Laplace Transformatie, Polen/Nulpuntenanalyse: + Toepassing op VOR en Saccades

plant Respons van een lineair systeem op complexere inputs: Fourier Gevolg van het superpositiebeginsel: sinus/cosinus-analyse

Probleem: Fouriertransform van een aantal veelgebruikte functies is niet gedefinieerd.Bijv. de stapfunctie: ‘weegfunctie’

Laplace getransformeerde: nieuwe weegfunctie: - Laplace getransformeerde: nieuwe weegfunctie:

De Laplace getransfomreerde van de stapfunctie:

als f(t) en g(t) -> F(s) en G(s) dan (WC opgave: verifieer): a⋅f(t) -> a⋅F(s) f(t-a) -> exp(-a⋅s)⋅F(s) df/dt -> s⋅F(s) ∫f(t)⋅dt -> F(s)/s exp(a⋅t) -> 1/(s-a) U(t) -> 1/s δ(t) -> 1 exp(a⋅t)⋅f(t) -> F(s-a) h(t)=∫f(x)⋅g(t-x)⋅dx -> H(s) = F(s)⋅G(s) (convolutie) ZIE OOK SYLLABUS PAG. 64

We passen de Laplace transformatie nu toe op het simpelste model van de oogspier (‘oculomotor plant’): ∆Rm(t) = k⋅E(t) + r⋅dE/dt pas hier LT op toe: ∆Rm(s) = k⋅E(s) + r⋅s⋅E(s) = (k+r⋅s)⋅E(s) Voor de overdracht (output/input) vinden we dus: E(s)/∆Rm(s) ≡ H(s) = 1/(k+r⋅s) = (1/k)/(1+s⋅(r/k)) Omgekeerd, als F(s) bekend is, kan f(t) hieruit onmiddelijk worden bepaald door terugtransformatie: (n.b.: daartoe wél eerst in de juiste vorm brengen!) Bijv. staprespons plant: Y(s) = H(s)⋅X(s) = H(s)⋅(1/s) dus: (1/k)/(1+s⋅T)×(1/s) = (1/k)/s – (1/k)/(s+1/T) (=in de juiste vorm!) Dan: y(t) = (1/k)⋅(U(t) – exp(-t/T)) k=K! (klaar is Kees)

Berekening Staprespons van de plant:

Het kan NOG sneller! Hierbij kijken we alleen naar de polen en nulpunten van de LT: H(s) = T(s)/N(s) Nulpunten: T(s) = 0 Polen: N(s) = 0 Altijd geldt dat T(s) en N(s) geschreven kunnen worden als een product van eerste-orde en tweede-orde polynomen: T(s) = SUM an⋅sn = s⋅(c+d⋅s)⋅(a+b⋅s+c⋅s2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅ De eerste-orde polynomen leveren nulpunten of polen op de reële sigma-as (dus exponentiële functies in de tijd) De tweede-orde polynomen leveren altijd complex-geconjugeerde paren als nulpunten: s1,2=a ± j⋅ω Hoe pakt dit bijv. uit voor ons simpele oogspiermodel?

Impulsrespons plant: ‘pool’ Aflezen gain- en fasekarakteristieken: Uit de ligging van de pool kunnen we meteen de impulsresponse afleiden, én de gain- en fasekarakteristieken!

In het algemeen geldt het volgende voor meer complexe overdrachtsfuncties: Amplitudekarakteristieken met elkaar vermenigvuldigen Fasekarakteristieken tellen bij elkaar op. Amplitudekarakteristiek pool: 1/ρ(ω), voor nulpunt: ρ(ω) Fasekarakteristiek pool: negatieve hoek θ(ω), voor nulpunt: positieve hoek θ(ω). Dus stel bijv. dat H(s) = (1+a⋅s)/[(1+b⋅s)⋅(1+c⋅s)] dan zijn de nulpunten: s1 = -1/a en de polen: s2=-1/b en s3=-1/c In het frekwentiedomein is de overdrachtskarakteristiek dan: en Het tijdsgedrag van h(t) vind je door inverse LT na breuksplitsen….: op het WC!

Modelanalyse m.b.v. Laplace transformaties: Enkele voorbeelden: - de VOR - ‘velocity storage’ - saccades: plantmodellen en puls-stap aansturing

Overdrachtskarakteristiek: De VOR: X o jω pool nulpunt Overdrachtskarakteristiek:

Staprespons van de VOR? met TVOR ≈ 21 s

Er is iets opmerkelijks aan de hand in de VOR: Rvest met Tcan ≈ 7 s Afleiding neurale activiteit van de vestibulaire zenuw.

De VOR (slow phase) kan opgevat worden als de STAPRESPONS van het oculomotor systeem op veranderende HOOFDSNELHEID. VOR: tijdsconstante output kanaal << slow phase oogbeweging neurale circuits ‘onthouden’ de vestibulaire stimulatie dit fenomeen wordt ‘velocity storage’ genoemd Vraag: Wat zijn de systeemeigenschappen van de verantwoordelijke neurale circuits?

Actitiveit primaire vestibulaire zenuw Oogbewegings- respons De vraag is dus wat de systeemoverdracht van het neurale systeem, B(s), in de hersenstam dient te zijn om het gedrag van de totale VOR te kunnen verklaren. Input: dH/dt = stap = 1/s Response kanalen: Rv(s) = Tc/(1+sTc) Overdracht kanalen: Response/Input C(s) = sTc/(1+sTc) (HP filter!) Overdracht van de VOR: Oogsnelheid/Hoofdsnelheid: V(s) = sTV/(1+sTV)

Overdracht kanalen: C(s) = sTc/(1+sTc) Overdracht VOR: V(s) = sTV/(1+sTV) Overdracht Velocity Storage: V(s)/C(s) = (TV/Tc)(1+sTC)/(1+sTV) VS C(s) V(s) Overdracht VS (Bodeplots sommeren (-)!) Polen-Nulpunt analyse VS

Tweede-orde plant modellen: Met (uit 2e orde Diff.Vergl. Voor Motor neuronen): T1 ≈ r/k en T2 ≈ m/r << T1

Tweede-orde plant modellen: gebaseerd op fysisch model van twee elastische elementen in serie (Werkcollege opgave 8): Het type model heeft natuurlijk gevolgen voor de oogaansturing!)

Saccades: staprespons op een doelverplaatsing op het netvlies Afhankelijk van het gekozen plant model volgt een aanstuur signaal door de motorneuronen met specifieke eigenschappen (Werkcollege opgave 9) Het model van Goldstein komt hiermee het beste overeen! Aansturing van een 1e-orde plant: puls-stap

Opgaven voor het werkcollege: Toon de relaties aan die op dia 6 staan. De meesten zijn triviaal simpel, maar nuttig om zelf te verifiëren. 2) Vind door breuksplitsen het tijdsgedrag van de karakteristiek op dia 11 3) Maak WC opgaven 8 (plant model Goldstein) en 9 (reconstructie motor-neuron activiteit)