Oppervlakten berekenen een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor integralen... 6de jaar – 3 & 4u wiskunde Pedro Tytgat: Aanpassing Ronny Vrijsen

2 Vraagstelling We zoeken de oppervlakte tussen de grafiek van f(x) = x², de X-as en de verticale rechte met vergelijking x = 3. Hiervoor is er echter geen bestaande formule... We benaderen m.b.v. oppervlakten die we wel kennen: rechthoeken. opp = hoogte  breedte

3 Een eerste benadering We verdelen [0, 3] in 3 deel- intervallen. De breedte van elk rechthoekje noemen we  x. Bij 3 deelintervallen is  x = 1. De hoogte van elk rechthoekje vinden we door het eindpunt van elk interval in te vullen in de functie:  x 1 = 1  f(x 1 ) = 1  x 2 = 2  f(x 1 ) = 4  x 3 = 3  f(x 3 ) = 9 x1x1 x2x2 x3x3

4 Waarde van de eerste benadering Totale benaderde oppervlakte:  f(x 1 )   x = 1  1 = 1  f(x 2 )   x = 4  1 = 4  f(x 3 )   x = 9  1 = 9  opp(3) =  opp(3) = 14 x1x1 x2x2 x3x3 xx xx xx

5 Een betere benadering Verdelen we [0, 3] in 6 deel- intervallen, dan wordt de benadering al iets beter. Elk rechthoekje is nu half zo breed:  x = 0,5. De hoogte van elk rechthoekje:  x 1 = 0,5 : f(x 1 ) = 0,25  x 2 = 1 : f(x 2 ) = 1  x 3 = 1,5 : f(x 3 ) = 2,25 ...  x 6 = 3 : f(x 6 ) = 9 x2x2 x4x4 x1x1 x3x3 x6x6 x5x5

6 Een betere benadering: waarde De totale benaderde oppervlakte is nu:  f(x 1 )   x = 0,25  0,5 = 0,125  f(x 2 )   x = 1  0,5 = 0,5  f(x 3 )   x = 2,25  0,5 = 1,125  f(x 4 )   x = 4  0,5 = 2  f(x 5 )   x = 6,25  0,5 = 3,125  f(x 6 )   x = 9  0,5 = 4,5  opp(6) =  opp(6) = 11,375 x2x2 x4x4 x1x1 x3x3 x6x6 x5x5 xx xx xx xx xx xx

7 Nog meer deelintervallen Nemen we 12 deelintervallen, dan is  x = 0,25 en moeten we 12 hoogtes f(x i ) berekenen, waarbij i = 1, 2, 3,..., 12. We krijgen nu een som met 12 termen van de vorm: f(x i )   x. Beknopt: Waarde: opp(12) = 10,15625 x4x4 x8x8 x2x2 x6x6 x 12 x 10 x3x3 x7x7 x1x1 x5x5 x 11 x9x9

8 n deelintervallen! Voor n deelintervallen (een willekeurig aantal). n rechthoekjes met  vaste breedte:  x en  hoogte: f(x i ), met i = 1, 2,..., n. Formule: opp(n) = f(xi)f(xi) xixi

9 Oneindig veel deelintervallen Hoe groter n, hoe beter de benadering. Als n nadert tot + , nadert opp(n) tot de exacte oppervlakte S. Vertalen we deze laatste zin in het ‘wiskundigs’, dan krijgen we: S = 9

10 De bepaalde integraal Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte oppervlakte S op het interval [0, b] te schrijven is als: Men noemt een aldus verkregen oppervlak de bepaalde integraal van de functie f(x) van 0 tot b en noteert dit verkort als:

11 Oppervlakte op een interval [a, b] Uit de basisformule op het interval [0, b], kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle andere intervallen. Beschouw het interval [a, b], waarbij 0 < a < b: S = Of dus: ba

Algemene uitdrukking Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze formule ook geldt voor intervallen [a, b] met  a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de Y-as) of  a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de Y-as). Besluit: