havo A Samenvatting Hoofdstuk 10

Lineaire groei en exponentiële groei 10.1

Werkschema: Herkennen van exponentiële groei bij een tabel. 1 Bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiënt aantal aan het eind van het interval aantal aan het begin van het interval 2 Verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei. 10.1

Een krant zag in een reeks van jaren het aantal jaarabonnementen dalen. Jaartal 2000 2001 2002 2003 2004 2005 aantal abonnementen (×1000) 970 941 913 885 859 833 Stel op grond van deze tabel een zo goed mogelijk passende formule op die het verloop van het aantal duizenden abonnementen A als functie van de tijd t in jaren beschrijft. Neem t = 0 voor 2000. Als het aantal jaarabonnementen onder de 500.000 zakt raakt de krant in problemen. In welk jaar is dat het geval als dit verloop niet wijzigt? De jaartallen nemen gelijkmatig toe. Deling van opeenvolgende aantallen abonnementen levert steeds (ongeveer) 0,97 op: 941/ 970 ≈ 913/ 941 ≈ 885/ 913 ≈ 859/ 885 ≈ 833/ 859 ≈ 0,97 . De daling is een vorm van exponentiële afname met groeifactor g ≈ 0,97 < 1. Het aantal abonnementen neemt jaarlijks met 3 procent af. Een passende formule is daarom: A = 970 ·0,97t. Maak vervolgens een tabel van deze functie met de rekenmachine. Ga na dat op t = 22 de waarde van A minder dan 500 is. Op deze manier raakt de krant in 2022 in de problemen.

opgave 7 jaar 2002 2003 2004 2005 2006 omzet O 960 1265 1670 2200 2900 a 1265/960 ≈ 1,3177 1670/1265 ≈ 1,3202 2200/1670 ≈ 1,3174 2900/2200 ≈ 1,3182 De quotiënten verschillen weinig, dus bij benadering exponentiële groei. b gjaar ≈ 1,318 dus O = 960 · 1,318t c 2015  t = 13 t = 13  O = 960 · 1,31813 ≈ De omzet is 34767 miljoen euro. Dat is per Nederlander 34767/16,8 ≈ 2069 euro.

Bij de grafiek van N = b · gt onderscheiden we 2 situaties. groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis g > 1 0 < g < 1 y y toename afname 1 1 x x O O 10.1

stel een formule op voor het saldo S op deze rekening Op 1 januari 2000 stond een bedrag van € 3500,00 op een spaarrekening. De bank gaf op deze rekening een rente van 4% per jaar. Neem aan dat dit alles vanaf 1-1-2000 niet verandert en stel een formule op voor het saldo S op deze rekening afhankelijk van de tijd t in jaren vanaf 1-1-2000. Maak een tabel die laat zien hoe het saldo zich ontwikkelde. Bij een procentuele toename van 4% per jaar hoort een groeifactor van 1,04. Op t = 0 is het saldo 3500 euro. Op t = 1 is het saldo 3500 · 1,04 = 3640 euro. Op t = 2 is het saldo 3500 · 1,04 · 1,04 = 3500 · 1,042 = 3785,60 euro. Enzovoorts... Een passende formule is daarom S = 3500 · 1,04t. Als je deze formule invoert in de rekenmachine heb je snel een tabel.                                                      

opgave 12 N a NT = 0,15t + 18 b NP = 9,6 · 1,04t c maart 2007  t = 14 t = 14  NT = 0,15 · 14 + 18 = 20,1  NP = 9,6 · 1,0414 ≈ 16,6 Het scheelt 20,1 – 16,6 = 3,5 miljoen. d Voer in y1 = 9,6 · 1,04x t = 16  NP ≈ 17,981 t = 17  NP ≈ 18,7 Dus meer dan 18 miljoen bij t = 17, juni 2007. e Voer in y2 = 0,15x + 18 optie intersect x ≈ 19,95 Dus NP > NT vanaf t = 20, september 2007. ∙ 25 ∙ ∙ 20 ∙ ∙ 15 ∙ ∙ 10 ∙ 5 t 5 10 15 20 25 19,95 10.1

