Actualisering leerplan eerste graad Meetkunde Sessie 6: Congruentie – Transformaties Verwoordingsvaardigheid Redeneervaardigheid

Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde bao - leerdoelen: Ruimtelijke oriëntatie Vormleer Meetkundige relaties Toepassingen

Overzicht sessie 5: meetkundevorming bao: beheersingsniveaus Herkennen Benoemen Tekenen Intuïtief verwoorden Intuïtief verantwoorden Werken vanuit observatie!

Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde so Meetkunde – nog sterk ervaringsgericht! Hogere beheersingsniveaus van Verwoorden Definiëren Verklaren Bewijzen meerwaarde t.o.v. bao!

Voortdurende transfer van ruimtelijke situatie naar vlakke situatie Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde so – observeren en kijken Voortdurende transfer van ruimtelijke situatie naar vlakke situatie Gamma van meetkundige elementen in versieringen en patronen opbouw meetkunde Ruimtelijk voorstellingsvermogen Patronen en figuren Bouwstenen van meetkunde

Ruimtelijk voorstellingsvermogen: Ruimtelijk inzicht (vanuit bao) Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde so – observeren en kijken Ruimtelijk voorstellingsvermogen: Ruimtelijk inzicht (vanuit bao) Ruimtelijk voorstellingsvermogen, hieraan moet nog gewerkt worden! Contextsituaties!

Uit natuurlijke omgeving Na-tekenen Ontwerpen Figuren doorgronden Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde so – observeren en kijken Patronen en figuren: Uit natuurlijke omgeving Na-tekenen Ontwerpen Figuren doorgronden

Bouwstenen van meetkunde: Verfijning van verwoording Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde so – observeren en kijken Bouwstenen van meetkunde: Verfijning van verwoording Vraag naar verklaring en verantwoording Vraag onderlinge samenhang begrippen, eigenschappen meerwaarde t.o.v. bao

Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde so – vormen en figuren Rechten, vlakken, bijzondere lijnen: Grondelementen van de meetkunde! Abstractie: overgang begrensde verzameling – onbegrensde drager lengte, hoek vanuit bao maar beter omschrijven (complement, supplement, overstaande, …) Onderlinge relaties leiden tot nieuwe begrippen: middelloodlijn, bissectrice.

Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde so – vormen en figuren Vlakke figuren: Is deze figuur een ruit of een vierkant? Zijn deze twee rechthoeken gelijkvormig? Vertoont deze figuur symmetrie? noodzaak van goede, vlothanteerbare formulering van begrippen met minimaal aantal voorwaarden, definities en eigenschappen Geleidelijk proces!

Overzicht sessie 5: meetkundevorming Meetkunde so – vormen en figuren Ruimtemeetkunde: Meetkunde gebruiken in ruimtelijke situaties Inkapselen van begrippen en eigenschappen uit vlakke meetkunde in ruimtelijke situaties

Inhoudstafel Meetkunde in de 1ste graad A-stroom p. 1 Congruentie en transformaties p. 3 Congruentie p. 3 Transformaties p. 4 Uitleggen p. 5 Leerplan a – 2de jaar p. 6 Doelstellingen p. 6 Actualisering p. 6 Leerplan b – 2de jaar p.14 Doelstellingen p.14 Actualisering p.14

Inhoudstafel Wiskunde en taal p.16 Werken met beheersingsniveaus p.16 Wiskundige taalvaardigheid p.20 Redeneervaardigheid – bewijzen p.29

Inhoudstafel bijlagen Oefeningen transformaties p. 2 Oefeningen congruentie p. 7 Oefeningen eigenschappen drie- en vierhoeken p. 12 Oefeningen bewijsvaardigheid p.18 Lineariteitsillusie p. 21 Cirkelspiegelingen p. 24 Wiskunde beter begrijpen – twee artikels p. 28 Wiskunde en taalondersteuning p. 34 Wiskunde en taalondersteuning – praktisch voorbeeld p. 39 Taaltips voor de wiskundelessen p. 41

Vertrekken van figuren, patronen, …

Congruentie - Transformaties Zes voorwaarden bij congruentie Werken met zo weinig mogelijk voorwaarden. Laten ervaren door leerlingen. Nieuwe begrippen: verschuivingen, spiegelingen, draaiingen Begrip transformatie is uitbreiding!

