8C120 Inleiding Meten en Modelleren 8C120 Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny Faculteit Biomedische Technologie Biomedische Beeld Analyse

8C120 De Meetcyclus ObjectSignaalMetingAnalyseInformatie Control en/of Feedback

8C120 De Meetcyclus: cardiofitness Hart Electrische potentiaal ECG Fourier analyse Hartslag Tempo aanpassen

8C120 Fourier analysis - motivation Biologische signalen zijn vaak periodiek: Tijd: ECG, EMG, etc. Plaats: MR-tagged images, textuur  Transducer reproduceert periodieke variaties in het elektrische domein  Het meetsysteem ontvangt periodieke signalen en kan signalen beїnvloeden (ruis, vervorming, brom)  Het vervormde signaal is de output van het meetsysteem en moet gecorrigeerd worden

8C120 Fourier analysis - motivation Voorbeeld: de pH sensor: Meet variaties in pH in bloed of op de huid De electrodes genereren een elektrische potentiaalverschil (sensor) Dit signaal wordt versterkt en ruis wordt verwijderd (processing) Het verwerkte signaal fungeert als output (via A/D converter) of als basis voor verdere verwerking

8C120 Fourier analysis - motivation Voorbeeld van een meetcyclus: pH meting aan de huid Measurand Sensor Processing Conversion Output huid

8C120 Fourier analysis - motivation “Processing unit” heeft eigenschappen die afhankelijk zijn van de snelheid waarmee het ingangsignaal verandert Snelle verandering input: hoge frequenties Langzame verandering input: lage frequenties Transfer function: ratio output/input, frequentie-afhankelijk!

8C120 Fourier analysis - motivation Het is dus van belang om de frequentie van het ingangsignaal te kennen In het algemeen is een signaal geen eenvoudige periodieke functie (zoals sin of cos), maar samengesteld uit verschillende frequentie-componenten Voorbeeld: boventonen van een muziekinstrument Met behulp van Fourier analyse kunnen we een signaal ontleden in frequentie-componenten

8C120 i(t) I()I() o(t) O()O() h(t) H()H()

8C120 Gehoortest

8C120 Fourier analysis - motivation 1. Voorbeeld: input signaal I(t) bevat de volgende frequenties met bijbehorende amplitude en fase: I(t) =5 sin(10  t − ¼  ) + 2 sin(100  t)+ 8 cos(1000  t) + 2 sin(10000  t + ½  ) 2. Signaal I(t) wordt verwerkt door een processing unit met amplitude transfer function H (output/input) fase transfer function P (fase shift output in relatie tot input in rad) f < 10 Hz (  =2  f<20  rad/s) H = 1P = 0 10 < f < 100, H = 0.5P = < f < 1000, H = 0.2P = −½  1000 < f < 10000H = 0P = −½  3. Gevraagd: een beschrijving van output O(t) Sinus

8C120 Fourier analysis - motivation Eerste component is onveranderd I 1 (t) = 5 sin(10  t − ¼  )  O 1 (t) = I 1 (t) Tweede component: amplitude gehalveerd, phase onveranderd I 2 (t) = 2 sin(100  t)  O 2 (t) = sin(100  t) Derde component: amplitude verlaagd factor 5, phase −½  I 3 (t) = 8 cos(1000  t)  O 3 (t) = 1.6 cos(1000  t − ½  ) = 1.6 sin(1000  t) Vierde component verdwijnt I 4 (t) = 2 sin(10000  t + ½  )  O 4 (t) = 0 Resultaat: O(t) = 5 sin(10  t − ¼  ) + sin(100  t) sin(1000  t)

8C120 Fourier analysis - motivation Conclusie: output verschilt van input, afhankelijk van frequentie-componenten Soms gewenst: Versterking, ruisonderdrukking Soms niet gewenst: verzwakking van signaal Het is belangrijk dit gedrag te kennen om het uitgangsignaal te kunnen relateren aan het ingangsignaal

8C120 i(t) I()I() o(t) O()O() h(t) H()H()

8C120 Fourier analysis - overview Vector calculus inproduct, norm, orthogonale vector sets vector als lineaire combinatie van set orthogonale vectors (basis set) Function calculus uitbreiding van deze concepten naar functies gedefinieerd op interval [a,b] Sinussen en cosinussen vormen een orthogonale set (basis set) Fourier series functie als som van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties

8C120 Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte Definitie inproduct (u,v) (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +…+u n v n Definitie norm |u| |u| = (u,u) 1/2 Eigenschap (u,v) = |u| · |v| · cos  u v  Voorbeeld in 2D

8C120 Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte Definitie inproduct (u,v) (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +…+u n v n Definitie norm |u| |u| = (u,u) 1/2 Eigenschap (u,v) = |u| · |v| · cos  u v  Voorbeeld in 2D

8C120 Fourier analysis – vector calculus Eigenschappen inproduct: 1.(u,v) = (v,u) 2.(ku,v) = k (u,v), met k een scalar 3.(u,u) = 0, als u = 0 en (u,u) > 0, als u ≠ 0 4.(u+v,w) = (u,w) + (v,w)

8C120 Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v orthogonaal als (u,v) = 0 In 2-D of 3-D: vectoren u en v staan loodrecht op elkaar: u  v Een set vectoren is orthogonaal als alle vectoren orthogonaal t.o.v. alle andere vectoren in de set In n-D: maximum aantal orthogonale vectoren is n; enige overgebleven vector die orthogonaal is t.o.v. de set is de nul vector 0 Set met n orthogonale vectoren in n-D ruimte is complete

8C120 Fourier analysis – vector calculus Iedere vector in n-D ruimte kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de vectoren in een orthogonale set: u=c 1 v 1 + c 2 v 2 + …… + c n v n Componenten c 1 t/m c n kunnen worden gevonden m.b.v. inproduct: c n = (u,v n ) / |v n | 2 Hieruit volgt:

8C120 Fourier analysis – function calculus Functies f 1 (x) en f 2 (x) zijn goed gedefinieerd op het interval [a,b]. Het maak niet uit of we met tijdfuncties f(t), of plaatsfuncties f(x) werken. Definitie inproduct (f 1,f 2 ): Definitie norm |f n | = (f n,f n ) ½ Functies f 1 en f 2 zijn orthogonaal als (f 1,f 2 ) = 0.

8C120 Fourier analysis – function calculus Eigenschappen inproduct voor functies: 1.(f 1,f 2 ) = (f 2,f 1 ) 2.(k f 1,f 2 ) = k (f 1,f 2 ), met k een scalar 3.(f,f) = 0, als f = 0 en (f,f) > 0, als f ≠ 0 4.(f 1 +f 2,g) = (f 1,g) + (f 2,g)

8C120 Fourier analysis – function calculus Een set van functies {f 0,f 1,f 2,...} is orthogonaal op interval [a,b] als (f m,f n ) = 0, voor m ≠ n Een orthogonale set is compleet als de enig overgebleven orthogonale functie de functie f(x) = 0 is Het aantal functies in een complete orthogonale set is oneindig

8C120 Fourier analysis – function calculus Stel {f 0,f 1,f 2,...} is een complete orthogonale set van functies op het interval [a,b] Functie g(x) op het interval [a,b] kan dan worden geschreven als lineaire combinatie van f 0, f 1, f 2,... g(x) = c 0 f 0 (x) + c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) +...

8C120 Fourier analysis – function calculus g(x) = c 0 f 0 (x) + c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) +... Componenten c 0,c 1,c 2,... kunnen worden gevonden m.b.v. inproduct: Hieruit volgt:

8C120 Fourier analysis – function calculus De beschrijving van een functie g(x) in termen van een complete orthogonale set functies {f 0,f 1,f 2,...} wordt de gegeneraliseerde Fourier serie genoemd: Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [a,b] kan op deze manier worden beschreven.

8C120 Fourier analysis – sines and cosines De set is orthogonaal op het interval [− ,  ]. Met behulp van de generalized Fourier series kan iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [− ,  ] worden beschreven in termen van deze set goniometrische functies

8C120 Fourier analysis – Fourier series Met de set als orthogonale basis set, geldt voor iedere goed gedefinieerde functie g(t) op het interval [[− ,  ]:

8C120 Fourier analysis – Fourier series met Dit is de Fourier reeks (Engels: ‘Fourier series’). Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [− ,  ] kan worden beschreven in termen van sinussen en cosinussen. De termen kunnen (relatief) eenvoudig worden berekend als functie g(x) wiskundig kan worden beschreven.

8C120 sin x sin x+1/3 sin 3x sin x+1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x sin x+1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x n=0 n=1 n=2 n=3