Gelijkvormige driehoeken Bij gelijkvormige figuren geldt : 1 De overeenkomstige hoeken zijn gelijk. 2 De zijden van de figuren passen in een verhoudingstabel . * □ ad 1) A = D , B = E , C = F * □ ad 2) 2 AB BC 3 1,8 AC x 1,5 DE 3 EF 4,5 2,7 DF 2 driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee paar gelijke hoeken hebben dus gelijkvormig ∆ABC ∾ ∆DEF ∾ betekent gelijkvormig 8.1

Hoe herken je gelijke hoeken ? Bij snijdende lijnen zijn overstaande hoeken gelijk. Bij evenwijdige lijnen horen gelijke Z-hoeken. Bij evenwijdige lijnen horen gelijke F-hoeken. * □ □ □ □ * □ □ 8.1

Snavel- en zandloperfiguren snavelfiguur zandloperfiguur ∆ABC ∾ ∆DBE ∆KLM ∾ ∆ONM A = D B = B C = E K = O L = N M = M C K L E B M D A N O AB BC AC KL LM KM DB BE DE ON NM OM 8.1

Congruente driehoeken Als 2 driehoeken gelijkvormig EN even groot zijn dan zijn de driehoeken congruent. 8.1

De meeste opgaven zijn makkelijk te tekenen in programma’s als Cabri en Geogebra. Geogebra is gratis te downloaden. Werkt onder Windows, Linux en Mac. Heeft een gunstige learn to use en use to learn verhouding. Is Nederlandtalig ondersteund. Wordt in de methode en door de docenten gebruikt.

Opgave overzicht 1 Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 Opgave 7

∙ A N B ◊ ◊ M opgave 11 Toon aan dat AN = BN Teken MA en MB MA = MB (straal cirkel) MN = MN ANM = BNM = 90° A N ∆ANM ≌ ∆BNM (ZZR) dus AN = BN B ◊ ◊ ∙ M

Definities Een definitie is een afspraak. Definitie van gelijkbenige driehoek : Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met 2 gelijke zijden. Definitie van gestrekte hoek : Een gestrekte hoek is een hoek van 180°. Definitie van parallellogram : Een parallellogram is een vierhoek waarvan beide paren overstaande zijden evenwijdig zijn. Definitie van ruit : Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. 8.2

Stellingen Een stelling is een eigenschap of bewering die te bewijzen is. Stelling gelijkbenige driehoek : Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende hoeken ook gelijk. Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden ook gelijk. Stelling van overstaande hoeken : De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk. Stelling van hoekensom driehoek : De som van de hoeken van een driehoek is 180°. 8.2

Werkschema : het bewijzen van een stelling 1 Formuleer wat gegeven is voor een concrete situatie. 2 Noteer wat bewezen moet worden voor de gekozen situatie. 3 Geef het bewijs. Vermeld hierbij de definities en stellingen die je gebruikt. 8.2

= = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Definitie van middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. ∙ = = ∙ B Definitie van bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ A 8.2

opgave 28 a BAS = ½A = 30° cos 30° = AS = b cos 30° = cos 30° ≠ dus ASC ≠ 90°

= = Definitie van hoogtelijn: Definitie van zwaartelijn: C D A B C M A Een hoogtelijn in een driehoek is de loodlijn vanuit een hoekpunt op de overstaande zijde. A B Definitie van zwaartelijn: C = Een zwaartelijn in een driehoek is de lijn die gaat door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. M = A B 8.2

F opgave 31 Teken EF loodrecht op AB In ∆BCD is BD = CD = 6 ∆BCD is een vergroting van ∆BEF met factor 2 dus EF = ½CD = 3 en BF = ½BD = 3 DF = BD – BF = 6 – 3 = 3 In ∆ADC is tan 60° = AF = AD + DF tan EAB = tan EAF = 3 F 3 6 dus EAB ≈ 25°

Middelloodlijnen in een driehoek In een driehoek gaan de 3 middelloodlijnen door één punt. Dat punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek. C = v M = v A | | B 8.3

Zwaartelijnen in een driehoek De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt, het zwaartepunt. En verdelen elkaar in stukken die zich verhouden als 2 : 1. C = v E D (1) Z = v (2) A | | B F 8.3

Hoogtelijnen in een driehoek De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt. C D E A B F 8.3

Bissectrices in een driehoek In een driehoek gaan de drie bissectrices door één punt. Dat punt is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek. C x x M ∙ ° ∙ ° A B 8.3

