Inleiding Adaptieve Systemen Populatiedynamiek en Chaos Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Inhoud Opkomst van non-determinisme en chaos in de natuurwetenschappen Definities, voorbeelden en eigenschappen: Determinisme, non-determinisme Semi-periodiciteit, chaos De logistieke vergelijking De logistieke vergelijking voor meerdere groepen Lotka-Volterra systemen Chaos in Lotka-Volterra systemen H13 Flake: “controlling chaos” Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Opkomst van noties als “non-determinisme” en “chaos” in de natuurwetenschappen Inleiding adaptieve systemen

Ontwikkeling van de hemelmechanica op één slide Aristoteles (–384, –322) nam aan dat zware objecten sneller vallen dan lichte objecten. Ptolemaeus (87-150) onderhield een geocentrisch beeld van ons zonnestelsel. Copernicus (1473-1543) beredeneerde (op grond van epicycli en parallax) het omgekeerde. Galilei keek naar Jupiter’s manen en concludeerde dat de aarde rond de zon draait (niet andersom, ). Kepler (1571-1630) benaderde banen van planeten met ellipsen i.p.v. de gebruikelijke cirkels (“perkenwet”). Huygens (1629-1695) kon betere klokken, lenzen, en telescopen maken zodat men beter kon meten in experimenten. Newton (1642-1727) ontdekte de mechanica en gravitatie, om zo te kunnen uitrekenen dat planeetbanen ellipsen zijn. Hanteren van ongetoetste aannamen Logica, deductie, en redeneren Observatie Observatie + modelleren Observatie + modelleren + meten Observatie + modelleren + meten + rekenen → verklaren en voorspellen Inleiding adaptieve systemen

Voorspelling komeet Halley In 1700: Halley maakt lijst van kometen. Eén komeet: 1531, 1607, 1682 In 1758: sterrenkundige Clairaut en wiskundige Mme Lepaute berekenen baan van komeet (moeilijk! – zon, Jupiter, Saturnus) Voorspelling: april 1759 ± één maand Het werd maart 1759 Inleiding adaptieve systemen

Mechanistisch- deterministisch wereldbeeld Oeuvres Vol 7: Introduction à la théorie des probabilités (1812-1820) Mechanistisch- deterministisch wereldbeeld “Een intelligentie die, op een zeker moment, alle krachten die in de natuur werken, en de toestanden van alle elementen waaruit deze is opgebouwd, zou kennen, zou, als ze overigens groot genoeg was om al deze gegevens te kunnen analyseren, in een enkele formule de beweging van de grootste lichamen in het heelal en die van het kleinste atoom beschrijven: niets zou hiervoor onzeker zijn, en de toekomst, net zoals het verleden, zou tegenwoordig zijn in haar ogen. De menselijke geest, die de sterrenkunde zo volmaakt heeft leren beschrijven, vormt een flauwe afspiegeling van zo'n intelligentie.” Na deze succesen dachten natuurwetenschappers dat het universum werkte als een klok en dat alles te voorspellen was. Pierre Simon Laplace (1749-1827) las op 10 Feb 1773 voor de Franse Academie van Wetenschappen een paper voor. Hij beargumenteerde dat als een super-genie (“Intelligence”) op een zeker moment alle posities en snelheden zou kennen, en die gegevens aan de hemelmechanica zou onderwerpen, hij toekomst en verleden op slag voor ogen zou hebben. Hier moet onmiddellijk aan toegevoegd worden dat Laplace’s argument niet principieel maar instrumenteel was. Hij beargumenteerde dat mensen kansrekening nodig hebben, juist omdát het geen genieën zijn. Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Omkeerbare Systemen De nieuwe wetenschap leidde tot de gedachte dat het universum voorspelbaar is (Genius van Laplace) De mechanische wetten van Newton beschrijven een omkeerbaar systeem. Dit houdt in dat als we de richting van de tijd veranderen, we het verleden en de toekomst omdraaien. Omkeerbare systemen behouden hun energie en daarom kunnen ze doorgaan met hun beweging. Voorbeelden hiervan: Een slingerklok als we wrijving verwaarlozen. Modellering van gas in een discrete CA volgens Navier-Stokes Inleiding adaptieve systemen

Fase-diagram van pendule Klik op plaatje voor applet Inleiding adaptieve systemen

Het N-lichamen probleem Poincaré (1854-1912) Het N-lichamen probleem: geef een wiskundig voorschrift dat beschrijft hoe N hemellichamen om elkaar heen cirkelen. Voor N = 2: Voor N = 3: Animaties: Twee vaste zonnen en één planeet (Harrison) Opmerkelijke drie-lichaams bewegingen (Butikov) chaos Gemeen-schappelijk zwaartepunt Netlogo: N-Bodies Inleiding adaptieve systemen

in populatiegroei met één soort en begrensde reserves Chaotisch gedrag in populatiegroei met één soort en begrensde reserves Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Populatiedynamiek Idee: Modelleer de grootte en groei van een populatie Probeer, op basis van dat model, te voorspellen hoe de populatie van moment tot moment groeit of afneemt Inleiding adaptieve systemen

