Mechanica van pijl en boog Bob Kooi J.A. Sparenberg en M. Kuipers Mathematisch Instituut RUG 1979-1983 Jan Lanting, RUG; Cor Tuijn, UVA Peter Pratt, Imperial College London

rotstekeningen met jachtscene Spanje (10.000 v.C.) E.G. Heath The Gray Goose Wing 1971.

De oudste inwoners van zuidelijk Afrika. Bosjesman uit zuid-west Afrika. De oudste inwoners van zuidelijk Afrika. Wonen minstens 20.000 jaar in de Kalahari woestijn Pijlpunt is giftig E.G. Heath The Gray Goose Wing 1971.

hebben oudheid bepaald met C14 methode: 2020 v.C. Onstwedde 1887: Complete Taxus boog Drents Museum, Assen sinds 1964 in Groninger Museum Lanting en Mook, RUG, hebben oudheid bepaald met C14 methode: 2020 v.C. The Pre- and Protohistory of the Netherlands in terms og Radicarbon dates, J.N. Lanting and W.G. Mook RUG, Groningen 1977

Bayeux tapijt gemaakt in opdracht van bisschop Odo van Bayeux. slag bij Hastings 1066 Willem de Veroveraar tegen koning Edward van Engeland. Bayeux tapijt gemaakt in opdracht van bisschop Odo van Bayeux. zie ook Stripmuseum Groningen E.G. Heath The Gray Goose Wing 1971.

boog types enkelvoudig (hout) samengesteld materiaal non-recurve (pees, hout, hoorn, lijm) non-recurve statische recurve working recurve vorm

enkelvoudige bogen van hout E.G. Heath The Gray Goose Wing 1971.

samengestelde bogen E.G. Heath The Gray Goose Wing 1971.

samengestelde boog pees - trekkant hoorn – drukkant hout – midden lijm - verbinding H. Balfour, On the Structure and Affinities of the Composite bow, Journal Anthropological Institute Vol 19 220-250 1890

Just as man is made of four component samengestelde boog Just as man is made of four component parts (bone, flesh, arteries and blood) so is the bow made of four component parts boog correspondeert met mens hout geraamte hoorn vlees pees aderen lijm bloed

driehoeks- boog uit Assyrie, samen- gestelde boog E.G. Heath The Gray Goose Wing 1971.

Koreaanse boog: afgespannen Korean Bow Construction E. McEwen, Journal of The Socienty of Archer-Antiquaries Vol 16 1973 pp. 11,12 and 13

Koreaanse boog: gespannen

Koreaanse boog: getrokken

doel jacht oorlogsvoering afstandschieten (Turken) doelschieten (Olympische spelen)

opspannen opslag van energie die niet terug gewonnen kan worden Opspannen.bmp

pijl opleggen Opleggen.bmp

Staan.bmp

opslag van potentieleenergie die wel terug gewonnen kan worden trekken opslag van potentieleenergie die wel terug gewonnen kan worden spannen.bmp

richten Ankeren.bmp

mikken richten.bmp

lossen overdracht van potentiele energie in boogarmen naar kinetische energy van pijl Lossen.bmp

na-richten Houden.bmp

experimenten-statica trekkracht tegen treklengte oppervlakte onder curve = beschikbare energie A opgeslagen in boogarmen en pees

model boog-armen zijn “balken” pees (on)rekbaar pijl is een punt-massa karakteristiek zijn de grote verplaatsingen berekeningen met computer

boog: lengte van de boog-armen lengte van de grip vorm van de afgespannen boogarmen vorm van de dwarsdoorsneden elasticiteit eigenschappen van arm-materiaal soortelijke massa van arm-materiaal spanhoogte treklengte pees: massa van de pees elastische eigenschappen van de pees pijl: massa van de pijl

symmetrische boog (alleen bovenste helft) afgespannen gespannen getrokken

non-recurve rechte boog

Hendrik de Achtste (1492-1547) schiet de langboog

non-recurve driehoeksboog

graf Toetanchamon, Egypte (1354-1346 v.C.) ontdekt in 1923

statische recurve boog

statische recurve boog

statische recurve boog

statische recurve boog

working-recurve boog afgespannen gespannen getrokken

Octrooi van C.N. Hickman 1937

working recurve boog

moderne working-recurve statica uittrekken

moderne working-recurve dynamica lossen->pijl verlaat pees

moderne working-recurve dynamica pijl heeft pees verlaten

Statische (F ) en dynamische (E ) krachten als functie van treklengte b

experimenten-dynamica oppervlakte onder F (b) = beschikbare energie A kinetische energie K pijl = ½ • massa • snelheid2 rendement h= K/A

vrij-practicum onderwerp Laurents de Lange student Natuurkunde, UvA gemagnetiseerde pijl(punt) schieten door twee spoelen op vaste afstand

http://www.ide-teknik.com/

geinduceerde stroom in de twee spoelen afstand delen door tijd geeft snelheid

experiment vs model gemeten voorspeld A (J) 32.16 32.9 K (J) 22.57 23.9 h (%) 70.2 72.9 pijlsnelheid is 50 m/s of 180 km/uur hoog rendement

Mary Rose, vlaggeschip van Hendrik VIII Vergaan in 1545, een mijl buiten Portsmouth

Het schip is geborgen in 1982

…met 137 bogen hoe zwaar waren die bogen? het hout was gedeeltelijk gedegenereerd, dus meten was onmogelijk

