Wortels x² = 10 x = √10 v x = -√10 kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen √10 = 2√10 √10 = 10 √10 ≈ 3,16 (√10)² = 10 daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10 GR 1 y1 = x2 en y2 = 10 plotten  intersect coördinaten v/h snijpunt 2 optie x√ gebruiken 5.1

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden. 5.1

1 p is positief ( n = oneven ) er is één oplossing x³ = 3 x = 3 x ≈ 1,44 n = oneven grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) 1,44 5.1

-1,44 2 p is negatief ( n = oneven ) er is één oplossing x³ = -3 5.1

-1,32 1,32 3 p is positief ( n = even ) er zijn twee oplossingen grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as x4 = 3 x = 3¼ x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32 -1,32 1,32 5.1

4 p is negatief ( n = even ) er zijn geen oplossingen x4 = -3 x = -3¼ Er is geen oplossing 5.1

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden 1 schets de grafieken van f en g 2 los de vergelijking f(x) = g(x) op 3 lees uit de schets de oplossingen af los op (exact) x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 y f lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g -1 3 x g 5.1

y los op (2 decimalen) x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR) y los op (2 decimalen) x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² y2 = 3x - 4 optie intersect x ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56 aflezen uit de schets -1,56 < x < 1 v x > 2,56 y1 1 -1,56 2,56 x lees het antwoord af op de x-as f(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g y2 5.1

a b c opgave 9 W = ad4 d = 5 cm en W = 13,5 13,5 = a × 54 a = 13,5/54 W = 0,02d4 d = 8 cm. W = 0,02 × 84 W = 81,92 l/s in 1 uur stroomt er 16.650 liter water door een buis 1 uur = 3600 seconden W = 16.650 : 3600 = 4,625 l/s 0,02 × d4 = 4,625 d4 = 4,625/0,02 d4 = 231,25 d = d = 3,9 cm. a b c 4 cm

opgave 13a 0,2 · √x = 4 √x = 4/0,2 √x = 20 x = 203 x = 8000 3 3 3

opgave 14a y = 0,5 · √x – 8 0,5 · √x – 8 = y 0,5 · √x = y + 8 7 7 7 7 7

Lineaire groei en exponentiële groei 5.2

Bij de formule N = b · gt onderscheiden we 2 gevallen groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis g > 1 0 < g < 1 y y 1 1 x x O O 5.2

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ opgave 21 a NT = 0,15t + 18 b NP = 9,6 · 1,04t 25 a NT = 0,15t + 18 b NP = 9,6 · 1,04t c maart 2007  t = 14 t = 14  NT = 0,15 · 14 + 18 = 20,1  NP = 9,6 · 1,0414 ≈ 16,6 het scheelt 20,1 – 16,6 = 3,5 miljoen d voer in y1 = 9,6 · 1,04x t = 16  NP ≈ 17,981 t = 17  NP ≈ 18,7 dus meer dan 18 miljoen bij t = 17 juni 2007 e voer in y2 = 0,15x + 18 optie intersect x ≈ 19,95 dus NP > NT vanaf t = 20 september 2007 ∙ ∙ 20 ∙ ∙ 15 ∙ ∙ 10 ∙ 5 5 10 15 19,95 20 25 t

Groeifactor en groeipercentage Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken. Neemt een bedrag met 250 euro per jaar met 4,5% toe, dan is de groeifactor 1,045. 100% + 4,5% = 104,5%  × 1,045 formule : B = 250 × 1,045t Dus bij een groeifactor van 0,956 is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4%. We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is. Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100. Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g – 1 ) × 100%. 5.2

a Er wordt per meter 40% geabsorbeerd dus er blijft 60% over N opgave 26 10 a Er wordt per meter 40% geabsorbeerd dus er blijft 60% over groeifactor per meter is 0,6 b PB = 100 · 0,7d c d = 4  Pr = 100 · 0,64 = 12,96 dus er dringt 13% van rood licht door tot een diepte van 4 meter d = 4  Pb = 100 · 0,74 = 24,01 dus er dringt 24% van blauw licht door d voer in y1 = 100 · 0,6x en y2 = 1 optie intersect x ≈ 9,02 dus tot een diepte van 9 meter dringt slechts 1% van het rode licht door d = 9  Pb = 4,04 dus tot deze diepte dringt 4 keer zoveel blauw licht door 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2 ∙ ∙ ∙ 2 4 6 8 9,02 10

Rekenregels van machten a4 = a · a · a · a a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5 = = a2 (a2)3 = a2 · a2 · a2 = a6 (ab)3 = ab · ab · ab = a3b3 bij vermenigvuldigen de exponenten optellen a5 a · a · a · a · a a3 a · a · a bij delen trek je de exponenten van elkaar af bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten bij de macht van een product krijg je een product van machten 5.3

Algemeen ap · aq = ap + q = ap – q (ap)q = apq (ab)p = apbp ap aq 5.3

Negatieve exponenten 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ a-n = (a ≠ 0) de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten 1 an 5.3