Voorbeeld: groei wereldbevolking Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Soorten groei Onbegrense lineaire groei Onbegrensde exponentiële groei Begrensde groei (S-curve) Cyclisch (goede tijden, slechte tijden) Inleiding adaptieve systemen

Wat oorspronkelijk werd gedacht (volgens Flake) In een deterministisch model van populatie-dynamiek, belandt het systeem uiteindelijk in één van de volgende drie (meta-) toestanden: Stabiele toestand Cyclus Quasi-periodische cyclus Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Drie eindtoestanden Omvang convergeert naar vaste waarde. Hangt niet af van initiële omvang. Omvang convergeert naar een cyclus. Ook weer onafhankelijk van beginwaarden. Omvang convergeert naar een zg. quasi-periodische cyclus. (Vgl. planeetbanen: geen enkele planeet keert gegarandeerd terug naar dezelfde plek) Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Quasi-periodiek De functie f(x) = (x + q) mod 2π, met q een rationaal getal (breuk) Continu op de eenheidscirkel (= [0, 2π] met 2π ≡ 0) Niet stabiel Niet periodiek (immers, dan zou kq = mq + n2π, voor zekere n, wat zou impliceren dat q irrationaal is) Niet gevoelig voor minimale wijzigingen in startcondities (dus niet chaotisch) + q } dus quasi-periodiek Inleiding adaptieve systemen

Naar een model van populatie-dynamiek Aannames: Begrensde omgeving. Er zijn eindig veel reserves (voedsel, lucht, ruimte) Welzijn individu huidige generatie bepaalt kans op terugkomst in volgende generatie Inleiding adaptieve systemen

Voorbeelden van dynamiek in een begrensde omgeving Aantal bacteriën op een kweekschaaltje; peil dagelijks Aantal vissen die zwemmen in een vijver; peil maandelijks Aantal bezoekers van een attractiepark; peil maandelijks Inleiding adaptieve systemen

Kenmerken van dynamiek in een begrensde omgeving Er zijn eindig veel reserves (voedsel, ruimte, attracties) Welzijn individu huidige generatie bepaalt kans op terugkomst in volgende generatie Voorbeelden: Hoeveelheid voedsel voor bacteriën Ruimte voor vissen in een vijver Wachtrij-lengte voor bezoekers in een attractiepark Inleiding adaptieve systemen

Model voor populatie-dynamiek Randvoorwaarden: Bij bijna geen bezoekers neem het bezoekersaantal lineair toe: Xt+1 = aXt Als het bezoekersaantal dicht tegen het maximum M aanligt, neemt het bezoekersaantal lineair af: Xt+1 = aXt  aM Richtings-coëfficient a Richtings-coëfficient a M Probleem: twee verschillende en onverenigbare modellen voor één fenomeen Inleiding adaptieve systemen

Model voor populatie-dynamiek Nieuw model: parabool met nulpunten (0,0) en (M,0): Xt+1 =  (Xt  ½M)2 + (½M)2 Bij bijna geen bezoekers neem het bezoekersaantal ~ lineair toe Als het bezoekersaantal dicht tegen het maximum M aanligt, neemt het bezoekersaantal ~ lineair af Daartussen loopt de ene dynamiek (groei) vloeiend over in de andere (afname) Wiskunde: “continu differentieerbaar” ½ M M Inleiding adaptieve systemen

Geschaalde groeivergelijking Dezelfde vergelijking, maar dan geschaald: Xt+1 = 4r Xt (1  Xt ) Populatie-grootte (variabel): 0  Xt  1 Groeifactor r (constant): 0  r  1 1 r  1 r  0 ½ 1 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Opgave management Voorspel het aantal bezoekers in de komende jaren, als het aantal bezoekers in jaar t+1 gegeven wordt door de vergelijking Xt+1 =  (Xt  ½M )2 + (½M)2 Dezelfde vergelijking, maar dan geschaald: Xt+1 = 4 r Xt (1  Xt ) Populatiegrootte Xt variabel: 0  Xt  1 Groeifactor r constant: 0  r  1 Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.25 Convergeert naar nul bezoekers  park failliet Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.3 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.4 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.5 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.6 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.7 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.75 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.8 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.85 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.9 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.95 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.95751953125 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 1.0 Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.25 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.3 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.4 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.5 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.6 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.7 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.75 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.8 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.85 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.9 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.95 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Groeifactor 0.95751953125 Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 1.0 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

