De grafiek van een machtsfunctie n even n oneven y y y y a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 ∙ ∙ x x x x O O O O lijnsymmetrisch met de y-as puntsymmetrisch met (0, 0) 9.1

Grafieken van machtsfuncties verschuiven y xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken y = x² top (0, 0) y = ( x – 4 )² 4 naar rechts top (4, 0) y = ( x – 4 )² + 3 3 omhoog top (4, 3) y = 2 ( x – 4 )² + 3 parabool smaller top hetzelfde y = a ( x - p )² + q top (p, q) O x algemeen grafiek van translatie (p, q) beeldgrafiek y = axn  y = a(x – p)n + q 9.1

Welk functievoorschrift hoort bij de verschillende parabolen ?

opgave 6 y a f(x) = -2(x + 2)2 – 3 n even  top (-2, -3) bergparabool max. is f(-2) = -3 Bf = <  , -3 ] b h(x) = 0,18(x – 3)2 – 4 n even  top (3, -4) dalparabool min. is f(3) = -4 Bg = [ -4 ,  > n even a < 0 x O n even a > 0 y x O 9.1

opgave 11 a y = 0,3x4 y = 0,3(x + 5)4 + 6 y = 0,9(x + 5)4 + 18 top (-5, 18) b y = 0,3x4 y = 0,9x4 y = 0,9(x + 5)4 + 6 top (-5, 6) Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x+5 en tel je 6 bij de functiewaarde op. translatie (-5, 6) verm. met 3 tov de x-as Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met 3, vermenigvuldig je de functiewaarde met 3. verm. met 3 tov de x-as translatie (-5 ,6)

∙ opgave 16a y f(x) = √(x + 5) + 3 beginpunt (-5, 3) Df = [ -5 ,  > Bf = [ 3 ,  > ∙ 3 1 x -5 -1 O 1

∙ opgave 16e y 1 l(x) = -√(x - 1) - 1 beginpunt (1, -1) Dl = [ 1 ,  > Bl = <  , -1 ] -1 O x 1 ∙ -1

Wortelvergelijkingen oplossen opgave 20a 2x + √x = 10 √x = 10 – 2x x = (10 – 2x)2 x = 100 – 40x + 4x2 -4x2 + 40x + x – 100 = 0 -4x2 + 41x – 100 = 0 D = (41)2 – 4 · -4 · -100 D = 81 x = x = 6¼ v x = 4 isoleer de wortelvorm kwadrateer het linker- en het rechterlid los de vergelijking op -41 ± √81 -8 controleer of de oplossingen kloppen voldoet niet voldoet 9.1

opgave 20b √(x + 12) = x x + 12 = x2 -x2 + x + 12 = 0 x2 – x – 12 = 0 x – 4 = 0 v x + 3 = 0 x = 4 v x = -3 opgave 20c 2x + √x = 6 √x = 6 – 2x x = (6 – 2x)2 x = 36 – 24x + 4x2 -4x2 + 24x + x – 36 = 0 -4x2 + 25x – 36 = 0 D = (25)2 – 4 · -4 · -36 D = 49 x = x = 4 v x = 2¼ opgave 20d 10 - x√x = 2 -x√x = -10 + 2 -x√x = -8 x2 · x = 64 x3 = 64 x = 3√64 x = 4 -25 ± √49 -8 voldoet voldoet niet voldoet voldoet niet voldoet

∙ ∙ 1 x y f (x) = standaardfunctie De grafiek heet een hyperbool f (0) bestaat niet De grafiek bestaat uit 2 losse delen takken van de hyperbool Je hebt een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. Een asymptoot is een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel samenvalt. De grafiek is puntsymmetrisch in (0,0) 4 3 2 ∙ y=0 1 -2 -1 1 2 3 x ∙ -1 -2 x=0 9.2

∙ ∙ ∙ ∙ a f(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot : x = -3 opgave 27 vert.asymptoot noemer = 0 horz.asymptoot voor grote x y 8 2x-1 x + 3 a f(x) = noemer = 0 x + 3 = 0  x = -3 vert.asymptoot : x = -3 voor grote x is f(x) ≈ 2x/x = 2 horz.asymptoot : y = 2 b voer in y1 = (2x-1)/(x+3) en y2 = x - 3 optie intersect geeft x = -2 v x = 4 f(x) ≤ g(x) geeft -3 < x ≤ -2 v x ≥ 4 6 f 4 y=2 2 g f ∙ ∙ ∙ x -8 -6 -4 -2 2 4 -2 ∙ Wanneer ligt de grafiek van f onder of op g ? -4 x=-3 9.2

∙ ∙ ∙ ∙ opgave 35 y 8 f 4x x + 2 a f(x) = noemer = 0 horz.asymptoot voor grote x vert.asymptoot noemer = 0 y 8 f 4x x + 2 a f(x) = noemer = 0 x + 2 = 0  x = -2 vert.asymptoot : x = -2 voor grote x is f(x) ≈ 4x/x = 4 horz.asymptoot : y = 4 b voer in y1 = 4x/(x+2) en y2 = x - 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 6 f(x) > g(x) geeft x < -2 v -1 < x < 6 6 4 y=4 2 f g ∙ ∙ ∙ -8 -6 -4 -2 2 4 x -2 ∙ Wanneer ligt de grafiek van f boven g ? -4 x=-2

glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 23 = 8 ⇔ 2log(8) = 3 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen: glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y x > 0 , g > 0 en g ≠ 0

