Waarom wachten voor verkeerslichten? Marko Boon Docentendag 21 juni 2011

Inhoud Introductie Wachtrijtheorie Eenvoudig model: een opengebroken weg Ingewikkeldere kruispunten Praktijksituatie

Introductie Eerste verkeerslicht: 10 december 1868, Londen Eerste kruispunt met meerdere verkeerslichten: 1914, Cleveland Oranje licht toegevoegd in 1920 Verkeersafhankelijke verkeerslichten (±1940) Leuk: eerste verkeerslicht ontplofte op 2 jan 1869, waarbij de bedienende politie agent gewond raakte. The earliest known traffic signal dates to London in 1868, well before automobiles made an appearance. The signal, actually a revolving lantern that flashed red lights (for stop) and green lights (for caution), was illuminated by gas and operated by hand. The original exploded on Jan. 2, 1869, injuring the policeman-operator.

Introductie Welke prestatiemaat hanteren we? Gewogen gemiddelde wachttijd (hoe weeg je dan?) Kans dat een individuele wachttijd groter is dan … (gemiddelde) Rijlengte  Wachtrijtheorie

Wachtrijtheorie Waarom wachten? Voorbeeld: 1 bediende

Wachtrijtheorie Waarom wachten? Voorbeeld: 1 bediende, 1 wachtrij

Wachtrijtheorie Modelparameters: Gem. Bedieningstijd: Aankomstintensiteit:

Wachtrijtheorie Gem. Bedieningstijd: Aankomstintensiteit: Stabiliteitsconditie: Bezettingsgraad van het systeem: Rho = fractie van de tijd dat het systeem aan het werk is.

Wachtrijtheorie Prestatiematen: Gemiddelde wachttijd Gemiddeld aantal wachtende klanten Formule van Little: Geldt alleen met FCFS!!!! De juistheid van Little's formule is snel in te zien met het volgende geldargument, beschreven in een fraai boek van mijn collega Tijms. Stel dat de caissière een gulden per minuut wachten moet betalen aan iedere wachtende klant; dat kost haar gemiddeld EL gulden per minuut. Maar omdat ze een willekeurige klant gemiddeld EW gulden moet betalen, en er gemiddeld lambda klanten per minuut arriveren, kost het haar gemiddeld ook lambda EW gulden per minuut.

Wachtrijtheorie als l ≤ m als l > m Deterministische tussenaankomsttijden Exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden als l ≤ m als l > m Deterministische aankomsten met E(A) = 1.1 Deterministische aankomsten met E(A) = 0.9 Poisson aankomsten met E(A) = 1.1 Bij Poisson aankomsten: E[W] = 10/2=5, dus E[L] = 20/11 = 1.8

Wachtrijtheorie Exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden Algemeen verdeelde bedieningstijden:

Wat is een residuele bedieningstijd? Wachtrijtheorie Exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden: formule van Pollaczek-Khintchine Wat is een residuele bedieningstijd?

Gem. residuele periode = 10 min De busparadox Deterministische periodes 20 20 20 20 Stel dat om de twintig minuten een bus bij de bushalte hoort aan te komen. U kent de dienstregeling niet, maar gaat op goed geluk naar de bushalte. Hoe lang wacht u gemiddeld? De helft van 20 minuten, dus 10 minuten? Dat is juist als de bussen precies om de twintig minuten bij de halte arriveren, dus zonder enige fluctuatie, zonder enige stochastiek. Anders is het niet juist, en is uw gemiddelde wachttijd altijd groter dan 10 minuten. Stel dat bussen de helft van de keren na 10 minuten komen, en de helft van de keren na 30 minuten. Dan is uw gemiddelde wachttijd niet ½  5 + ½  15 = 10 minuten, maar ¾  15 + ¼  5 = 12½ minuten. U zal immers 3 van de 4 keer in een lang interval van 30 minuten arriveren, en slechts één van de 4 keer in een kort interval van 10 minuten. Dit verklaart waarom u in het gewone busleven gemiddeld langer wacht dan u verwacht: u heeft een relatief grote kans te arriveren in een relatief lang interval, en dan wacht u relatief lang. Zo is het ook bij de kassa: met relatief grote kans arriveert u tijdens een relatief lange bediening. Gem. residuele periode = 10 min

Residuele periode = ¼ x 5 + ¾ x 15 = 12,5 min De busparadox Stochastische periodes 10 30 10 30 Stel dat om de twintig minuten een bus bij de bushalte hoort aan te komen. U kent de dienstregeling niet, maar gaat op goed geluk naar de bushalte. Hoe lang wacht u gemiddeld? De helft van 20 minuten, dus 10 minuten? Dat is juist als de bussen precies om de twintig minuten bij de halte arriveren, dus zonder enige fluctuatie, zonder enige stochastiek. Anders is het niet juist, en is uw gemiddelde wachttijd altijd groter dan 10 minuten. Stel dat bussen de helft van de keren na 10 minuten komen, en de helft van de keren na 30 minuten. Dan is uw gemiddelde wachttijd niet ½  5 + ½  15 = 10 minuten, maar ¾  15 + ¼  5 = 12½ minuten. U zal immers 3 van de 4 keer in een lang interval van 30 minuten arriveren, en slechts één van de 4 keer in een kort interval van 10 minuten. Dit verklaart waarom u in het gewone busleven gemiddeld langer wacht dan u verwacht: u heeft een relatief grote kans te arriveren in een relatief lang interval, en dan wacht u relatief lang. Zo is het ook bij de kassa: met relatief grote kans arriveert u tijdens een relatief lange bediening. Residuele periode = ¼ x 5 + ¾ x 15 = 12,5 min

Verkeerslichten

Een opengebroken weg

Een opengebroken weg – Model 1 Model 1: vaste cyclustijd Stabiliteitsconditie: Eendimensionaal probleem. Cyclustijd c = r + g Merk op dat roodtijden van de twee stromen elkaar zullen overlappen om te wachten totdat het tussenstuk leeg is. c

Een opengebroken weg – Model 1 Benadering met vloeistofmodel l m-l

Een opengebroken weg – Model 1 Benadering met vloeistofmodel Gemiddeld aantal auto’s Uit Little volgt dat de gem. Wachttijd: W=L/lambda Je kunt nu de gem. Wachttijd als functie van groen1 en groen2 minimaliseren.

Een opengebroken weg Model 1: vaste cyclustijd Conclusie: ééndimensionaal probleem Model 2: groen totdat rij leeg is → tweedimensionaal probleem (lastiger)

Kruispunten met vaste afstellingen Wachttijd- en rijlengte-analyse ééndimensionaal probleem Hoe kies je de optimale cyclustijd, en bijbehorende groentijden? 1958: formule van Webster Optimaliseren op basis van deze formule … De eerste term is wat we hadden gevonden bij opengebroken weg, door vloeistof model aan te nemen De tweede term wordt verklaard door fluctuaties in tussenaankomsten. De derde term is een correctie term en is op een verstandige manier experimenteel bepaald, zodat de benadering voor de gemiddelde wachttijd nog iets beter is. De derde term is in het algemeen klein ten opzichte van de andere twee, en daarom hebben we deze term maar weggelaten.

Kruispunten met dynamische afstellingen Moeilijk: Meerdere stromen tegelijk groen Maximale groentijd Aankomsten vaak in groepen Afhankelijke bedieningstijden

Programma practicum vanmiddag Demonstratie simulatieprogramma TrafficJam http://www.win.tue.nl/cow/ Zelf aan de slag: vind optimale instellingen voor de kruising van de Kennedylaan met de binnenring