Groeifactor en groeipercentage Neemt een bedrag met 250 euro per jaar met 4,5% toe, dan is de groeifactor 1,045. 100% + 4,5% = 104,5%  x 1,045 formule : B = 250 x 1,045t Dus bij een groeifactor van 0,956, is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4%. Bij een verandering van p% hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100. Bij een groeifactor g hoort een procentuele verandering van p = ( g – 1 ) x 100%. 10.2

Neem de tabel over en vul in: procentuele toename per jaar  13  –6 0,3 groeifactor per jaar 1,15 0,98 3,95 0,01  15 –2 295 –99 1,13 0,94 1,003

Groeifactoren omzetten naar andere tijdseenheid Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn. Bij een groeifactor van 1,5 per uur, hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag, en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier. 1,11  111%  toename per kwartier is 11% Het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren. 10.2

opgave 20 Een hoeveelheid neemt per kwartier met 12% toe. a g¼uur = 1,12 guur = 1,124 ≈ 1,574 De toename per uur is 157,4 – 100 = 57,4%. b g15 minuten = 1,12 g5 minuten = 1,12⅓ ≈ 1,038 De toename per 5 minuten is 103,8 – 100 = 3,8%. c guur = 1,124 g5 uur = (1,124)5 = 1,1220 ≈ 9,65 De toename per 5 uur is 965 – 100 = 865%.

opgave 25 In de periode 1955-1965 nam het dramatisch af met 95%. a g10 jaar = 0,05 gjaar = 0,05(1/10) ≈ 0,741 De afname per jaar is 100 – 74,1 = 25,9%. b g20 jaar = 12 gjaar = 12(1/20) ≈ 1,132 De toename per jaar is 13,2%. c In 1965 waren er 14000/12 ≈ 1170 broedparen in 1955 waren er 1170/0,05 ≈ 23400 broedparen

Verdubbelings- en halveringstijd De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt. Bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd t door de vergelijking gt = 2 op te lossen. De halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt. Bij groeifactor g bereken je de halveringstijd t door de vergelijking gt = ½ op te lossen. 10.2

voorbeeld a g10 dagen = 2 gdag = 2(1/10) ≈ 1,072 Het groeipercentage per dag is 7,2%. b g25 jaar = 2 gjaar = 2(1/25) ≈ 1,028 Het groeipercentage per jaar is 2,8%. c g28 jaar = 0,5 gjaar = 0,5(1/28) ≈ 0,976 De hoeveelheid neemt per jaar met 2,4% af. 10.2

1986 – 2006  g20 jaar = = ≈ 1,35  gjaar = 1,35 ≈ 1,0153  1,53% opgave 33 6 0 – 1500  g1500 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0005  0,05% 1500 – 1800  g300 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0023  0,23% 1800 – 1950  g150 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0046  0,46% 1950 – 1986  g36 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0194  1,94% 1986 – 2006  g20 jaar = = ≈ 1,35  gjaar = 1,35 ≈ 1,0153  1,53%

Lineaire en exponentiële groei 10.3

voorbeeld y Gegeven zijn de punten A(1,4) en B(5,1). Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B. · A 4 4 yB – yA = 1 - 4 xB – xA = 5 - 1 -3 rechts ∆x 4 omhoog ∆y -3 · a = ∆y : ∆x a = -¾ y = ax + b y = -¾x + b door A(1,4) 4 = -¾ · 1 + b 4 = -¾ + b 4¾ = b  b = 4¾ m : y = -¾x + 4¾ B 1 1 5 x Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule, de manier blijft hetzelfde. 10.3

opgave 39 t 4 10 N 1000 2500 g6 dagen = gdag = N = b · gt g ≈ 1,165 + 6 t 4 10 N 1000 2500 x 2,5 g6 dagen = gdag = N = b · gt g ≈ 1,165 voor t = 4  N = 1000 Dus N = 543 · 1,165t. 1000 = b · 1,1654 b ≈ 543 1000 = b · 1,1654 b ≈ 543 N = b · 1,165t

