Rekenregels voor wortels √A · √B = √AB met A ≥ 0 en B ≥ 0 √A2 = |A| Je kunt een factor voor het wortelteken brengen als het getal onder het wortelteken het product is van een kwadraat en een geheel getal. √AB = √A · √B √54 = √9 · √6 = 3 · √6 = 3 √6 Een vorm met een breuk onder het wortelteken en een vorm met een wortel in de noemer van een breuk moet je herleiden. √A√B √ AB = met A ≥ 0 en B > 0 √A√B √ AB = 4.1

Wortels en merkwaardige producten (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 opgave 9a (2a √2 - a √3)2 = (2a √2 - a √3)·(2a √2 - a √3) = 4a2 · 2 – 2a2 √6 – 2a2 √6 + a2 · 3 = 8a2 + 3a2 – 4a2 · 6 = 11a2 – 24a2 = -13a2 4.1

opgave 9d √72 3 - √3 √72 3 + √3 = ∙ 3 - √3 3 + √3 √72(3 + √3) = 9 - 3 √36 · √2(3 + √3) = 6 6 √2(3 + √3) = 6 18 √2 + 6 √6) = 6 = 3 √2 + √6

Breuken Gelijknamige breuken optellen : tellers optellen noemers veranderen niet 5a 2a 7 a 1 + = 5 a - 2 2 a 5a a(a – 2) 2(a – 2) a(a – 2) 5a + 2(a – 2) a(a – 2) + = + = = 2 5a + 2a – 4 a(a – 2) 7a – 4 a(a – 2) Om niet-gelijknamige breuken op te tellen moet je ze eerst gelijknamig maken. = a2 – 4 a2 + 6a + 8 (a – 2)(a + 2) (a + 2)(a + 4) (a – 2) (a + 4) -2 4 -1 2 = = = = 3 Breuk vereenvoudigen  teller en noemer door dezelfde factor delen.

opgave 21a x2 + 4x + 4 x2 - 4 10 x - 2 = (x + 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) 10 x - 2 = x + 2 x - 2 10 x - 2 = x + 2 = 10 x = -2 + 10 x = 8 voldoet

opgave 21b x2 - 9x + 14 x2 + x - 6 3 - x 2x - 6 = (x - 2)(x - 7) (x - 2)(x + 3) 3 - x 2x - 6 = x - 7 x + 3 3 - x 2x - 6 = x - 7 x + 3 -1(-3 + x) 2(x – 3) = 2(x – 7) = -1(x + 3) 2x – 14 = -x – 3 3x = 11 x = 3 voldoet

Rekenregels van machten a4 = a · a · a · a a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5 = = a2 (a2)3 = a2 · a2 · a2 = a6 (ab)3 = ab · ab · ab = a3b3 bij vermenigvuldigen de exponenten optellen a5 a · a · a · a · a a3 a · a · a bij delen trek je de exponenten van elkaar af bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten bij de macht van een product krijg je een product van machten 4.3

Algemeen ap · aq = ap + q = ap – q (ap)q = apq (ab)p = apbp ap aq 4.3

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ a-n =  (a ≠ 0) de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken 4.3

voorbeeld 1 a3 a-2 = a3 - -2 = a5

voorbeeld 2 (3a)-2 · 2b-1

ook geldt : a = √ a (a > 0) Machten met gebroken exponenten x½ = √ x x = √ x 4½ = √ 4 = 2 64 = √ 64 = 4 algemeen : a = n √ a ook geldt : a = √ a (a > 0) 3 3 pq q p 4.3

opgave 33 a x1,6 = 50 x = 50 x ≈ 11,531 b x-4,1 = 5 x = 5 x ≈ 0,675 1

opgave 34c 4 · x-1,8 + 16 = 5000 4x-1,8 = 4984 x-1,8 = 1246 x = 1246 - 16 : 4 1 -1,8

Berekeningen met sinus, cosinus en tangens sinA = overstaande rechthoekszijde : schuine zijde cosA = aanliggende rechthoekszijde : schuine zijde tanA = overstaande rechthoekszijde : aanliggende rechthoekszijde SOS/CAS/TOA 4.4

voorbeeld Bereken AB C 5  19° A ? B vanuit hoek A kijken  tan A = BC : AB tan 19° = 5 : AB Bereken AB C 5 tan 19° 5  19° 1 AB A ? B AB = 5 × 1 : tan 19° AB = 14,5 cm 4.4

voorbeeld 2 Bereken C C  11 A 9 B vanuit hoek C kijken  sin C = AB : AC sin C = 9 : 11 C = 55° Bereken C C  11 A 9 B

voorbeeld 3 Bereken BC C 56° 11  ? A B vanuit hoek C kijken  cos C = BC : AC cos 56° = BC : 11 Bereken BC C 56° 11  ? cos 56° BC 1 11 A B BC = cos 56° × 11 : 1 BC = 6,2 cm

