∙ ∙ f(x) = axn is een machtsfunctie O n even n oneven y y y y a > 0 lijnsymmetrisch met de y-as puntsymmetrisch met (0, 0) 11.1

Grafieken van machtsfuncties verschuiven xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken. y y = x² top (0, 0) y = ( x – 4 )² 4 naar rechts top (4, 0) y = ( x – 4 )² + 3 3 omhoog top (4, 3) y = 2 ( x – 4 )² + 3 parabool smaller top hetzelfde y = a ( x - p )² + q top (p, q) <a href="partrans.html" target = "geoframe">para. trans</a> O x algemeen grafiek van translatie (p, q) beeldgrafiek y = axn  y = a(x – p)n + q 11.1

Welk functievoorschrift hoort bij de verschillende parabolen ?

voorbeeld a y = 0,3x4 y = 0,3(x + 5)4 + 6 y = -0,9(x + 5)4 - 18 top (-5, -18) b y = 0,3x4 y = -0,9x4 y = -0,9(x + 5)4 + 6 top (-5, 6) Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x + 5 en tel je 6 bij de functiewaarde op. translatie (-5, 6) verm. met -3 tov de x-as Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met -3, vermenigvuldig je de functiewaarde met -3. verm. met -3 tov de x-as translatie (-5, 6) 11.1

Los op (exact) x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 Werkschema :het oplossen van de ongelijkheid Schets de grafieken van f en g. Los de vergelijking f(x) = g(x) op. Lees uit de schets de oplossingen af. y f Lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g. -1 3 x g 11.1

Werkschema: het tekenen van de grafiek van een wortelfunctie Bereken het domein en de coördinaten van het beginpunt. Maak een tabel. Teken de grafiek. Werkschema: het oplossen van wortelvergelijkingen Maak de wortel vrij. Kwadrateer het linker- en rechterlid en los de verkregen vergelijking op. Controleer of de oplossingen van de gekwadrateerde vergelijking oplossingen zijn van de gegeven vergelijking. 11.2

∙ opgave 21e y m(x) = √(x - 1) - 1 beginpunt (1, -1) Dm = [ 1,  > Bm = [ -1,  > 1 x -1 1 ∙ -1

∙ opgave 24a y f(x) = √(x + 5) + 3 beginpunt (-5, 3) Df = [ -5,  > Bf = [ 3,  > ∙ 3 1 x -5 -1 1

Wanneer ligt de grafiek van f onder die van g ? opgave 26 y 2x + 3 ≥ 0 2x ≥ -3 x ≥ -1½ Df = [-1½ ,  > 4 g 3 Wanneer ligt de grafiek van f onder die van g ? a f(x) = -2 + √(2x + 3) beginpunt ( -1½ , -2) b Bf = [ -2,  > c f(x) < g(x) voer in y1 = -2 + √(2x + 3) en y2 = -0,5x + 2 optie intersect x ≈ 2,41 -1½ ≤ x < 2,41 ∙ 2 1 -1,5 ∙ x -2 -1 1 2 2,41 3 4 -1 f ∙ -2

Wortelvergelijkingen oplossen voorbeeld 2x + √x = 10 √x = 10 – 2x x = (10 – 2x)2 x = 100 – 40x + 4x2 -4x2 + 40x + x – 100 = 0 -4x2 + 41x – 100 = 0 D = (41)2 – 4 · -4 · -100 D = 81 x = x = 6¼ v x = 4 Isoleer de wortelvorm. Kwadrateer het linker- en het rechterlid. Los de vergelijking op. -41 ± √81 -8 Controleer of de oplossingen kloppen. voldoet niet voldoet 11.2

∙ ∙ Asymptoten y 4 1x f (x) = standaardfunctie De grafiek heet een hyperbool. f (0) bestaat niet. Je hebt een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. Een asymptoot is een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel mee samenvalt. 3 2 ∙ 1 y = 0 -2 -1 1 2 3 x ∙ -1 -2 x = 0 11.3

Transformaties en gebroken functies y 1x f(x) = standaardfunctie g(x) = + 1 translatie 2 naar rechts 1 omhoog 4 1 x - 2 3 ∙ 2 ∙ y = 1 1 ∙ y = 0 -2 -1 1 2 3 x ∙ -1 -2 x = 0 x = 2 11.3

opgave 40a y 8 2x - 4 x + 3 f(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot noemer = 0 horz.asymptoot voor grote x 8 2x - 4 x + 3 f(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot : x = -3 voor grote x is f(x) ≈ 2x/x = 2 horz.asymptoot : y = 2 6 f 4 2 y = 2 f x -8 -6 -4 -2 2 4 -2 -4 x = -3

