Relativiteitstheorie (4)

Tot nu toe… Hoe ‘vertaal’ je de snelheidsmetingen van waarnemer S naar die van waarnemer S’? Een snelheid van een langs de x-as bewegend voorwerp, gemeten door S is S’ meet een snelheid NB. v = onderlinge snelheid van S en S’, ux , ux’ = snelheid van het voorwerp.

Transformatie van snelheden Het verschil dx transformeert net zo als de coördinaat x zelf. Dit geldt ook voor het verschil dt [Ga na!]:

Transformatie van snelheden (2) De snelheid langs de x-as transformeert dus als:

Transformatie van snelheden (3) Stel dat het voorwerp ook een snelheid heeft langs de y- en de z-as. Meten S en S’ dan ook een verschillende uy en uz? Er geldt dat dus Maar dus S S’ Dus: Menging met ux’ De limiet v « c geeft weer het klassieke gedrag.

Relativistische Impuls De ‘klassieke’ impuls van een deeltje met massa m en snelheid is In een ‘gesloten systeem’ (systeem waar geen uitwendige krachten op worden uitgeoefend) is de totale impuls van alle deeltjes behouden bij botsingen. In de SRT is de klassieke impuls niet behouden. Zie het voorbeeld op p. 1288 van Tipler & Mosca: - Totale impuls langs de y-as is eerst ongelijk nul voor beide waarnemers: [ In beide stelsels.] - De totale impuls langs de y-as keert om bij de botsing -> deze component van de impuls is niet behouden. Als er één component niet behouden is, dan is de gehele vector ook niet behouden.

Relativistische Impuls (2) Er is dus een nieuwe definitie van de impuls nodig. We eisen a) dat dit wél [bij botsingen] een behouden grootheid is, en b) dat in de limiet De definitie met voldoet aan beide eisen [Ga na dat in het voorbeeld op p. 1288 de totale y-component v.d. impuls nul is voor beide waarnemers!] N.B. in deze definitie gebruik je snelheid u v.h. voorwerp, niet de snelheid v v.d. waarnemer!

Relativistische Impuls (3) Een mogelijke interpretatie van de definitie is dat de massa toeneemt met de snelheid (immers g wordt steeds groter). Dit is in overeenstemming met het experimentele gegeven dat je een voorwerp niet tot c kunt versnellen. Blijkbaar is de rustmassa en de bewegende massa

Relativistische Energie De klassieke kinetische energie van een voorwerp, bereken je als de totale ‘kracht maal weg’ die nodig is om het van een beginsnelheid u = 0 tot een eindsnelheid u = uf te versnellen: We kunnen precies hetzelfde doen met onze nieuwe definitie van de impuls. Het resultaat is: [ Ga dit na!]

Relativistische Energie (2) De eerste term hangt van de snelheid u af, de 2de niet. De term heet de rustenergie van het voorwerp: blijkbaar is er ook sprake van energie t.g.v. het hebben van massa. Deze energie is ook aanwezig als het deeltje niet beweegt! Voor lage snelheden reduceert K tot het klassieke resultaat. Omdat geldt dat

Relativistische Energie (3) De kinetische energie is de totale relativistische energie min de rustenergie De totale relativistische energie definieer je dus als de som van K en E0: Het is gebruikelijk om de rustmassa/c2 van een deeltje uit te drukken als een energie. Bijv: electron proton foton

Relativitische Kinematica De klassieke impuls en energie zijn beiden behouden bij botsingen. [Alhoewel energie bijv. in warmte kan worden omgezet.] Maar de klassieke impuls is niet behouden in relativistische situaties. We hebben daarom nu een nieuwe, relativistische, definitie voor impuls en voor energie. Verschillende waarnemers zullen verschillende waardes meten voor pRel en ERel [waarom?]

Relativitische Kinematica (2) Gebruik deze twee relaties om u te elimineren: Rechts staan twee grootheden nl. de lichtsnelheid c en de rustmassa m. Omdat alle waarnemers het erover eens zijn wat de rustmassa is [ze volgen daarvoor nl. dezelfde procedure.], en c absoluut is, is de gehele rechterkant absoluut, d.w.z. voor alle waarnemers gelijk (ook al zijn ze het niet eens over p2 en dus ook niet over E !)

Relativitische Kinematica (3) Experimenteel blijkt dat pRel en ERel beide behouden zijn bij botsingen. Maar de massa m (die klassiek wél is behouden) is dat niet! Dit heeft vele gevolgen.

Compton verstrooiing Klassiek bestaan er geen deeltjes zonder massa. Maar het foton blijkt een uitzondering te zijn: Dat een foton toch een impuls heeft is aangetoond door Comton (Nobel prijs 1927): Doordat het foton een gedeelte van zijn impulsmoment overdraagt aan het elektron, verliest het ook energie. Omdat is de frequentie van het verstrooide licht lager dan dat van het invallende licht.

Creatie/Annihilatie van deeltjes Fotonen met een hoge energie kunnen elektron-positron paren creëren: De energie van het foton moet minstens gelijk zijn aan de rustmassa van het elektron-positron paar:

Creatie/Annihilatie van deeltjes (2) Maar ook deeltjes met massa kunnen bij botsingen een heel scala aan deeltjes creëren: Door de impuls en energie van de deeltjes te meten valt hun massa te bepalen m.b.v. Zo zijn honderden deeltjes gevonden.