Enkelvoudige harmonische trillingen Hoofdstuk 2

Harmonische Trillingen TRILLING : heen – en weergaande beweging rond evenwichtsstand. ELONGATIE : Stand ten opzichte van de evenwichtsstand. AMPLITUDE : Maximale elongatie. HARMONISCHE TRILLING : Elongatie = sinusfunctie

Bewegingsvergelijking A : Amplitude (wt + f0) : Fasehoek (fase) w : Fasesnelheid of pulsatie f0 : Beginfase Periode T : Frequentie f :

Elongatie

Elongatie (2)

Elongatie : fasorvoorstelling Fasor : vector met lengte gelijk aan amplitude die ronddraait met hoeksnelheid gelijk aan pulsatie. Elongatie = projectie op de Y-as. Zie ook applet.

Snelheid bij EHT - berekening Snelheid is opnieuw een trilling met amplitude Aw. Snelheid is p/2 uit fase ten opzichte van elongatie. Snelheid ‘loopt p/2 voor op’ elongatie

Snelheid bij EHT - grafisch

Snelheid bij EHT - grafiek Snelheid is maximaal bij doorgang door evenwichtstand. Snelheid is nul bij maximale uitwijking

Versnelling bij EHT - berekening Versnelling is opnieuw een trilling met amplitude Aw². Versnelling is p uit fase ten opzichte van elongatie en p/2 uit fase ten opzichte van snelheid.

Versnelling bij EHT - grafisch

Versnelling bij EHT - grafiek Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is. Versnelling is nul bij doorgang door evenwichtspositie.

Snelheid en versnelling bij EHT

Fasorvoorstelling (2) Snelheid en versnelling kunnen ook met fasoren voorgesteld worden. Fasor snelheid staat loodrecht op fasor elongatie. Fasor versnelling maakt hoek van 180° met fasor elongatie.

Krachtwerking bij EHT Uit eerste wet van Newton en afleiding versnelling volgt : Kracht is recht evenredig met elongatie. Kracht is tegengesteld gericht aan de elongatie. Nodig en voldoende voorwaarde om een massa m een EHT met pulsatie w te laten beschrijven

Energie bij EHT – Kinetische energie Kinetische energie – definitie Kinetische energie op tijdstip t Kinetische energie bij elongatie y

Energie bij EHT – potentiële energie Ep bij elongatie y is arbeid verricht door resultante bij verplaatsing van y naar evenwicht-stand. Arbeid is oppervlak onder Fy, y diagram.

Totale energie is recht evenredig met kwadraat van amplitude

Totale energie (2) E Ep Ek Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwicht- stand ?

Massa aan veer Evenwichtstand Elongatie y

Massa aan veer - conclusies Massa aan veer voert harmonische trilling uit. Trilconstante = veerconstante

Wiskundige slinger Idealisatie : Puntmassa beweegt op cirkelboog. Onuitrekbaar en massaloos touw Puntmassa Puntmassa beweegt op cirkelboog. Elongatie : afstand Ds langs de cirkelboog.

Wiskundige slinger - krachtwerking Te bewijzen : kracht die heen – en weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige en voldoende voorwaarde. Welke kracht is dat ? Tangentiële component van resultante. Spankracht : alléén maar normaal-component. Kracht die we zoeken Tangentiële component van zwaartekracht.

Wiskundige slinger – krachtwerking (2) Tangentiële component zwaartekracht : Voor kleine hoeken :

Wiskundige slinger - conclusies

Gedempte trillingen Realiteit : energie gaat verloren door niet conservatieve krachten zoals wrijving => Amplitude gaat afnemen : trilling wordt gedempt. Amplitude gaat exponentieel afnemen

Resonantie Oscillerend systeem kan energie overdragen naar andere oscillator door koppeling. Energie-verdracht is maximaal, als frequentie van bron (emittor) gelijk is aan eigenfrequentie van ontvanger (resonator). Resonantievoorwaarde : femittor = fresonator Zie ook applets website.

Resonantie-catastrofe Bij continue energietoevoer bij resonantie-voorwaarde, kan amplitude zéér groot worden. Amplitude kan zo groot worden, dat elasticiteitsgebied overschreden wordt, en systeem kan permanent vervormd worden => RESONANTIE-CATASTROFE. Berucht voorbeeld : Tacoma Narrows Bridge

Resonantie – catastrofe (2)