Gebroken vergelijkingen Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen = 0 geeft A = 0 = geeft A = C = geeft A = 0 v B = C = geeft AD = BC A B 0 1 = 0 = kan niet een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet A B C B 1 0 A B A C 0 0 A B C D 0 5 Controleer of geen noemer nul wordt. 11.3

horizontale symptoot: N = 1800 opgave 48 a t = 100 geeft N ≈ 1796 t = 1000 geeft N ≈ 1799,6 horizontale symptoot: N = 1800 Dit betekent dat N niet boven 1800 uitkomt. b Voer in y1 = 1800 – 1200/(1 + 3x) en y2 = 1760. Optie intersect geeft x ≈ 9,67. Dus op 10 mei zijn er 1760 insecten. c 4 mei loopt van t = 3 tot t = 4 t = 4 geeft N = 1708 t = 3 geeft N = 1680 1708 – 1680 = 28 insecten d N = 1680 hoort bij t = 3 (zie vraag c) N = 1745 hoort bij t = 7 (zie tabel op de GR) Het duurt dus 7 – 3 = 4 dagen. N 2000 N =1800 1000 600 1 2 t

Formules met twee variabelen opgave 50 a L = b v2 = 1300 v ≈ 36 Dus met een snelheid van 36 km/uur. c v = 30 geeft L = Los op 36 = 12f f = 3

Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. De grafiek van f(x) = gx f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie g > 1 0 < g < 1 y y Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. 1 1 x x O O De grafiek is stijgend bereik 〈 0, 〉 de x-as is asymptoot De grafiek is dalend bereik 〈 0, 〉 de x-as is asymptoot 11.4

Het effect van transformaties op y = gx verm. t.o.v. de x-as met a y = a · gx Vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a. De asymptoot is y = 0. y = gx translatie (p, 0) y = gx – p Vervang in de formule x door x – p. De asymptoot is y = 0. y = gx translatie (0, q) y = gx + q Tel in de formule q op bij de functiewaarde. De asymptoot is y = q. 11.4

opgave 60 a f: y = 2x translatie (0, -2) y = 2x – 2 de asymptoot van f is y = -2 y f 4 3 g g: y = (½)x translatie (2, 2) y = (½)x - 2 + 2 de asymptoot van g is y = 2 2,25 2 y = 2 1 b Bf = 〈 -2,  〉 Bg = 〈 2,  〉 c g(4) = 2,25 x ≥ 4 geeft 2 < g(x) ≤ 2,25 d Optie intersect geeft x ≈ 2,27. f(x) ≤ g(x) x ≤ 2,27 -3 -2 -1 O 1 2 2,27 3 4 x -1 y = -2 -2 -3

Rekenregels voor machten 11.4

opgave 67a 23x + 5 = 16√2 23x + 5 = 24 · 2½ 23x + 5 = 24½ 3x + 5 = 4½ 3x = 4½ - 5 3x = -½ x = -⅙

Soorten groei 11.4

h t opgave 69 a b t = 3 geeft = 52 Dus 52 cm hoog. t = 11 geeft = 256 Na 11 weken is de zonnebloem 256 cm hoog. c Voer in y1 = 260/(1 + 32 · 0,5x) d Voer in y2 = 250. Optie intersect geeft x ≈ 9,64. Dus vanaf t = 9,7. af af toe h h = 260 3 250 11 t 9,64

N t opgave 71 N = 1200(1 – 0,7t ) a De asymptoot is N = 1200 Er zitten 1200 leerlingen op school. b Voer in y1 = 1200(1 – 0,7x ) c Tabel De quotiënten zijn niet gelijk, dus er is geen exponentiële groei. d Voer in y2 = 950 Optie intersect geeft x ≈ 4,398. 0,398 · 60 ≈ 24 Dus om 13.00 uur + 24 minuten = 13.24 uur. 950 t 1 2 3 4 N 360 612 788 912 t 4,398 360/0 = k.n. , 612/360 = 1,7, 788/612 ≈ 1,3, 912/788 ≈ 1,2