Lineaire functies Lineaire functie y is een lineaire functie van x betekent y = ax + b met de grafiek is een lijn door het punt (0, b) met richtingscoëfficiënt (helling) a richtingscoëfficiënt a betekent 1 naar rechts en a omhoog. 14.1

opgave 4 a n = aT + b met n = 1,6T + b T = 24 en n = 32 Dus n = 1,6T – 6,4. n = 1,6T – 6,4 geeft 1,6T = n + 6,4 T = 0,625n + 4 n = geeft T = 0,625 · 22 + 4 T = 17,75 Dus de temperatuur is bijna 18 ºC. 1,6 · 24 + b = 32 38,4 + b = 32 b = –6,4 b c

Vergelijkingen van de vorm ax + by = c De algemene vorm van een lineaire vergelijking met de variabelen x en y is ax + by = c. De bijbehorende grafiek is een rechte lijn. Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt bv. x = 5 Van een horizontale lijn is de richtingscoëfficiënt 0 bv. y = –2 14.1

• • • • • • y 3 p opgave 7 a l n 2 m 1 n -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -1 m 2 y –6 opgave 7 a l n 2 x 1 y m • • 1 x 1 y n • • • -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -1 m -2 q • -3 b rcl = 3 rcm = –1 rcn = 1 rcp = 0 rcq = bestaat niet -4 l -5

Het oplossen van een stelsel vergelijkingen Kies één van de vergelijkingen om een variabele vrij te maken. Substitueer wat je gekregen hebt in de andere vergelijking. Bereken de andere variabele door de vergelijking bij 1. te gebruiken. 14.1

opgave 14 x + 4y = 38, dus x = –4y + 38. x = –4y + 38 en 3x – 2y = –12 geeft 3(–4y + 38) – 2y = –12 –12y + 114 – 2y = –12 –14y = –126 y = 9 y = 9 en x = –4y + 38 geeft x = 2. Dus x = 2 en y = 9.

opgave 16 Stel ze beleggen x euro in fonds A en y euro in fonds B. Los op x + y = 150 000, dus x = –y + 150 000. x = –y + 150 000 en 0,06x + 0,08y = 11 000 geeft 0,06(–y + 150 000) + 0,08y = 11 000 –0,06y + 9000 + 0,08y = 11 000 0,02y = 2000 y = 100 000 y = 100 000 en x = –y + 150 000 geeft x = 50 000. In fonds A wordt 50 000 euro ondergebracht. x + y = 150 000 0,06x + 0,08y = 11 000

opgave 21 a l = 50 geeft BMR = 66 + 13,7g + 5h – 6,8 · 50 BMR = 66 + 13,7g + 5h – 340 BMR = 13,7g + 5h – 274 l = 28, g = 68 en BMR = 1700 geeft 66 + 13,7 · 68 + 5h – 6,8 · 28 = 1700 807,2 + 5h = 1700 5h = 892,8 Zijn lengte is 179 cm. BMR = 66 + 13,7g + 5h – 6,8l g = h – 100 l = 40 b c BMR = 66 + 13,7(h – 100) + 5h – 6,8 · 40 BMR = 66 + 13,7h – 1370 + 5h – 272 BMR = 8,7h – 1576

Kwadratische formules De algemene vorm van een kwadratische formule is y = ax2 + bx + c, waarbij a niet nul is. Voor a > 0 is de grafiek een dalparabool, voor a < 0 is de grafiek een bergparabool. 14.2

Uit de schets volgt dat R maximaal is voor q = 6000. opgave 25 a –0,002q2 + 24q = 0 q(–0,002q + 24) = 0 q = 0 ⋁ –0,02q + 24 = 0 q = 0 ⋁ –0,002q = –24 q = 0 ⋁ geeft Uit de schets volgt dat R maximaal is voor q = 6000. De maximale opbrengst per maand is Rmax = –0,002 · 60002 + 24 · 6000 Rmax = 72 000 euro. = 12 000 R b q O 6000

opgave 25 c –0,002q2 + 24q = 64 000 –0,002q2 + 24q – 64 000 = 0 q2 – 12 000q + 32 000 000 = 0 (q – 4000)(q – 8000) = 0 q = 4000 ⋁ q = 8000 Aflezen: bij aantallen tussen 4000 en 8000 is de opbrengst meer dan 64 000 euro. d