Congruentie - Transformaties Begrippen en eigenschappen fungeren als basiskennis om allerlei nieuwe eigenschappen te onderbouwen. Bijv. Eigenschappen over de diagonalen van vierhoeken De diagonalen van een parallellogram delen elkaar middendoor. De diagonalen van een rechthoek zijn even lang. Herkennen, Verwoorden, Uitvoeren!

2de jaar – leerplan a Doelstellingen transformaties Transformaties ontdekken door observatie en analyse. Kenmerken formuleren. Andere voorbeelden: glijspiegeling, uitrekking of inkrimping Herkennen, Bepalen, Verwoorden!

2de jaar – leerplan a Doelstellingen transformaties Waarom-vraag! Als voorbereiding op bewijzen in andere situaties. Doel: Argumenten leren herkennen (cf. gereedschapskist) Argumenten leren formuleren Werken op figuur

2de jaar – leerplan a Doelstellingen transformaties Puntspiegeling als specifieke draaiing Leerlingen voeren zelf transformaties uit. Werken met ruitjespapier. Verklaringen vragen bij het uittekenen, verwoorden van hetgeen men vaststelt. Bijv. Spiegel een parallellogram Welke figuur is het beeld? Controleer dat met de zijden van de gespiegelde figuur. Meet de zijden. Kan je hieruit een eigenschap afleiden? Meet de hoeken. Kan je hieruit een eigenschap afleiden?

2de jaar – leerplan a Doelstellingen transformaties Eigenschappen die aan bod kunnen komen: Behoud van lengte en hoekgrootte Behoud van collineariteit Behoud van evenwijdigheid van rechten Behoud van de loodrechte stand van rechten Elke te onderzoeken situatie leidt niet noodzakelijk tot een eigenschap! (cirkelspiegeling)

2de jaar – leerplan a Doelstellingen transformaties Kleur het beeld van de aangeduide figuur door de vermelde transformatie: verschuiving bepaald door puntspiegeling met centrum O draaiing met centrum J het georiënteerd lijnstuk IJ en hoek is 90°

2de jaar – leerplan a Doelstellingen transformaties Spiegel het punt P om de rechte a. Je mag enkel een passer gebruiken. V

2de jaar – leerplan a Doelstellingen transformaties: geïntegreerde oefening V

2de jaar – leerplan a Doelstellingen transformaties Maak afspraken over vereenvoudigde notaties. Bijv. Definities, uitbreiding! Geen samenstelling van verschillende transformaties Constructies, niet op ruitjes, en complexe figuren, uitbreiding! Geen formele bewijzen.

2de jaar – leerplan a Doelstellingen congruentie Leerlingen kunnen zelf tekenen en verwoorden. Leerlingen confronteren met situaties die niet leiden tot een effectieve eigenschap. Stappen laten verwoorden! Herkennen, Verwoorden, Illustreren! Teken een driehoek waarvan de lengten van de 3 zijden gegeven zijn.

2de jaar – leerplan a Doelstellingen congruentie Gegeven: |AB| = |AC| Je wil aantonen dat |BD| = |DC|. Heb je daarvoor voldoende gegevens? Zo ja, toon dit aan. Zo neen, welk gegeven is er nog nodig? Waarom?

2de jaar – leerplan a Doelstellingen congruentie B Gegeven : ABC en ADE zijn gelijkzijdige driehoeken. Te bewijzen : ABD en ACE zijn congruent.

2de jaar – leerplan a Doelstellingen congruentie Onderzoek in de volgende figuren of de gegeven driehoek congruent is met een andere driehoek in de figuur. Zo ja, verklaar dan waarom. Zo neen, maak een nieuwe tekening waarop duidelijk te zien is dat de driehoeken niet congruent zijn. R M is het midden van [AB] en van [PQ]. ∆ APM  ……………

2de jaar – leerplan a Doelstellingen congruentie B ∆ QSR  …….

2de jaar – leerplan a Doelstellingen gelijkvormigheid Bao: kennismaking met ‘figuren van gelijke vorm’ So: meerwaarde is ‘verklaren’ van die gelijkvormigheid. Probleem: verband schaal - gelijkvormigheid Herkennen! Hoeveel weegt een kabouter die 10 keer kleiner is dan jij?

