Freudenthal Instituut Formules en grafieken Opmerkingen naar: Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht T.Dekker@fi.uu.nl Opzet voor een klassendiscussie. Algebra, redeneren over formules en grafieken. Zie ook: Opmerkingen vooraf voor de docent. Leerlingen kunnen applets gebruiken om te oefenen met het veranderen van formules en het analyseren van de gevolgen. Zie hiervoor wisweb van het Freudenthal Instituut, www.wisweb.nl

Maximale hartslag Wat gebeurt er tijdens inspanning met je hartslag? Wat is ongeveer een normale hartslag voor iemand van jouw leeftijd? Wat gebeurt er tijdens inspanning met je hartslag? Opgeven in aantal per minuut. Voor een volwassene is dat ongeveer 60 – 80 slagen per minuut. Een pasgeboren gezonde baby heeft een hartslag van meer dan 100 slagen per minuut. Voor een topsporter in rust kan de hartslag wel minder dan 30 slagen per minuut zijn. 2. Laat eventueel hartslag van een leerling meten, en nog eens na bijvoorbeeld 50 keer springen. Tijdens inspanning gaat de hartslag omhoog, het aantal slagen per minuut wordt groter.

Aanbevolen maximale hartslag Hiervoor bestond jarenlang de volgende formule Maximale hartslag = 220 – leeftijd Wie heeft een hogere maximale hartslag, iemand uit je klas of een van de docenten? De aanbevolen maximale hartslag tijdens inspanning is afhankelijk van de leeftijd. Vraag leerlingen naar een wiskundig argument dat hun bewering ondersteunt. 3. De maximale hartslag voor een leerling is groter. Voor iemand die ouder is wordt het getal dat van 220 wordt afgetrokken immers groter.

Een grafiek bij de formule Hoe ziet de grafiek eruit die bij deze formule hoort? Waarom weet je dat zeker? In het assenstelsel bij de grafiek komen uiteraard alleen positieve getallen voor. Toch heeft niet de hele grafiek betekenis. Welk deel wel en welk deel niet? Laat leerlingen eerst beredeneren hoe de grafiek eruit moet zien en waarom. Voor het beantwoorden van de tweede vraag kan tekenen (gr) handig zijn. De grafiek is een rechte lijn die begint in het punt (0, 220) en eindigt in het punt (220, 0). Je weet zeker dat het een rechte lijn is want voor elk jaar dat je naar rechts gaat in de horizontale richting) wordt de maximale hartslag één minder. 5. De formule is bedoeld voor sporters. Waarschijnlijk zelfs alleen voor volwassen sporters. Er zou overigens ook nog een verschil kunnen zijn tussen een formule voor mannen/jongens en vrouwen/meisjes. Het deel van de grafiek dat je kunt gebruiken zal dus ongeveer tussen leeftijd = 18 en leeftijd = 65 liggen. Andere antwoorden zijn mogelijk. Informeel worden hier de concepten domein en bereik aan de orde gesteld. Die formele termen hoeven uiteraard nog niet genoemd of gekend te worden.

Een bijgestelde formule Maximale hartslag = 208 – (0,7 × leeftijd) “Een gevolg van het gebruik van de nieuwe in plaats van de oude formule voor de aanbevolen maximale hartslag, is dat het aantal hartslagen per minuut voor jonge mensen licht afneemt en voor ouderen licht toeneemt.” Recent onderzoek heeft laten zien dat de formule moet worden bijgesteld. Het citaat is afkomstig uit een krantenartikel. Vraag leerlingen een getallenvoorbeeld te geven dat in het krantenartikel kan worden opgenomen om de bewering te verduidelijken. 6. Om een verschil te kunnen aangeven moeten zowel voor jongeren als voor ouderen getallen worden ingevuld in beide formules. Dat kan handig met een tabel. Bespreek ook met de leerlingen waarom de waarden als een geheel getal gegeven worden en niet als bijvoorbeeld 195,4.

