Riemannsommen De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is te benaderen met behulp van rechthoeken. Daartoe verdeel je het interval [1, 5] in even lange deelintervallen. Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte ∆x = 1. Voor de hoogte van de rechthoeken kun je de kleinste functiewaarde op het deelinterval nemen, je krijgt dan de ondersom, zie figuur b de grootste functiewaarde op het deelinterval nemen, je krijgt dan de bovensom, zie figuur c de functiewaarde van een willekeurig getal xk van het deelinterval nemen, zie figuur d In het algemeen wordt de som van de oppervlakten van rechthoeken genoteerd als Dit heet een Riemannsom. Ook de ondersom en bovensom zijn Riemannsommen. Er geldt ondersom ≤ O(V) ≤ bovensom. 10.1

opgave 5 f(x) = a f(x) = 0 geeft 12 – 2x = 0 -2x = -12 x = 6 De middens van de intervallen zijn 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; 4,5 en 5,5. O(V) ≈ (f(0,5) + f(1,5) + f(2,5) + f(3,5) + f(4,5) + f(5,5)) · 1 ≈ 6,28 b ondersom = (f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)) · 1 ≈ 4,91 bovensom = (f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)) · 1 ≈ 7,91 Dus 4,91 ≤ O(V) ≤ 7,91.

Integralen Door bij een Riemannsom de limiet voor ∆x naar 0 te nemen krijg je een integraal. De oppervlakte van het vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is Met de GR kun je integralen nauwkeurig benaderen. Zo is de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = , de x-as en de y-as gelijk aan dx De optie fnInt(TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) ≈ 1,89. De oppervlakte van het vlakdeel W dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijnen x = 2 en y = √2 bereken je met O(W) = O(rechthoek) – O(V). Dus O(W) ≈ 2 · √2 – 1,89 ≈ 0,94. 10.1

opgave 9 f(x) = 5 geeft 6x – x2 = 5 -x2 + 6x – 5 = 0 x2 – 6x + 5 = 0 (x – 1)(x – 5) = 0 x = 1 ⋁ x = 5 De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 30,667 O(V) ≈ 30,667 – 4 · 5 ≈ 10,67

opgave 10 a f(x) = 1 geeft x3 – 5x2 + 6x + 1 = 1 x3 – 5x2 + 6x = 0 x(x2 – 5x + 6x) = 0 x(x – 2)(x – 3) = 0 x = 0 ⋁ x = 2 ⋁ x = 3 De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 0,583. O(V) ≈ 1 · 1 – 0,583 ≈ 0,42 b De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 4,667. O(W) ≈ 4,667 – 2 · 1 ≈ 2,67

Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken In de figuur hiernaast is f(x) ≥ g(x) op het interval [a, b]. Daarom kan de oppervlakte van het vlakdeel V benaderd worden met behulp van de Riemannsom Voor de exacte oppervlakte neem je hiervan de limiet voor ∆x naar 0. Je krijgt O(V) = vb. Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafieken van f(x) = 2x – 8 en g(x) = -x2 Voer in y1 = 2x – 8 en y2 = -x2 Optie intersect geeft x ≈ -2,80 en x = 2. De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(W) ≈ ≈ 22,85 10.2

opgave 14 f(x) = sin(x) met Df = [0, π] Voer in y1 = sin(x) en y2 = ¼ x. De optie intersect geeft x ≈ 2,4746. De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) = en De lijn y = ¼ x verdeelt V niet in twee delen met gelijke oppervlakte.

Inhoud van een omwentelingslichaam Door het vlakdeel U in de figuur hiernaast te wentelen om de x-as ontstaat het lichaam L. I(L) = Door het vlakdeel V in de figuur hiernaast te wentelen om de x-as ontstaat het lichaam M. I(M) = vb. Het lichaam N ontstaat door het vlakdeel W, ingesloten door de grafieken van f(x) = 2x – 8 en g(x) = -x2 , te wentelen om de x-as. De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(N) ≈ ≈ 593,4 10.2

opgave 21 Voer in y1 = -0,1x4 + x2 + x + 3 De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x ≈ -3,14 en x ≈ 3,83. De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(L) ≈

opgave 29 Voer in y1 = -⅓x3 + 2x2 en y2 = x + 4 De optie intersect geeft x ≈ -1,11, x ≈ 2,22 en x ≈ 4,88. De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(beide lichamen) ≈ ≈ 227,0251 – 71,1462 + 748,3616 – 481,3562 ≈ 422,88

Primitieven O’(x) = O(x + h) – O(x) = O(groene vlakdeel) ≈ f(x) · h De functie F is een primitieve van de functie f als F’ = f. Als F een primitieve van f is, dan zijn alle functies F + c primitieven van f. Het getal c heet de integratieconstante. Voor elke constante a geldt dat a · F een primitieve is van a · f. 10.3

Regels voor primitiveren Verder geldt dat als F een primitieve is van f, dan is een primitieve van f(ax + b). 10.3

opgave 40 a f(x) = ex+1 = ex · e = e · ex F(x) = e · ex + c = ex+1 + c b f(x) = F(x) = c f(x) =

Oppervlakte en primitieve O(V) = O(x) = F(x) + c = O(b) – O(a) = (F(b) + c) – (F(a) + c) = F(b) – F(a) = = F(b) – F(a) 10.3

opgave 49 I(L1+ L2) = I(L1) = ½ · 18π geeft π(½a2 – 2a) – π · (2 – 4) = 9π π(½a2 – 2a) + 2π = 9π ½a2 – 2a + 2 = 9 a2 – 4a – 14 = 0 D = 16 – 4 · 1 · -14 = 72 voldoet niet voldoet =

Kegel en Bol Door het vlakdeel ingesloten door de lijn y = de x-as en de lijn x = h te wentelen om de x-as ontstaat een kegel met straal r en hoogte h. I(kegel) = ⅓πr2h Door de cirkel c: x2 + y2 = r2 te wentelen om de x-as ontstaat een bol met straal r. I(bol) = 1⅓πr3 Door het vlakdeel ingesloten door de cirkel c, de y-as en de lijn x = ⅔r te wentelen om de x-as ontstaat een bolschijf. I(bolschijf) = 10.4

opgave 60

Booglengte De booglengte van het deel van de grafiek van een functie f tussen x = a en x = b is Bij de functie f(x) = krijg je de booglengte van het deel van de grafiek tussen x = 1 en x = 4 als volgt. f(x) = geeft booglengte = De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft booglengte ≈ 3,150. Dus de omtrek van het vlakdeel V in de figuur hiernaast is 3 + f(1) + f(4) + booglengte ≈ 7,400. 10.4

opgave 64 f(x) = geeft f’(x) = x De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 13,904. omtrek ≈ 5 + · 52 + 13,904 ≈ 31,40

opgave 66 f(x) = 5 geeft x3 – 3x2 + 5 = 5 x3 – 3x2 = 0 x2(x – 3) = 0 x = 0 ⋁ x = 3 f(x) = x3 – 3x2 + 5 geeft f’(x) = 3x2 – 6x De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft ≈ 8,8146. omtrek ≈ 3 + 8,8146 ≈ 11,81

Wentelen om de y-as Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en wordt ingesloten door de grafiek van de functie f, de y-as en de lijnen y = a en y = b. De inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de y-as wentelt is I(L) = 10.4

Substitutiemethode

Partieel integreren

Cyclometrische functies

Breuksplitsen