2de jaar – leerplan a Doelstellingen: merkwaardige lijnen Constructie van merkwaardige lijnen Aantonen met congruentie of m.b.v. eigenschappen van spiegeling

Gereedschapskist gebruiken: ordening op basis van bruikbaarheid. 2de jaar – leerplan a Doelstellingen: eigenschappen verwoorden en bewijzen Gereedschapskist gebruiken: ordening op basis van bruikbaarheid. Bijv. met welke hulpmiddelen kan verklaard, bewezen worden dat: Twee rechten evenwijdig zijn, Twee hoeken even groot zijn, De lengten van twee lijnstukken gelijk zijn, …

2de jaar – leerplan a Doelstellingen: eigenschappen verwoorden en bewijzen Bewijs dat in een parallellogram twee overstaande hoekpunten gelijke afstanden hebben tot de diagonaal door de twee overige hoekpunten.

2de jaar – leerplan a Doelstellingen: eigenschappen verwoorden en bewijzen Teken een ruit ABCD waarvan a een symmetrieas is en M een punt van een zijde. Noteer een eigenschap die je hierbij gebruikt.

2de jaar – leerplan a Doelstellingen: eigenschappen verwoorden en bewijzen Teken door enkel gebruik te maken van een lat (niet meten!) het beeld van het punt M door de puntspiegeling om O. Leg je werkwijze uit.

2de jaar – leerplan b Doelstellingen: transformaties Verschillende behandeling van de doelstellingen als die van leerplan a Gebruik eenvoudige figuren Gebruik eenvoudige liggingen van as en centrum Gebruik ruitjespapier bij tekening Minimale verwerking van de doelstellingen

2de jaar – leerplan b Doelstellingen: transformaties Belangrijk: Verwoorden en intuïtief verklaren, weliswaar op lager taalniveau. Gebruik basiseigenschappen bij argumentering (gelijkvormigheid en congruentie).

2de jaar – leerplan b Doelstellingen: congruentie en gelijkvormigheid Waarom-vraag! Argumenteren met Gelijkheid van lengte van lijnstukken Gelijkheid van hoeken. Herkennen!

2de jaar – leerplan b Doelstellingen: merkwaardige lijnen Geen bewijzen! Verwoorden, Construeren.

Wiskunde en taal: werken met beheersingsniveaus. Gedifferentieerd werken! Wiskunde op gebruikersniveau Wiskunde op intensiever niveau Keuze i.f.v. eigen doelen i.f.v. intrinsieke mogelijkheden Eerste graad heeft een oriënteringsfunctie!

Wiskunde en taal: Beheersingsniveau: herkennen en benoemen Betekenis geven aan begrippen. Goede voorbeelden en tegenvoorbeelden geven. Informeel verwoorden van belang. Bijv. een vierkant aanwijzen in een reeks figuren.

Wiskunde en taal: Beheersingsniveau: verwoorden en gebruiken Voorbeeldfunctie van leraar Begrip hanteren op basis van voorwaarden. Begrippen classificeren. Juiste associaties maken. Niet van buiten laten leren. Informeel verwoorden van belang. Bijv. aangeven dat een figuur een gelijkbenige driehoek is, omdat er 2 gelijke benen zijn.

Wiskunde en taal: Beheersingsniveau: formaliseren Behoorlijk formuleren van definitie of eigenschap. Omschrijven van begrippen en van kenmerken en van eigenschappen ervan. Verklaren en argumenteren op lager beheersingsniveau. Bijv. definitie geven van een parallellogram. Bijv. eigenschappen formuleren en analyserend onderzoeken.

Wiskunde en taal: Beheersingsniveau: formeel argumenteren en bewijzen Definities en eigenschappen vlot verwoorden. Onderzoeken van hypothese. Al of niet besluiten tot eigenschap. Zelf een bewijs opstellen. Bijv. bewijs uitschrijven voor het kenmerk van middelloodlijnen. Bijv. congruentiekenmerken hanteren in bewijzen bij opdrachten.

Wiskunde en taal: Beheersingsniveaus Besluit: Wil kennis goed functioneren, dan is een verwerking op de verschillende beheersingsniveaus noodzakelijk. Betekenisgeving is wezenlijk voor de ontwikkeling van kennis en voor het inzicht in het leren. Wil wiskundige kennis gebruikt worden, dan is een goede koppeling aan concrete contexten en betekenisvolle situaties een noodzaak.

Wiskunde en taal: Beheersingsniveaus Besluit: In het so zal dus elk wiskundeleerproces een evenwicht houden tussen enerzijds het aanbrengen en het uitzoeken van begrippen en eigenschappen op betekenisvolle situaties en anderzijds het meer formeel verwoorden en argumenteren.