Exacte waarden van goniometrische verhoudingen LEREN Exacte waarden van goniometrische verhoudingen hoek 30° 45° 60° sinus ½ ½√2 ½√3 cosinus ½√3 ½√2 ½ tangens √3 1 √3 C R 60° 2 √ 2 1 1 45° 30° A B P Q 1 √ 3 4.4

a √ 3 a+a√3 2a a a a √ 2 D 30° ½a√2 + ½a√6 15° E 60° 45° 45° 75° A B C opgave 47a 30° BE = a AE = a AB = a√2 BD = 2a ED = a√3 in ∆ACD  1 – 1 - √2 AD = a + a√3 AC = · AC = = ½a√2 + ½a√6 CD = AC = ½a√2 + ½a√6 BC = AC – AB = ½a√2 + ½a√6 - a√2 = -½a√2 + ½a√6 ½a√2 + ½a√6 a √ 3 15° a+a√3 2a E a a a+a√3 √2 √2 √2 60° 45° 45° 75° a√2+a√6 2 A a √ 2 B C ½a√2 + ½a√6

2a D 30° 15° ½a√2 + ½a√6 E 60° 45° 45° 75° A B C ½a√2 + ½a√6 opgave 47b D -½a√2 + ½a√6 2a sin 15° = = -¼√2 + ¼√6 30° ½a√2 + ½a√6 a√3 cos 15° = = ¼√2 + ¼√6 15° ½a√2 + ½a√6 2a E 60° 45° 45° 75° A B C ½a√2 + ½a√6

= = De sinusregel C a sin α b sin β c sin γ γ b a α β A B c Als de driehoek niet gelijkbenig of rechthoekig is gebruik je de sinusregel. In elke driehoek ABC geldt de sinusregel : C a sin α b sin β c sin γ γ = = b a α β A B c 4.4

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β De cosinusregel Als je de sinusregel niet kunt gebruiken heb je de cosinusregel. In elke driehoek ABC geldt de cosinusregel : C a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ γ b a α β A B c 4.4

∙ H G E F M a D C a A 2a B opgave 65 a AF = b AG = AF = √5a2 = a√5 zijde kwadraat E F AB = 2a 4a2 ∙ M BF = a a2 + a AF = ? 5a2 D C AF = √5a2 = a√5 a A 2a B zijde kwadraat c AM = zijde kwadraat AF = AC AC = a5 5a2 AC = a5 5a2 CG = a a2 + CM = ½a ¼a2 + AG = ? 6a2 AM = ? 5¼a2 21 4 AG =  6a2 = a√6 AM = √5¼a2 = a√ = a√¼·21 = ½a√21

hoogte loodrecht op zijde Driehoek C voorbeeld 1 hoogte loodrecht op zijde hoogte tekenen oppervlakte driehoek = zijde × hoogte : 2 of ½ × zijde × hoogte 5 O(∆ABC) = zijde x hoogte : 2 = 4 × 5 : 2 = 10 cm² ∟ A B 4

Cirkel 12 voorbeeld 2 Waar kan de geit niet komen ? In het rode gebied O(cirkel) = πr2 Cirkel voorbeeld 2 Waar kan de geit niet komen ? In het rode gebied dus O(rechth) – O(cirkel) = O(rood) O(rechth) = 20×12 = 240 m² O(cirkel) = π × 4² = 50,27 m² O(rood) = 240 – 50,27 = = 189,73 m² 12

Trapezium D C h A B O(trapezium) = ½( a + b )h 4.5 Een trapezium is een vierhoek waarvan 2 zijden evenwijdig lopen Trapezium b O(trapezium) = ½( a + b )h D C h A B a b a + b Van ieder trapezium kun je een parallellogram maken 4.5

D C 3 3 h 60° 45° A E F B opgave 69 a h = 4 O = ½(a + b)h eerst CD (= AE) berekenen DE = 4 AE = = = 1√3 EF = 10 – 4 - 1√3 EF= 6 - 1√3 O = ½(10 + 6 - 13) · 4 O = 2(16 - 13) O = 32 - 23 D C 4  3 3 3 43 3 ∙ h 4 4 60° 45° A 1√3 E F 4 B 10 28

AB BC AC KL LM KM DB BE DE ON NM OM Herhaling gelijkvormigheid C K L E snavelfiguur zandloperfiguur ∆ABC ∽ ∆DBE ∆KLM ∽ ∆ONM K = O L = N M = M A = D B = B C = E C K L E B M D A N O AB BC AC KL LM KM DB BE DE ON NM OM 4.5