Trillingen en golven Sessie 8
Fourieranalyse ontbinden van willekeurige functie f(x) in zijn ‘basisfuncties’ (vgl. ontbinden van vectoren in orthogonale basisvectoren) Fourier: periodieke functie f(x), periode 2p, basisfuncties: sin(nx) en cos(nx) met n=0,1,2,... coefficienten: an, en bn vergelijk met:
Fouriercoefficienten recept voor vinden an, en bn: Vgl. vectoren: (gemiddelde waarde) Ietsje afwijkend: Adams: a0 is gewoon een voorbeeld van an (dit scheelt een factor 2) Altijd: a0 zorgt voor de gemiddelde waarde; alle andere an en bn niet.
Even en oneven functies even: f(x)=f(-x) vb: cos(x) oneven: f(x)=-f(-x) vb: sin(x) f(x) willekeurig: dan f(x)=fe(x)+fo(x) met fe(x) even: fe(x)=[f(x)+f(-x)]/2 en fo(x) oneven: fo(x)=[f(x)-f(-x)]/2 oneven functie: Fourier alleen sinus even functie: Fourier alleen cosinus (+gemiddelde)
Voorbeeld Fourieranalyse: oneven blok oneven blokfunctie f(x): f(x)=-1/2 (-p<x<0) f(x)=+1/2 (0<x<p) f(x) heeft periode 2p gebruik: integraal over oneven functie = 0 integraal over even functie = 2 x halve integraal samen met: (even x oneven) = oneven (oneven x oneven) = even etc…
Voorbeeld Fourieranalyse: oneven blok oneven rond x=0, dus an=0 even rond x=p/2, dus bn=0 voor n even n oneven:
Periode is geen 2p maar arbitrair T
Periode is geen 2p maar arbitrair T