Kwadratische vergelijkingen Kwadratische vergelijkingen die te herleiden zijn tot de vorm AB = 0. maak het rechterlid 0 ontbind het linkerlid in factoren pas toe AB = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0 abc-formule Vergelijkingen van de vorm A2 = B2 Uit A2 = B2 volgt A = B ⋁ A = –B Vergelijkingen van de vorm AB = AC Uit AB = AC volgt A = 0 ⋁ B = C 14.2

opgave 37 a T = 2,50; A = 40 000 en A = aT 2 + bT + 60 000 geeft 6,25a + 2,50b + 60 000 = 40 000 ofwel 6,25a + 2,50b = –20 000. T = 5,00; A = 25 000 en A = aT 2 + bT + 60 000 geeft 25a + 5b + 60 000 = 25 000 ofwel 25a + 5b = –35 000. 6,25a + 2,50b = –20 000, dus 2,50b = –6,25a – 20 000 ofwel b = –2,50a – 8000. b = –2,50a – 8000 en 25a + 5b = –35 000 geeft 25a + 5(–2,50a – 8000) = –35 000 25a – 12,5a – 40 000 = –35 000 12,5a = 5000 a = 400 a = 400 en b = –2,50a – 8000 geeft b = –9000. Dus a = 400 en b = –9000.

opgave 37 b A = 400T 2 – 9000T + 60 000 R = T · A R = T(400T 2 – 9000T + 60 000) R = 400T 3 – 9000T 2 + 60 000T = 1200T 2 – 18 000T + 60 000 geeft 1200T 2 – 18 000T + 60 000 = 0 T 2 – 15T + 50 = 0 (T – 5)(T – 10) = 0 T = 5 ⋁ T = 10 Uit de schets volgt dat R maximaal is voor T = 5. De dagopbrengst is dus maximaal bij een toltarief van € 5,00. c

Gebroken vergelijkingen oplossen en breuken herleiden Rekenen met breuken geeft A = BC geeft A = 0 geeft AD = BC 14.3

opgave 43 a

opgave 44 a

opgave 48 a

opgave 50 a Dus en

opgave 54 a Dus en b = 16. b

Lineaire en exponentiële groei Lineaire groei N = at + b Om a te berekenen gebruik je het verschil van de twee gegeven N-waarden. Exponentiële groei N = b · gt Om g te berekenen gebruik je het quotiënt van de twee gegeven N-waarden. Is de groeifactor per tijdseenheid g, dan is de groeifactor per n tijdseenheden gn. 14.4

opgave 57 a N1 = at + b met N1 = –90t + b t = 6 en N1 = 2180 Dus N1 = –90t + 2720. N2 = b · gt met g4 tijdseenheden = dus gtijdseenheid = N2 = b · 0,956t t = 6 en N2 = 2180 Dus N2 = 2858 · 0,956t. –90 · 6 + b = 2180 b = 2720 b · 0,9566 = 2180

opgave 57 b N2 = 2 · N1 2858 · 0,956t = 2(–90t + 2720) Voer in y1 = 2858 · 0,956x en y2 = 2(–90x + 2720). Intersect geeft x ≈ 25,1. Dus voor t = 25,1

Rekenregels voor machten 14.4

opgave 61 a

opgave 62 a

Variabelen vrijmaken bij machtsformules Uit xn = a volgt Variabelen vrijmaken bij logaritmische formules Uit glog(x) = y volgt x = gy. glog(gy) = y en Variabelen vrijmaken bij exponentiële formules Rekenregels bij logaritmen x ≥ 0 en a ≥ 0 14.4

opgave 65 a geeft

opgave 66 a geeft

opgave 70 a g = 185 geeft S = 290 log(185 + 100) – 550 S ≈ 161,9 De schouderhoogte is 162 cm. S = 210 geeft 290 log(g + 100) – 550 = 210 290 log(g + 100) = 760 De spanwijdte is 318 cm. b

opgave 70 c S = 290 log(g + 100) – 550 geeft 290 log(g + 100) – 550 = S 290 log(g + 100) = S + 550 g = 78,8 · 1,008S – 100

opgave 76 a