Trouwens Wiskunde zonder bewijzen is als voetbal zonder bal. …een wiskundevoordracht zonder bewijs is net als een film zonder liefdesscène.

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Verschillende vaardigheidsniveaus: Luisteren Lezen Spreken Schrijven

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Actieve/demonstratieve taal - herkennen/verwoorden Kun je zeggen wat de wortel uit een getal is? 3² = 9, dus 3 is de wortel uit 9 Relatieve taal – herkennen/verwoorden De vierkantswortel van een getal is het getal, waarvan het kwadraat het gegeven getal is. Kunnen we zeggen, dat iemand die demonstratieve taal gebruikt minder van het wortelbegrip begrepen heeft dan iemand die relatieve taal gebruikt?

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Onderzoek eens of een ware of onware uitspraak is. Onderzoek eens of voor elk natuurlijk getal a en elk natuurlijk getal b geldt: Hier wordt de demonstratieve gebruiker aangesproken in een taal die hij niet verstaat! De relatieve taalgebruiker kan een oplossing geven als hij inzicht heeft. Er hoeft geen verschil te bestaan in het soort begrijpen, wel in niveau.

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Verbaalalgebraïsch/functionele taal - formele kennis Kun je zeggen wat de wortel uit een getal is? Wortel trekken is de inverse van kwadrateren.

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Wiskundeleraren trachten de verschillende taalniveaus accepteren. Wiskundeleraren trachten de leerlingen naar een hoger taalniveau te brengen. Wiskundeleraren geven leerlingen veel kansen tot verwoording.

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Taalonderdelen in de wiskundeles Dagelijkse taal: tuin, omheining, tandwiel, thriller, passeren, … Schooltaal: beschrijf, teken, benoem, zo nauwkeurig mogelijk, … Wiskundetaal: rechthoek, kubus, passer, hoeveel, …

Opdracht: problemen met taal Heb je ook dergelijke ervaringen in de praktijk? Hanteer je in de vakgroep, school een begrippenlijst voor taalzwakke leerlingen? Hou je rekening met mogelijke taalproblemen bij de formuleringen in je toetsen, opdrachten, …? Hoe? Is er een taalbeleid op je school?

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Problemen met taal in wiskunde (bijlage 8,9,10) Wiskundeleraar is ook taalleraar. Zijn woorden zoals thriller, monteren, … voldoende vertrouwd bij leerlingen? Wat met woorden die meerdere betekenissen hebben zoals neus, passeren, …? Wat met woorden zoals controleer, vergelijk, noteer, reken uit, zo nauwkeurig mogelijk, … verschillende leraren geven hieraan verschillende betekenissen.

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Specifieke wiskundetaal – didactische aanpak Begrippen en kennis ontwikkelen in betekenisvolle situaties. Aandacht voor verfijnen van taal en verhogen van beheersingsniveau en taalsteun bieden Actieve betrokkenheid van alle leerlingen Omzetten van dagelijkse taal naar wiskundetaal (cf. stappenplan bij aanpak probleem).

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Visueel aspect van wiskundetaal De moeilijkheid hiervan voor leerlingen mag niet onderschat worden. Confronteer leerlingen met vele figuren. Laat leerlingen de vertaling van opgave naar figuur of van figuur naar geschreven informatie maken.

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Voorbeeld Tekstuele informatie Hypothese: in een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de tophoek middelloodlijn van de basis. Meer formele notatie: Gegeven: ABC, Â is tophoek, |AB|=|AC|, AD is bissectrice van Â, D is het snijpunt van CB en AD

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Visuele voorstelling Omgekeerd Leerlingen leren nagaan of informatie uit figuren inderdaad te veralgemenen is in een hypothese.

Wiskunde en taal: Wiskundige taalvaardigheid Voorbeeld: 10 taaltips voor de wiskundelessen (bijlage 10) Besef steeds dat taal voor leerlingen een probleem kan vormen. Structureer de les en de lesinhoud. Verlevendig contexten samen met de leerlingen. Leg moeilijke woorden en zinnen uit. Help leerlingen bij het begrijpen van wiskundeteksten. Betrek taalproblemen bij de lesvoorbereiding. Laat leerlingen praten in de lessen. Evalueer antwoorden met de leerlingen. Wees je bij het samenstellen van proefwerken bewust van de taal die je gebruikt. Werk samen met collega’s.