Maximale hartslag = 208 – (0,7 × leeftijd) Maximale hartslag = 220 – leeftijd Vanaf welke leeftijd neemt de maximale hartslag toe als gevolg van het gebruiken van de nieuwe formule? Dit is een belangrijke vraag die meer tijd zal vragen. De formule waarmee vergeleken wordt is Maximale hartslag = 220 – leeftijd 7. De vraag kan op verschillende manieren worden beantwoord. Bijvoorbeeld door de grafieken te tekenen (eventueel met de grafische rekenmachine) en naar het snijpunt te kijken. Leerlingen kunnen ook naar de tabel kijken die via de grafische rekenmachine of een grafiekenprogramma zoals vugrafiek zichtbaar wordt gemaakt. Een derde methode is eerst de vergelijking op te lossen. 220 – leeftijd = 208 – (0,7 × leeftijd) 220 - (0,3 × leeftijd) = 208 (0,3 × leeftijd) = 12 leeftijd = 40 Daarna een getal boven de 40 invullen in beide formules om te zien welke formule na leeftijd = 40 grotere waarden geeft.

Maximale hartslag = 208 – (0,7 × leeftijd) Maximale hartslag = 220 – leeftijd Wat gebeurt er met het antwoord op de vorige vraag wanneer je het getal 0,7 in de nieuwe formule wijzigt? De vorige vraag was: Vanaf welke leeftijd neemt de maximale hartslag toe als gevolg van het gebruiken van de nieuwe formule in vergelijking met de oude formule Maximale hartslag = 220 – leeftijd? Bekijk zowel kleiner als groter dan 0,7 maken. Laat eventueel weer een tabel maken met verschillende waarden. 8. Kleiner dan 0,7: de aanbevolen maximale hartslag wordt groter. Groter dan 0,7: de aanbevolen maximale hartslag wordt kleiner.

Teken de grafieken bij beide formules in hetzelfde assenstelsel. Maximale hartslag = 208 – (0,7 × leeftijd) Maximale hartslag = 220 – leeftijd Teken de grafieken bij beide formules in hetzelfde assenstelsel. Welke verschillen zie je? 9. Beide grafieken zijn een rechte lijn. De “nieuwe” grafiek heeft als beginpunt (0, 208). De tweede grafiek is steiler dan de eerste (“gaat sneller naar beneden”). Snijpunt met de horizontale as van de “nieuwe” grafiek is (298, 0) Bespreek met leerlingen hoe ze het snijpunt met de horizontale as kunnen vinden: met behulp van de grafische rekenmachine (tabel en/of grafiek, gebruik “trace”) of door de vergelijking 0,7 × leeftijd = 0 op te lossen.

Effectieve hartslag Je traint effectief wanneer je hartslag 80% van de maximale hartslag is. Maak een nieuwe formule die met deze gegevens rekening houdt. Effectieve hartslag = …….. Als je gaat trainen kun je beter niet de maximale hartslag aanhouden. De training is het meest effectief wanneer je hartslag 80% van de aanbevolen maximale hartslag is. 10. Omdat leerlingen waarschijnlijk verschillende vormen voor hun nieuwe formule zullen bedenken, zoals effectieve hartslag = 0,8 × (208 – (0,7 × leeftijd)) of effectieve hartslag = 166,4 – (0,56 × leeftijd) is dit een goed moment om equivalente formules te bespreken. Bespreek met leerlingen of ook effectieve hartslag = 166 – (0,6 × leeftijd) een goede formule is en waarom.

Effectieve hartslag Gebruik 60% in plaats van 80% in de formule voor de effectieve hartslag. Is de formule dan bestemd voor intensief trainen of voor een lichte training? Ook hier wordt weer een wiskundig argument verwacht. 11. Als je 60% gebruikt in plaats van 80% in de formule effectieve hartslag = 0,8 × (208 – (0,7 × leeftijd)) dan is de formule geschikt voor licht trainen. De aanbevolen hartslag is dan immers lager. Onderzoek naar het effect van verschillende percentages kan ook uitgevoerd worden met de tabelfunctie van de grafische rekenmachine. Gebruik: y1 = 208 – 0,7x y2 = 0,8 × y1 y3 = 0,6 × y1 enz.