Kwadratische vergelijkingen

Opgave 3 y = –2x2 + 7 a x = 8 geeft y = –2 · 82 + 7 = –2 · 64 + 7 = –128 + 7 = –121 b x = –1 geeft y = –2 · (–1)2 + 7 = –2 · 1 + 7 = –2 + 7 = 5 c x –3 –2 3 5 y –11 –1 7 –43 y = –2 · (–3)2 + 7 y = –2 · (–2)2 + 7 y = –2 · 02 + 7 y = –2 · 32 + 7 y = –2 · 52 + 7 3.1

c Jeroen moet per maand 30 grasmaaiers verkopen om maximale winst opgave 7 a a = 10 geeft W = –5 · 102 + 300 · 10 = 2500 euro. b W = –5a2 + 300a a = –5 en b = 300 atop = – = 30 atop = 30 geeft Wtop = –5 · 302 + 300 · 30 = 4500 De top is het punt (30, 4500). c Jeroen moet per maand 30 grasmaaiers verkopen om maximale winst te hebben. De maximale winst is 4500 euro. 300 2 · –5 3.2

Functie en formule De functie f(x) = x2 – 7 is een voorbeeld van een kwadratische functie. Bij het origineel x = 3 hoort het beeld f(3) = 32 – 7 = 9 – 7 = 2 Het beeld van 3 heet ook de functiewaarde van 3. Notaties voor een functie haakjesnotatie f(x) = x2 – 7 formule y = x2 – 7 3.3

Dal- en bergparabool Een kwadratische formule heeft de vorm y = ax2 + bx + c met a ≠ 0. Is a een positief getal, dan krijg je een dalparabool. Is a een negatief getal, dan krijg je een bergparabool. Elke parabool is symmetrisch. De symmetrieas van een parabool is de verticale lijn door de top.

Werkschema: zo ontbind je in factoren Breng de gemeenschappelijke factor buiten haakjes x2 + 5x = x(x + 5) 6x2 + x = x(6x + 1) –3x2 + 12x = –3x(x – 4) De product-som-methode Bij x2 – 5x + 6 zoek je twee getallen met product 6 en som –5. Gebruik de tabel van 6. Je ziet dat je –2 en –3 moet hebben, dus x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3). Bij x2 + x – 2 zoek je twee getallen met product –2 en som 1. Dat zijn –1 en 2, dus x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2) 3.4

Werkschema: zo los je een kwadratische vergelijking op Maak het rechterlid nul. Ontbind het linkerlid in factoren. Gebruik: uit A · B = 0 volgt A = 0 v B = 0. a x2 = 4x – 4 x2 – 4x + 4 = 0 (x – 2)(x – 2) = 0 x – 2 = 0 x = 2 b (x + 2)(x – 3) = 0 x – 3 = 0 v x + 2 = 0 x = 3 v x = –2 c n2 – 7n – 18 = 0 (n – 9)(n + 2) = 0 n – 9 = 0 v n + 2 = 0 n = 9 v n = –2 3.4

a opp border = opp I + opp II + opp III = 12x + x2 + 4x = x2 + 16x opgave 47 a opp border = opp I + opp II + opp III = 12x + x2 + 4x = x2 + 16x b x2 + 16x = 57 c x2 + 16x – 57 = 0 (x – 3)(x + 19) = 0 x – 3 = 0 ∨ x + 19 = 0 x = 3 ∨ x = –19 x = –19 kan niet d De border is 3 meter breed. 3.5

Het berekenen van xtop en ytop Van de top van de grafiek van y = ax2 + bx + c is xtop = – Je krijgt ytop door xtop in de formule in te vullen. Bij de grafiek van y = –x2 – 2x – 3 krijg je xtop = – = – = –1 en ytop = –(–1)2 – 2 · –1 – 3 = –1 + 2 – 3 = –2. De top is het punt (–1, –2). b 2a b 2a –2 2 · –1 3.2

De grafiek van een kwadratische functie Een kwadratische functie f heeft de vorm f(x) = ax2 + bx + c met a ≠ 0. Grafiek van f(x) = ax2 + bx + c dalparabool als a > 0 bergparabool als a < 0 van de top is xtop = – en y top = f(xtop) b 2a 3.3

Snijpunten met de coördinaatassen Snijpunt met de x-as De y-coördinaat is 0. De x-coördinaat volgt uit f(x) = 0. Dus los op f(x) = 0. Snijpunt met de y-as De x-coördinaat is 0. De y-coördinaat is f(0). Dus bereken f(0). f(0) = 0 + 0 = 0 dus het snijpunt met de y-as is (0, 0). f(x) = 0 geeft x2 + 5x = 0 x(x + 5) = 0 x = 0 ∨ x + 5 = 0 x = 0 ∨ x = –5 Dus de snijpunten met de x-as zijn (0, 0) en (–5, 0). 3.5