∙ Koordenvierhoeken D C M B A Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op één cirkel liggen. Koordenvierhoekstelling : Als ABCD een koordenvierhoek is, dan is de som van elk paar overstaande hoeken 180°. Omgekeerde koordenvierhoekstelling : Als in een vierhoek de som van een paar overstaande hoeken 180° is, dan is de vierhoek een koordenvierhoek. D C M ∙ B A 8.3

= v = v C M A | | B opgave 50 Gegeven : Driehoek ABC en het snijpunt M van de middelloodlijnen van de zijden. Te bewijzen : M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC, ofwel AM = BM = CM. Bewijs : M ligt op de middelloodlijn van AB dus AM = BM M ligt op de middelloodlijn van BC dus BM = CM AM = BM = CM Dus M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. C = v M = v A | | B 8.4

« « « ‹‹‹ ‹‹‹ ‹‹‹ v v v Q C P D E A B F R opgave 54 a Teken ∆ABC Teken parallellogram ABPC, ABCQ en ARBC b CF staat loodrecht op AB PQ // AB (parallellogram)  CF staat loodrecht op PQ CQ = AB CP = AB  CF is de middelloodlijn van PQ Op dezelfde manier vind je dat BE de middelloodlijn is van PR en dat AD de middelloodlijn is van QR. De hoogtelijnen van ∆ABC zijn dus de middelloodlijnen van ∆PQR. De middelloodlijnen van ∆PQR gaan door één punt dus de hoogtelijnen van ∆ABC gaan door één punt. Q v C v P D « «  ‹‹‹ E ‹‹‹   CQ = CP v A B F « ‹‹‹ R

Opgave 55b De stelling van Thales C Gegeven : Driehoek ABC en M het middelpunt van de cirkel en midden van AB. Te bewijzen : Hoek ACB = 90 graden. Bewijs : AM = BM BM = CM want AM=BM=CM= r AM = CM Dus Hoek MAC=MCA. En hoek MBC=MCB Hoek A + hoek B + Hoek C 1,2 =180 Hoek C1+ hoek C2 + Hoek C 1,2 = 2 hoek C1,2 2 hoek C1,2=180 Hoek ACB = 90 graden 1 2 A M B Quad est demonstrandum

Quad est demonstrandum Koordenvierhoeken 180- (hoek A1 +hoek D1) = hoek M1 180- (hoek C1 +hoek D2) = hoek M2 180- (hoek B1 +hoek C2) = hoek M3 180- (hoek A2 +hoek B2) = hoek M4 D 2 1 C 1 2 2 ∙ M 1 3 180- 2 x hoek A1 = hoek M1 180- 2 x hoek C1 = hoek M2 180- 2 x hoek C2 = hoek M3 180- 2 x hoek A2 = hoek M4 4 1 1 2 2 B A 720- 2x hoek A + 2 x hoek C = 360 Quad est demonstrandum 2x hoek A + 2 x hoek C = 360 hoek A + hoek C = 180 8.3

Quad est demonstrandum Opgave 57b C D 2 2 1 1 1 1 B ∙ 2 2 A hoek A1,2 =hoek D1 hoek C2 = hoek D2 hoek C1 =hoek B1,2 hoek B2 =hoek A2 M + hoek A1,2 + hoek C2 + hoek C1 - hoek A2 = hoek D1 + hoek D2 + hoek B1,2 - hoek B2 hoek A1 + hoek C = hoek B1 + hoek D hoek A1 + hoek C + hoek B1 + hoek D = 360 Quad est demonstrandum hoek A1 + hoek C = 180 8.3

Quad est demonstrandum opgave 59 Gegeven : Twee cirkels met snijpunten A en B, de lijn k door A snijdt de cirkels ook nog in C en D en de lijn l door B snijdt de cirkels ook nog in E en F. Te bewijzen : CF // DE Bewijs : Teken CF, AB en DE. C1 + B2 = 180° (koordenvierhoekstelling) B1 + B2 = 180° (gestrekte hoek) B1 + D2 = 180° (koordenvierhoekstelling) D1 + D2 = 180° (gestrekte hoek) dus CF // DE (F-hoeken) F B 2 E 1 x l 1 x 2 1 x k C A D C1 = B1 C1 = D1 D1 = B1 Quad est demonstrandum

Opgave overzicht met hints of uitwerkingen. Opgave DT6 Opgave DT 7a Opgave DT 7b Opgave DT 8 Opgave DT 14 Opgave DT 15 Opgave GO 41 Opgave GO 42 Opgave GO 43 Opgave GO 45 Opgave GO 47 Opgave GO 48 Opgave GO 49 Extra1 Extra2 Extra3 Extra4 Extra5 Extra6 Brandpunt