Algebraïsch oplossen Werkschema : lineaire vergelijkingen algebraïsch oplossen. 1 Staan er haakjes? Werk ze weg. 2 Breng alle termen met x naar het linkerlid, de rest naar het rechterlid. 3 Herleid beide leden en deel door het getal dat voor de x staat. 4a + 5 = 5a - 2 4a – 5a = -2 - 5 -a = -7 a = -7/-1 = 7 5a naar links brengen en 5 naar rechts herleid linker- en rechterlid deel door het getal dat voor a staat als 5a naar links gaat krijg je -5a 10.3

Soorten groei Exponentiële groei wordt op den duur afgeremd, zodat verzadiging optreedt. Bij logistische groei nadert de grafiek tot de asymptoot van het verzadigingsniveau. Formules bij groeiprocessen 10.3

h t opgave 47 a b t = 3 geeft = 52 Dus 52 cm hoog. t = 11 geeft = 256 Na 11 weken is de zonnebloem 256 cm hoog. Voer in y1 = Voer in y2 = 250. Optie intersect geeft x ≈ 9,64. Dus vanaf t = 9,7. af af toe h h = 260 3 11 x t 9,64

N opgave 49 N = 1200 N = 1200(1 – 0,7t ) N = 1200 Er zitten 1200 leerlingen op school. a Voer in y1 = 1200(1 – 0,7x ) b Tabel De quotiënten zijn niet gelijk, dus er is geen exponentiële groei. c Voer in y2 = 950 Optie intersect geeft x ≈ 4,398. 0,398 · 60 ≈ 24 Dus om 13.00 uur + 24 minuten = 13.24 uur. 950 t 1 2 3 4 N 360 612 788 912 t 4,398 360/0 = k.n. , 612/360 = 1,7, 788/612 ≈ 1,3, 912/788 ≈ 1,2

A L O l l 72,6 opgave 59 A = 0,007G 0,425L 0,725 a G = 78 en L = 183 A = 0,007 · 780,425 · 1830,725 ≈ 1,95 m2 b G = 80 A = 0,007 · 800,425 · L 0,725 ≈ 0,045L 0,725 Voer in y1 = 0,045x0,725. c A = 1,65 en L = 152 1,65 = 0,007G 0,425 · 1520,725 0,267G 0,425 = 1,65 Voer in y1 = 0,267x0,425 en y2 = 1,65 Optie intersect geeft x ≈ 72,6. Zijn gewicht is ongeveer 73 kg. d 1 m2 = 10 000 cm2 A * = 10 000 cm2 · 0,007 · G 0,425 · L 0,725 A * = 70G 0,425L 0,725. L O l l 150 200 72,6

opgave 64 A = 6(50 – v)(w – 2) + 430 a w = 3 en v = 40 A = 6(50 – 40)(3 – 2) + 430 A = 6 · 10 · 1 + 430 = 490 Er passeren 490 auto’s per uur. b v = 40 A = 6(50 – 40)(w – 2) + 430 A = 6 · 10 · (w – 2) + 430 A = 60(w – 2) + 430 = 60w – 120 + 430 A = 60w + 310 c w = 3,5 A = 6(50 – v)(3,5 – 2) + 430 A = 6(50 – v) · 1,5 + 430 = 9(50 – v) + 430 A = 450 – 9v + 430 = 880 – 9v d A = 6(50 – v)(w – 2) + 430 v = 10w A = 6(50 – 10w)(w – 2) + 430

Maximaal haalbare snelheid Zet op de getallenlijn.

Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4. 10.5

107 F  2 400 000 F  2400 opgave 69 106 E  150 000 E  150 D  55000 D  55 105 C  23000 C  23 B  7,5 B  7500 104 A  1300 A  1,3 103

Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · gt. t = 1 en N = 30 opgave 72a Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · gt. t = 1 en N = 30 t = 7 en N = 400 N = b · 1,540t Dus N = 19 · 1,540t. 400 g6 dagen = gdag = ≈ 1,540 30 b · 1,5401 = 30 b =

opgave 77 a Teken b Vanaf 1995 is er een rechte lijn. W = b · gt c t = 5 en W = 2,01 t = 16 en W = 9,05 W = b · 1,147t t = 5 en W = 2,01 Dus W = 1,01 · 1,147t. g11 jaar = gjaar = b · 1,1475 = 2,01 b =