Regelmaat in getallen (1). 1 4 7 10 … 8 16 32 64 …. 18 14 10 6 … 10 -20 40 -80 .... Een speciale : 1 1 2 3 5 8 13 21 .... De rij van Fibonacci

Leonardo van Pisa 1180 - 1250

Rijen en de GR 9.1

Opgave 2 a & b u0=6 u1=3*6-10 =8 u2=3*8-10 =14 GR 6 3*ANS-10 u6=734 Term 12 = u11=177152

De recursieve formule van een getallenrij Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke term uit één of meer voorafgaande termen volgt. Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde. vb. un = un – 1 + 160 met u0 = 25 9.1

opgave 9 / 10 un = 1,06 · un – 1 – 50 met u0 = 1750 Bij 1 januari 2019 hoort u12 Tik in 1750 en 1,06ANS – 50. Je krijgt u12 ≈ 2677,85. Er staat dus € 2677,85 op haar rekening. Je krijgt u14 ≈ 2905,83 en u15 ≈ 3030,18. Bij u15 hoort 1 januari 2022. Dus in het jaar 2022. Dit bedrag is 6% van € 1750, dus € 105,-. 9.1

opgave 15 / 16 a) u0 = 1 u1 = 1 + 1 + 1 = 3 u2 = 3 + 2 + 1 = 6 u3 = 6 + 3 + 1 = 10 u4 = 10 + 4 + 1 = 15 u5 = 15 + 5 + 1 = 21 Totaal = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 10e laag is u9 = 55 15e laag is u14 = 120 d) v9 = 220, dus uit 220 sinaasappels. Voer in y1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3). De tabel geeft : bij x = 14 hoort y = 680. De stapel bestaat uit 15 lagen. 9.1

opgave 17 / 18 un = 2n + 7 vn = n2 + 3 wn = 2n Sigma = de som van een aantal opeenvolgende termen van een getallenrij. un = 2n + 7 vn = n2 + 3 wn = 2n a) 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 72 b) 3 + 4 + 7 + 12 + 19 = 45 c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 9.1

Rekenkundige rijen Een rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is de directe formule un = u0 + vn de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0. 9.2

Som van de rekenkundige rij Reken voorbeeld. De eerste 7 termen van een rekenkundige rij zijn: 5 9 13 17 21 25 29 119 29 25 21 17 13 9 5 34 34 34 34 34 34 34 7 x 34 = 238 238 x ½ = 119 Voor de som van de rekenkundige rij un geldt som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term) 9.2

opgave 22 / 25 un = un – 1 – 4 met u0 = 251 rr met u0 = 251 en v = -4 dus un = 251 – 4n b) u18 = 251 – 4 · 18 = 179 c) 21e term is u20 = 251 – 4 · 20 = 171 d) Los op 251 – 4n = 0 -4n = -251 n = 62,75 Dus u62 > 0 en u63 < 0. Vanaf de 64e term is un negatief. 9.2

opgave 26 / 32 rr met u0 = 100 en v = -3, dus un = 100 – 3n. Los op 100 – 3n = 0 -3n = -100 n = 33⅓ Dus u33 = 1 > 0 en u34 = -2 < 0. De som is ½ · (33 + 1)(100 + 1) = 1717 9.2

opgave 41 WisC a rr met u0 = 5 en v = 0,2 dus un = 5 + 0,2n b Los op 5 + 0,2n = 8,6 0,2n = 3,6 n = 18 In de 19e week legt hij 8,6 km af. c som = ½ (n + 1)(5 + 5 + 0,2n) = ½ (n + 1)(0,2n + 10) Voer in y1 = ½(x + 1)(0,2x + 10) en maak een tabel. Je krijgt y1(30) = 248 en y2(31) = 259,2. Dus in week 32 is de totale afstand meer dan 250 km.

opgave 30 Wis A rr met u0 = 4,9 en v = 9,8, dus u0 = 4,9 + 9,8n De 6e term is u5 = 4,9 + 9,8 · 5 = 53,9. De afstand is ½ · 6 · (4,9 + 53,9) = 176,4 m. b) = ½ (n + 1)(4,9 + 4,9 + 9,8n) = ½ (n + 1)(9,8 + 9,8n) = ½ (9,8n + 9,8n2 + 9,8 + 9,8n) = ½ (9,8n2 + 19,6n + 9,8) = 4,9n2 + 9,8n + 4,9 Los op 4,9n2 + 9,8n + 4,9 = 1960. Voer in y1 = 4,9x2 + 9,8x + 4,9 en y2 = 1960. De optie intersect geeft x = 19. Dus na 20 seconden valt het voorwerp op de grond. 9.2

Regelmaat in getallen (2). 1 2 4 8 … 512 256 128 64 …. 54 18 6 2 … 10 -20 40 -80 .... Verschillende rijen

Meetkundige rijen Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is de directe formule un = u0 · rn de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0. 9.3

Som van de meetkundige rijen Reken voorbeeld. De eerste 7 termen van een meetkundige rij zijn: r x som 12 36 108 324 972 2916 8748 som 4 12 36 108 324 972 2916 4372 (r-1) x som -4 8748 Som = (u0 x r (n+1) – u0 ) / (r-1) Voor de som van een meetkundige rij un geldt som meetkundige rij = eerste term(1 – factoraantal termen) 1 - factor 9.3

opgave 42 /49 De omzet per jaar wordt gegeven door un = 11,3 · 1,074n met n = 0 in 1995 Bij 2007 hoort n = 12. Totale omzet = Totale omzet ≈ 233,6 miljard dollar 9.3

opgave 43 / 51 a) un = 5,2 · 0,8n 8e week u7 = 5,2 · 0,87 u7 ≈ 1,1 De toename in de 8e week is 11 mm. 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,87 = ≈ 21,6 De plant is 216 mm gegroeid. c) 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,89 ≈ 23,2 De hoogte na 10 weken is 18 + 23,2 = 41,2 cm. 9.3

opgave 53 Wis C 41 Wis A a un is een mr met u0 en r = 1,1 dus un = 20 · 1,1n = -200(1 – 1,1n · 1,11) = -200 + 200 · 1,1 · 1,1n = 220 · 1,1n – 200 b Voer in y1 = 20 · 1,1x en maak een tabel. Je krijgt y1(7) ≈ 39,0 en y1(8) ≈ 42,9 dus bij de 9e duurloop legt hij voor het eerst meer dan 42 km af. ≈ 272 Hij heeft dan in totaal ongeveer 272 km in zijn duurlopen afgelegd.