functie bestaat niet in x = 1, we gaan na wat er met f(x) gebeurd al we x steeds dichter bij de waarde 1 kiezen, we zien dat de functiewaarde steeds dichter bij 4 komt te liggen. De rechterlimiet in x=a is hierbij dus gelijk aan de linkerlimiet in x=a

Limieten en Continuiteit Vervolg voorbeeld: De ophefbare discontinuiteit in x = a: Het rechter- en linkerlimiet zijn dus gelijk aan elkaar, hoe zit het dan met de functie f(1), nadert deze ook tot 4? Uit bovenstaand blijkt dus dat de Limiet van f(1) niet gelijk is aan de rechter- en het linkerlimiet, volgens: De functiewaarde f(1) bestaat niet. We kunnen de discontinuiteit bij x = 1 opheffen door het apart te definieren van: f(1) = 4

Limieten en Continuiteit De sprondiscontinuiteit in x = a Een functie f(x) vertoont een sprongdiscontinuiteit in x = a indien de rechter en het linkerlimiet van f(x) in x = a wel bestaan, maar niet gelijk zijn aan elkaar. Voor de functiewaarde f(a) kunnen we opmerken: Als , dan heet f links-continu in x = a Als , dan heet f rechts-continu in x = a.

Limieten en Continuiteit Voorbeeld: Sprongdiscontinuiteit in x=a: Discontinu in x = 0, hoe we f(0) ook definieren, steeds geldt en dus: De grafiek van f vertoont bij x = 0 een sprong ter grootte van 2, f(0) bestaat niet.

Limieten en Continuiteit De oneindige discontinuiteit in x = a Indien het verschil tussen de linker- en rechterfunctiewaarde van een functie rond x=a boven alle grenzen uitstijgt (oneindig is), de grafiek van de functie (fx) zal de lijn x = 1 zeer dicht naderen maar nooit snijden (asymtoot). De grafiek van f(x) heeft bij x=1 een oneindige discontinuiteit. f(1) bestaat niet.

Vervolgcursus: Complexe getallen Einde Vervolgcursus: Complexe getallen