machtsfuncties n even n oneven y y y y a > 0 a < 0 a > 0 x x x x O O O O de top is (0,0) het punt van symmetrie is (0,0) 10.1

Grafieken van machtsfuncties verschuiven xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken. y y = x² top (0, 0) y = ( x – 4 )² 4 naar rechts top (4, 0) y = ( x – 4 )² + 3 3 omhoog top (4,3) y = 2 ( x – 4 )² + 3 parabool smaller top hetzelfde top (4, 3) y = a ( x - p )² + q top (p, q) O x algemeen grafiek van translatie (p, q) beeldgrafiek y = axn  y = a(x – p)n + q 10.1

Welk functievoorschrift hoort bij de verschillende parabolen ?

voorbeeld a) y = 0,3x4 y = 0,3(x + 5)4 + 6 y = -0,9(x + 5)4 - 18 top (-5, -18) b) y = 0,3x4 y = -0,9x4 y = -0,9(x + 5)4 + 6 top (-5, 6) Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x + 5 en tel je 6 bij de functiewaarde op. translatie (-5,6) verm. met -3 tov de x-as Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met -3, vermenigvuldig je de functiewaarde met -3. verm. met -3 tov de x-as translatie (-5,6) 10.1

los op (exact) x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 Werkschema bij het oplossen van ongelijkheden Schets de grafieken van f en g. Los de vergelijking f(x) = g(x) op. Lees uit de schets de oplossingen af. y f Lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g. -1 3 x g 10.1

∙ opgave 21a y f(x) = √(x + 5) + 3 beginpunt (-5, 3) Df = [ -5 ,  > Bf = [ 3 ,  > ∙ 3 1 x -5 -1 1 10.2

∙ opgave 21e y l(x) = √(x - 1) - 1 beginpunt (1 , -1) Dl = [ 1 ,  > Bl = [ -1 ,  > 1 x -1 1 ∙ -1 10.2

Werkschema: het tekenen van de grafiek van een wortelfunctie Bereken het domein en de coördinaten van het beginpunt. Maak een tabel. Teken de grafiek. Werkschema: het oplossen van wortelvergelijkingen Maak de wortel vrij. Kwadrateer het linker- en rechterlid en los de verkregen vergelijking op. Controleer of de oplossingen van de gekwadrateerde vergelijking oplossingen zijn van de gegeven vergelijking. 10.2

Wanneer ligt de grafiek van f onder die van g ? opgave 23 y 2x + 3 ≥ 0 2x ≥ -3 x ≥ -1½ 4 g 3 Wanneer ligt de grafiek van f onder die van g ? a) f(x) = -2 + √(2x + 3) beginpunt ( -1½ , -2) b) Bf = [ -2 ,  > c) f(x) < g(x) voer in y1 = -2 + √(2x + 3) en y2 = -0,5x + 2 x ≈ 2,41 -1½ ≤ x < 2,41 ∙ 2 1 -1,5 ∙ x -2 -1 1 2 2,41 3 4 -1 f ∙ -2 10.2

Wortelvergelijkingen oplossen voorbeeld 2x + √x = 10 √x = 10 – 2x x = (10 – 2x)2 x = 100 – 40x + 4x2 -4x2 + 40x + x – 100 = 0 -4x2 + 41x – 100 = 0 D = (41)2 – 4 · -4 · -100 D = 81 x = x = 6¼ v x = 4 Isoleer de wortelvorm. Kwadrateer het linker- en het rechterlid. Los de vergelijking op. -41 ± √81 -8 Controleer of de oplossingen kloppen. voldoet niet voldoet 10.2

∙ ∙ Asymptoten y 4 1x f (x) = standaardfunctie De grafiek heet een hyperbool. f (0) bestaat niet. Je hebt een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. Een asymptoot is een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel mee samenvalt. 3 2 ∙ 1 y = 0 -2 -1 1 2 3 x ∙ -1 -2 x = 0 10.3

Transformaties en gebroken functies y 1x f(x) = standaardfunctie g(x) = + 1 translatie 2 naar rechts 1 omhoog 4 1 x - 2 3 ∙ 2 ∙ y = 1 1 ∙ y = 0 -2 -1 1 2 3 x ∙ -1 -2 x = 0 x = 2 10.3

Gebroken vergelijkingen Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen = 0 geeft A = 0 = geeft A = C = geeft A = 0 v B = C = geeft AD = BC A B 0 1 = 0 = kan niet een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet A B C B 1 0 A B A C 0 0 A B C D 0 5 Controleer of geen noemer nul wordt. 10.3

opgave 35 y 8 2x - 1 x + 3 f(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot noemer = 0 horz.asymptoot voor grote x 8 2x - 1 x + 3 f(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot : x = -3 voor grote x is f(x) ≈ 2x/x = 2 horz.asymptoot : y = 2 6 f 4 2 y = 2 f x -8 -6 -4 -2 2 4 -2 -4 x = -3 10.3

Voer in y1 = 1800 – 1200/(1 + 3x) met Xmin = 0 en Xmax = 10. opgave 41 Voer in y1 = 1800 – 1200/(1 + 3x) met Xmin = 0 en Xmax = 10. b) t = 100 geeft N ≈ 1796 t = 1000 geeft N ≈ 1799,6 horizontale symptoot: N = 1800 Dit betekent dat N niet boven 1800 uitkomt. Voer in y2 = 1760. Optie intersect geeft x ≈ 9,67. Dus op 10 mei zijn er 1760 insecten. 4 mei loopt van t = 3 tot t = 4 t = 4 geeft N = 1708 t = 3 geeft N = 1680 1708 – 1680 = 28 insecten e) N = 1680 hoort bij t = 3 (zie vraag d) N = 1745 hoort bij t = 7 (zie tabel op de GR) Het duurt dus 7 – 3 = 4 dagen. N 2000 N =1800 1000 600 1 2 t 10.3

Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. De grafiek van f(x) = gx f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie g > 1 0 < g < 1 y y Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. 1 1 x x O O De grafiek is stijgend bereik < 0, > de x-as is asymptoot De grafiek is dalend bereik < 0, > de x-as is asymptoot 10.4

Het effect van transformaties op y = gx verm. t.o.v. de x-as met a y = a · gx Vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a. De asymptoot is y = 0. y = gx translatie (p, 0) y = gx – p Vervang in de formule x door x – p. De asymptoot is y = 0. y = gx translatie (0, q) y = gx + q Tel in de formule q op bij de functiewaarde. De asymptoot is y = q. 10.4

opgave 46 a) f: y = 2x translatie (0, -2) y = 2x – 2 de asymptoot van f is y = -2 y f 4 3 g g: y = (½)x translatie (2, 2) y = (½)x - 2 + 2 de asymptoot van g is y = 2 2,25 2 y = 2 1 b) Bf = < -2, > Bg = < 2, > c) g(4) = 2,25 x ≥ 4 geeft 2 < g(x) ≤ 2,25 d) Optie intersect geeft x ≈ 2,27. f(x) ≤ g(x) x ≤ 2,27 -3 -2 -1 O 1 2 2,27 3 4 x -1 y = -2 -2 -3 10.4

Rekenregels voor machten 10.4

23x + 5 = 16√2 23x + 5 = 24 · 2½ 23x + 5 = 24½ 3x + 5 = 4½ 3x = 4½ - 5 opgave 53a 23x + 5 = 16√2 23x + 5 = 24 · 2½ 23x + 5 = 24½ 3x + 5 = 4½ 3x = 4½ - 5 3x = -½ x = -⅙ 10.4

In den beginne was er het bepalen van de som In den beginne was er het bepalen van de som. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “leg u te samen” Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “van uw minpunten kunt u leren.” Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “ga heen en vermenigvuldig u.” Dat vroeg om het quotiënt. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “verdeel en heers” Toen kwam de macht. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “verhef u en grijp hem.” Die riep de wortel over zich uit. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “trek hem, roei hem uit.” Voor een completere wereld verscheen de Loga-ritme En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “Yeah cool babe, swing it out.”

Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen : glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y x > 0 , g > 0 en g ≠ 1 10.5

De standaardgrafiek y = glog(x) 1 1 dalend stijgend domein < 0,  > de y-as (x = 0) is asymptoot 10.5

De standaardgrafiek y = glog(x) Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies g > 1 0 < g < 1 y y y = x y = x y = 2x 1 y = (½)x 1 x x O O 1 1 y = 2log(x) y = ½log(x) 10.5

Grafieken van logaritmische functies Het beeld van y = glog(x) bij enkele transformaties transformatie formule beeldgrafiek domein formule asymptoot translatie (0, q) y = glog(x) + q < 0,  > x = 0 translatie (p, 0) y = glog(x – p) < p,  > x = p verm. x-as, a y = a · glog(x) Werkschema: het tekenen van de grafiek van een logaritmische functie Stel de formule op van de verticale asymptoot. Maak een tabel. Teken de grafiek. 10.5

voorbeeld 1 x = 4 y a) Hoe ontstaat f(x) = 3log(x – 4) + 2 uit y = 3log(x) ? y = 3log(x) translatie (4, 0) y = 3log(x – 4) translatie (0, 2) y = 3log(x – 4) + 2 b) Df = < 4, > 4 3 2  1   x   1 3 9 3log(x) -2 -1 1 2    O 1 2 3 4 5 -1 2 omhoog   4 naar rechts -2   10.5

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ voorbeeld 2 Teken de grafiek van f(x) = verticale asymptoot : 4x – 1 = 0 x = ¼ voer in y1 = log(4x-1)/log(3) b) f(x) ≤ 2 3log(4x – 1) = 2 4x – 1 = 32 4x = 10 x = 2½ ¼ < x ≤ 2½ 4 3 ∙ ∙ 2 y = 2 ∙ x 1 2 3 4 ∙ 3log(4x - 1) 1 1,8 2,2 2,5 1 ∙ -1 1 2 2½ 3 4 x -1 -2 x = ¼ 10.5

Rekenregels voor logaritmen Werkschema: het oplossen van logaritmische vergelijkingen 1. Kijk of je kunt toepassen glog(x) = y geeft x = gy. Lukt dat niet, dan Herleid het linker- en rechterlid tot logaritmen met hetzelfde grondtal. Gebruik daarna glog(A) = glog(B) geeft A = B. 10.6

Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. paard = 600 kg. log(600) ≈ 2,8 Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4 log(104) = 4 10.7

Logaritmisch papier 107 F  2400 F  2400000 opgave 84 106 E  150 D  55 D  55000 105 C  23 C  23000 B  7500 B  7,5 104 A  1300 A  1,3 10.7 103

Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · gt. t = 1 en N = 30 opgave 87a Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · gt. t = 1 en N = 30 t = 7 en N = 400 N = b · 1,540t Dus N = 19,5 · 1,540t. 400 g6 dagen = gdag = ≈ 1,540 30 b · 1,5401 = 30 b = 19,5 10.7