5log() = 5log(5-1) = -1 b 3log(3√3) = 3log(31 . 3½) = 3log(31½) = 1½ voorbeeld a 5log(0,2) = 5log() = 5log(5-1) = -1 b 3log(3√3) = 3log(31 . 3½) = 3log(31½) = 1½ c ½log(8) = ½log((½)-3) = -3 d ¼log() = ¼log((¼)2) = 2

De standaardgrafiek y = glog(x) functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies g > 1 0 < g < 1 y y y = x y = x y = 2x 1 y = (½)x 1 x x O O 1 1 y = 2log(x) y = ½log(x) 9.3

voorbeeld          x = 4 y 4 a y = 3log(x) 4 naar rechts 2 omhoog y = 3log(x – 4) + 2 b Df = < 4, > 3 2  x   1 3 9 1   3log(x) -2 -1 1 2    O 1 2 3 4 5 -1 2 omhoog   4 naar rechts -2  

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 4 3 2 1 -1 2 3 4 x -1 -2 opgave 44 a verticale asymptoot : voer in y1 = log(4x-1)/log(3) b f(x) ≤ 2 3log(4x – 1) = 2 4x – 1 = 32 4x = 10 x = 2½ ¼ < x ≤ 2½ 3 ∙ ∙ 2 y = 2 ∙ x 1 2 3 4 ∙ 1 3log(4x - 1) 1 1,8 2,2 2,5 ∙ -1 1 2 2½ 3 4 x -1 -2 x = ¼

g f opgave 47 a f(x) = 6 + ½log(x2 + 5) x2 + 5 = 0 heeft geen oplossingen dus f heeft geen verticale asymptoot g(x) = 3log(x2 – 2x) x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 v x = 2 voer in y1 = 6 + log(x2 + 5)/log(½) en y2 = log(x2 – 2x)/log(3) y g f O x x = 0 x = 2

g f b optie intersect (-2,759 ; 2,344) en (3,776 ; 1,732) c f(x) > g(x) -2,759 < x < 0 v 2 < x < 3,776 g f -2,759 O x 3,776 x = 0 x = 2

Transformaties toepassen op y = f (x) beeldgrafiek translatie (a,0) g(x) = f(x - a) vervang x door x – a translatie (0,b) g(x) = f(x) + b tel b op bij de functiewaarde verm. t.o.v. de x-as met c g(x) = c · f(x) vermenigvuldig de functiewaarde met c verm. t.o.v. de y-as met d g(x) = f( x) vervang x door x 9.4

∙ ∙ y opgave 53 12 a f (x) = -6x3 + 18x f’ (x) = 3 · -6x2 + 18 b f’ (x) = 0 -18x2 + 18 = 0 -18x2 = -18 x2 = 1 x = 1 v x = -1 min. is f (-1) = -12 max. is f (1) = 12 f x -1 O 1 ∙ -12 9.4

∙ ∙ f c f (x) = -6x3 + 18x verm. t.o.v. y-as met 4 g (x) = -6 · (¼x)3 + 18 · ¼x g (x) = -6 · x3 + 4½x g (x) = - x3 + 4½x d g’ (x) = - x2 + 4½ g’ (x) = 0 - x2 + 4½ = 0 -9x2 + 144 = 0 x2 – 16 = 0  x2 = 16 x = 4 v x = -4 min. is g (-4) = -12 max. is g (4) = 12 e top van grafiek van f top van grafiek van g y x4 ∙ 12 g f O x -4 -1 1 4 ∙ -12

opgave 56a y = f (x + 2) de grafiek 2 hokjes naar links verschuiven

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ opgave 56b y = ½f (x) de grafiek t.o.v. de x-as met een ½ vermenigvuldigen ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ opgave 56c y = 2f (x) de grafiek t.o.v. de x-as met 2 vermenigvuldigen ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 9.4

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ opgave 56d y = f (½x) de grafiek t.o.v. de y-as met 2 vermenigvuldigen ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

de verticale asymptoot is de lijn v = 3 voor grote v is opgave 71 a b noemer = 0 v – 3 = 0 de verticale asymptoot is de lijn v = 3 voor grote v is dus de horizontale asymptoot is de lijn b = 3 als v oneindig groot is, dan is b = 3 als v = 3, dan is er geen beeld 9.5

c b = v v(v – 3) = 3v v2 – 3v = 3v v2 – 6v = 0 v(v – 6) = 0 v = 0 v v = 6 v = 0 voldoet niet omdat niet bestaat voor v = 0 dus voor v = 6 zijn v en b beide 6 d 3 = 2(v – 3) 3 = 2v – 6 9 = 2v v = 4½ dus voor v = 4½ geldt

opgave 76 a R = 2 log(S) – 6 2 log(S) = 6 + R log(S) = 3 + ½R S = 103+½R S = 103 · 10½R S = 1000 · (10½)R S = 1000 · 3,16R b 5K = 3 log(N) + 2 3 log(N) = -2 + 5K log(N) = + K N = 10 N = 10 · 10 K N = 10 · (10 )K N ≈ 0,22 · 46,42K