Redeneervaardigheden - bewijzen

Redeneervaardigheden - bewijzen Is een deductieve aanpak nodig om leerlingen te overtuigen van een bepaalde eigenschap? Ondersteunt een bewijs het inzicht? Dragen gememoriseerde bewijzen bij tot het begrijpen van wiskunde en het beter toepassen van de wiskundekennis of het beter redeneren?

Redeneervaardigheden - bewijzen De doelen liggen elders. Vaststellingen: 1.Er zijn vele vormen van wiskundige vorming. Gedifferentieerd aanpakken is noodzakelijk met leerkansen op de verschillende beheersingsniveaus. 2.Bewijzen van eigenschappen opentrekken naar wiskundig redeneren (waarom – hoe). 3.Het gaat om wiskundige competentie.

Is dit de enige juiste weg voor alle leerlingen? Redeneren: vanuit een vooropgezette, vastgelegde, afgesproken basisbron van eigenschappen via logische weg/ deductieve weg een bewering onderbouwen. Enge interpretatie: Bewering Aangeboden stelling Onderbouwen Via bewijsvoering Basisbron Axiomastelsel Is dit de enige juiste weg voor alle leerlingen?

Redeneren: vanuit een vooropgezette, vastgelegde, afgesproken basisbron van eigenschappen via logische weg/ deductieve weg een bewering onderbouwen. Brede interpretatie: Bewering Stellen van een hypothese d.w.z. Situaties onderzoeken. Leerlingen actief betrekken. Niet zonder meer alles moeten proberen te bewijzen. Werken op basis van eigenschappen. Eigenschappen vlot formuleren

Geen axiomatisch denken, later. Redeneren: vanuit een vooropgezette, vastgelegde, afgesproken basisbron van eigenschappen via logische weg/ deductieve weg een bewering onderbouwen. Brede interpretatie: Belangrijk om een duidelijk afgesproken geheel van begrippen en eigenschappen af te bakenen waarop leerlingen kunnen terugvallen. Geen axiomatisch denken, later.

Lokaal deductief werken (cf. aanpak oplossen probleem) Redeneren: vanuit een vooropgezette, vastgelegde, afgesproken basisbron van eigenschappen via logische weg/ deductieve weg een bewering onderbouwen. Lokaal deductief werken (cf. aanpak oplossen probleem) Verschillende stappen: 1. Voorbereidend onderzoeken: kan het of kan het niet? 2. Behoorlijk formuleren van een hypothese: fase van verwoording (eigenschap – kenmerk). 3. Formuleren van argumenten vanuit een aantal voorbeelden, geen garantie op veralgemening. 4. Een bewijs neerschrijven.

Redeneren in de eerste graad De laatste stap, uitschrijven van een bewijs, is de moeilijkste voor de leerlingen! Kies goedgekozen situaties. Hoe? Actief leerproces. Welke voorbeelden heb je onderzocht? Zijn ze voldoende algemeen? Is een voorwaarde essentieel? Welke eigenschap(pen) wil je gebruiken? Zijn alle voorwaarden vervuld? Vanuit gissen en missen naar gestructureerde aanpak (oriënteringsvoorwaarde!).

Redeneren in de eerste graad Hulpmiddelen bij aanpak van het uitschrijven van een bewijs: Overzichtelijk werkschema in een eerste fase routine Daarna niet te sterk vasthouden aan stappenplan.

Redeneren in de eerste graad Voorbeeld Bewijs dat de diagonalen van een ruit loodrecht op elkaar staan. Verkennen Tekening maken en de vier gelijke zijden aangeven. Schrijf de letter A,B,C en D bij de hoekpunten. Trek de diagonalen en noem het snijpunt S.

Redeneren in de eerste graad 2. Analyseren Vooruitdenken: ABCD is ook een parallellogram dus de diagonalen delen elkaar middendoor, dus |AS|=|SC|en |BS|=|SD|. (+ aanduiden op de figuur) Terugdenken: Je moet bewijzen dat AC BD. Hieruit kun je dus de conclusie trekken dat je kunt volstaan aan te tonen dat hoek BSC hoek DSC is, want hoek BSD is een gestrekte hoek. Plan maken: Als ik kan aantonen dat  BSC congruent is met  DSC ben ik klaar.

Redeneren in de eerste graad 3. Bewijs geven Schrijf nu op: Gegeven: een ruit ABCD Te bewijzen: AC  BD Bewijs:  BSC congruent is met  DSC want …. dus ……

Bedankt voor je aandacht