Machten met gebroken exponenten x = √x x = √x 4 = √4 = 2 64 = √64 = 4 algemeen: a = n√a ook geldt: a = √a (a > 0) 3 3 p q q p 5.3

opgave 44 x1,6 = 50 x = 50 x ≈ 11,531 x-4 = 5 x = 5 x ≈ 0,669 1 1,6 1 -4

opgave 45c 4x-1,8 + 16 = 5000 4x-1,8 = 4984 x-1,8 = 1246 x = 1246 x ≈ 0,019 - 16 : 4 1 -1,8

Evenredig als er een getal a bestaat zo, dat P = a · Q dan is P evenredig met Q het getal a heet de evenredigheidsconstante y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a · xn

opgave 51 y = ax1,83 door (18,350) dus y = 1,766 · x1,83 door (25,p) dus p ≈ 638 a · 181,83 = 350 a = 350/181,83 a ≈ 1,766 p = 1,766 · 251,83 p ≈ 638,48

opgave 52 a W = a · m0,75 m = 40  W = 6700 W = 421,2m0,75 b m = 4  W = 421 · 40,75 W ≈ 1191,4 dus W ≈ 1191 kJ c W = 50000  421m0,75 = 50000 m0,75 = 50000/421 m0,75 ≈ 118,8 m ≈ m ≈ 583,8 de massa is dus ongeveer 584 kg. a · 400,75 = 6700 a = 6700/400,75 a ≈ 421,2

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid is g de groeifactor per tijdseenheid, dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn bij een groeifactor van 1,5 per uur hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier 1,11  111%  toename per kwartier is 11% het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren 5.4

opgave 55 een hoeveelheid neemt per kwartier met 12% toe a g¼uur = 1,12 guur = 1,124 ≈ 1,574 de toename per uur is 157,4 – 100 = 57,4% b g15 minuten = 1,12 g5 minuten = 1,12⅓ ≈ 1,038 de toename per 5 minuten is 103,8 – 100 = 3,8% c guur = 1,124 g5 uur = (1,124)5 = 1,1220 ≈ 9,65 de toename per 5 uur is 965 – 100 = 865%

opgave 60 in de periode 1955-1965 nam het dramatisch af met 95% a g10 jaar = 0,05 gjaar = 0,05(1/10) ≈ 0,741 de afname per jaar is 100 – 74,1 = 25,9% b g20 jaar = 12 gjaar = 12(1/20) ≈ 1,132 de toename per jaar is 13,2% c in 1965 waren er 14000/12 ≈ 1170 broedparen in 1955 waren er 1170/0,05 ≈ 23400 broedparen

opgave 66 na 6 minuten  10 knopen , 3 minuten later  8 knopen a g3 minuten = 8/10 = 0,8 gminuut = 0,8⅓ ≈ 0,928 de afname per minuut is 7,2% b v = b · 0,928t met v in knopen en t in minuten t = 6 en v = 10  10 = b · 0,9286 b = 10/0,9286 b ≈ 15,6 dus v = 15,6 · 0,928t de snelheid op t = 0 is 15,6 knopen c half uur  t = 30 t = 30  v = 15,6 · 0,92830 ≈ 1,7 de snelheid is 1,7 knopen d voer in y1 = 15,6 · 0,928x en y2 = 1 optie intersect x ≈ 36,8 dus na 37 minuten

Werkschema: herkennen van exponentiële groei bij een tabel 1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiënt aantal aan het eind van het interval aantal aan het begin van het interval 2 verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei

opgave 68 jaar 1998 2000 2002 2004 2006 omzet O 315 550 960 1670 2900 a 550/315 ≈ 1,746 960/550 ≈ 1,745 1670/960 ≈ 1,740 2900/1670 ≈ 1,737 de quotiënten verschillen weinig, dus bij benadering exponentiële groei b g8 jaar = 2900/315 gjaar = (2900/315)(1/8) ≈ 1,320 dus O = 315 · 1,320t c 2015  t = 17 t = 17  O = 315 · 1,32017 ≈ 35324 de omzet is 35324 miljoen euro dat is per Nederlander 35324/16,8 ≈ 2100 euro

Verdubbelings- en halveringstijd de verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de vergelijking gT = 2 op te lossen de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking gT = ½ op te lossen

opgave 72 a de groeifactor per dag is 0,917 0,917t = 0,5 voer in y1 = 0,917x en y2 = 0,5 optie intersect x ≈ 8,00 de halveringstijd is 8 dagen b 0,917t = 0,1 voer in y1 = 0,917x en y2 = 0,1 x ≈ 26,6 dus na 27 dagen

opgave 73 a g10 dagen = 2 gdag = 2(1/10) ≈ 1,072 het groeipercentage per dag is 7,2% b g25 jaar = 2 gjaar = 2(1/25) ≈ 1,028 het groeipercentage per jaar is 2,8% c g28 jaar = 0,5 gjaar = 0,5(1/28) ≈ 0,976 de hoeveelheid neemt per jaar met 2,4% af

Werkschema: herkennen van exponentiële groei bij een tabel 1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiënt aantal aan het eind van het interval aantal aan het begin van het interval 2 verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei 5.4

Verdubbelings- en halveringstijd de verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de vergelijking gT = 2 op te lossen de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking gT = ½ op te lossen 5.4