Roy King maakte een replica waarvan de trekkracht wel gemeten kon worden Peter Pratt mat alle afmetingen en fysische parameters zowel van geborgen bogen als replica waarvan trekkracht berekend kon worden! vergelijk van gemeten en berekende trekkracht van replica boog geeft controle

Resultaten in Robert Hardy Longbow gemeten en berekende trekkracht replica kwamen goed overeen voorspelde trekkracht erg groot! Mary Rose bogen: tussen 500 N en 840 N terwijl men niet hoger dan 400 N had verwacht

Archer’s Paradox

Center-shot boog

lossen duim en wijsvinger Avcient and Modern methods of arrow-release E. S. Morse Bulletin of the Essex institute Vol 17 1885 145-198

lossen drie vingers

aan achterzijde de pees glijdende contact met grip model van de pijl pijl is een balk aan achterzijde de pees en glijdende contact met grip Archery Anatomy R. Axford

Archery Anatomy R. Axford

Roman Pekalski (Polen) experimenten-model van de pijl Roman Pekalski (Polen) 1987 wiskundig model en foto opnames van boven met schietmachine boogschutters

model data Pekalski’s experimentele data en zijn model

model data Pekalski’s experimentele data en ons model

Moderne bogen Compound boog Holless Allen (octrooi 1969) ontworpen door Holless Allen (octrooi 1969)

Octrooi van H.W. Allen 1969 compound boog

Dynabow (voorloper van Compound boog) uitgevonden door John Graham

(uit Archery World March 1978) Knik-boog ontworpen door Gerald J. Scholten (uit Archery World March 1978)

kwaliteitskenmerken statisch: q = A / (F D ) dynamisch: rendement h = ½ ma v 2/A snelheid n = (q h /ma)½ q, h , n dimensieloos ma pijl massa, D treklengte, F trekkracht A beschikbare energie, K energie pijl

boog met knik is eigenlijk: eerst korte boog en later lange boog rendement is 100% boog met knik is eigenlijk: eerst korte boog en later lange boog

statische kracht (F ) als functie van treklengte b werking recurve statische kracht (F ) als functie van treklengte b neemt eerst sneller toe en vlakt later af, dit geeft grotere q

Hickman boog statische kracht (F ) neemt snel toe en later zelfs af, net als bij Compound boog

Klopsteg regel h = ma / (ma + Kh ) Kh = mb ( (1 – h) / h ) invloed (virtuele) arm-massa mb Klopsteg regel h = ma / (ma + Kh ) of Kh = mb ( (1 – h) / h ) invloed pees-massa ms Hickman regel h = ma / (ma + 1/3 ms ) hoog rendement als: Kh en ms klein t.o.v. ma

afstandschieten Turkish-archer.bmp

kogelbaan dracht = (v 2 sin 2)/g  : hoek met horizon bij dezelfde kinetische energie K : hoge snelheid v als pijl-massa ma klein is K = ½ ma v 2 kogelbaan dracht = (v 2 sin 2)/g  : hoek met horizon g : versnelling van zwaartekracht

kortere pijl geeft lichtere pijl Turken schoten pijl van 10 gram 888 m ! Uit Saracen Archery, J.D. Latham and W.F. Paterson, 1970 page 107

lossen met een ring om de duim Duimtrekken.bmp

duim lossen drie vingers

bij duim-lossen ligt de pijl aan de andere kant van de grip!

Stelling 9 Zoals bij alle natuur- en halfcultuurvolken gebruikelijk is legt ook de Bergpapoea bij het schieten de pijl aan de linkerzijde van de boog, in tegenstelling met hetgeen men bij hoger ontwikkelde volken waarneemt, waar men de pijl steeds rechts aanlegt De Bergpapoea ‘s van Nieuw-Guinea en hun woongebieden C.C.F.M Le Roux, 1948

Arabische geschriften 14-de eeuw Uit Saracen Archery, J.D. Latham and W.F. Paterson,1970 page 140

Uit The Crossbow R. Payne-Gallwey page 262 Leonardo da Vinci 1445-1520

hetzelfde principe als boog Catapult hetzelfde principe als boog Griekse teksten door Philo van Byzantium (200 v.C.) Hero van Alexandria (50 n.C.)

Catapult

energie opslag in torsie-veren

opwinden van torsie-veren

diameter veergaten D bepaalt alle afmetingen

D = 1.1 (100 • M )1/3 diameter D gemeten in dactyls gewicht van kogel M gemeten in minas 1 dactyl = 19.3 mm 1 minas = 436 gram hoe bepaal je derdemachtswortel?

Wiskunde Hippokrates van Chios 440 v.C drie beroemde wiskundige vraagstukken uit de oudheid: Driedeling van de hoek Verdubbeling van de kubus Kwadratuur van de cirkel Geschiedenis van de Wiskunde blz 44 D.J. Struik, 1977

Wiskunde Niet meetkundig oplosbaar door een eindig aantal rechte lijnen en cirkels te construeren behalve dan bij benadering Geschiedenis van de Wiskunde blz 44 D.J. Struik, 1977

AB:AF = (AB+CG)/(AF+BC) = CG:BC als EF = EG dan AF/CG = (AB+CG)/(AF+BC) G B C E F A D

AB:AF • AF:CG • CG:BC = AB:BC AB:AF • AB:AF • AB:AF = AB:BC M 1= 10 => D 1 = 11 D 1 / D 2 = (M 1 / M 2 )1/3 B C E F A D

energie opslag in bronzen veren

Trebuchet latere ontwikkeling

voor documenten zie: http://www.bio.vu.nl/thb/users/kooi/