• In bijna alle literatuur: r: 1  4 • Flake: r: 1/4  1 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Vier eindtoestanden Uiteindelijk stabiel Uiteindelijk periodiek (Uiteindelijk) quasi-periodiek (Uiteindelijk) chaotisch Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Periodieke punten? Voor dekpunt los op: x = 4rx(1-x) Voor periodieke waarden (mod 2) los op: y = 4rx(1-x) x = 4ry(1-y) Voor periodieke waarden (mod 3) los op: z = 4ry(1-y) x = 4rz(1-z) Inleiding adaptieve systemen

Periodieke punten “op zicht” f f2 f3 f4 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Bifurcatie-diagram 1.0  Peri-o-die-ke waar-de groeifactor  0.8 0.85 0.95 1.0 Inleiding adaptieve systemen

Bifurcatie: van chaos naar periodiciteit (en terug) 1 2 Uit-rekken: 3 Inleiding adaptieve systemen

Feigenbaum’s constante d∞  4.669202… Hetzelfde geldt voor alle één-dimensionale afbeelingen op [0, 1] met één hobbel (zoals de zg. tent map) ! Inleiding adaptieve systemen

Chaos is deterministisch Determinisme: alles is oorzakelijk gedetermineerd. Alles verloopt volgens voorgeschreven wetten. (Genius van Laplace, Einstein’s uitspraak: “God doesn’t play dice.”) Chaos: een perturbatie (willekeurige kleine verandering in startwaarden) zorgt op de lange duur voor totaal ander gedrag Ziet er random uit! Asymptotisch ergodisch: elke bezochte toestand wordt, als je lang genoeg wacht, wel willekeurig dicht benaderd (Eng.: dense orbit) Oneindig veel (labiele) cycli (Eng.: unstable periodic orbit) Non-determinisme: in gebeurtenissen zit altijd een toevalsfactor (cf. quantummechanica). Inleiding adaptieve systemen

Is populatiedynamiek voorspelbaar? Ja: om te weten te komen hoeveel mensen het attractiepark over N jaar bezoeken, itereer je de logistieke vergelijking gewoon N keer. Nee: logistieke vergelijking is gevoelig voor perturbaties (willekeurig kleine veranderingen op beginwaarden) Dus op de computer kun je het nooit uitrekenen (want computers rekenen met eindige precisie). Vraag: hoe zit dat dan met implementaties van arbitrary-precision / bignum arithmetic? Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Schaduw-lemma Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Schaduw-lemma Wiskunde: Laat M een Riemann oppervlak zijn en f een diffeomorfisme op M. Laat V een compacte hyperbolische verz. zijn voor f. Dan is er een omgeving U van V zó dat voor elke ε > 0 er een δ > 0 is, zó dat elk δ-traject in U ε-geschaduwd word door een traject van f. Rieman oppervlak: vervormde versie van complexe vlak. Diffeomorfisme: glad & bijectief, en inverse is dat ook. Nederlands: elk berekend traject van f kan willekeurig dicht (ε) worden benaderd (“geschaduwd”) door een zuiver mathematisch traject van f, dat ook in die buurt (δ) start. De functie f, de ruimte M, en de startomgeving V moeten dan wel aan een aantal (redelijke) eisen voldoen. Inleiding adaptieve systemen

De logistieke map met r = 1.0 ligt dicht in [0,1] De rij van 4x(1-x) lijkt overal te komen. Is dat zo? Strict genomen niet: De rij x1, x2, x3, .. is aftelbaar [0,1] is over-aftelbaar Inleiding adaptieve systemen

Diagonaal-argument (Cantor) Bewering: (0, 1) is niet aftelbaar (= niet op een rij te zetten). ?: 0.221268360............... 1: 0.142343626578235369587... 2: 0.011013310333222824829... 3: 0.120876543849244764612... 4: 0.115112516464462462621... 5: 0.411153534536993555353... 6: 0.116677778897900490453... 7: 0.396536236258632331221... 8: 0.345465654645564645665... 9: 0.811221119121765005056... Stel toch. Dan kunnen we de elementen op een rijtje zetten. Selecteer van getal N het cijfer op de Ne plek. En tel daar 1 bij op. Dit getal komt niet voor in de rij. Tegenspraak met (1). Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen De logistieke map met r = 1.0 ligt dicht in [0,1] De rij van 4x(1-x) lijkt overal te komen. Is dat zo? Strict genomen niet: De rij x1, x2, x3, .. is aftelbaar [0,1] is over-aftelbaar Toch kan bewezen worden dat x1, x2, x3, .. willekeurig dicht bij elk willekeurig punt in [0,1] komt Dat heet: “de rij x1, x2, x3, .. ligt dicht in [0,1]” Een punt x heet een verdichtingspunt van een rij x1, x2, x3, .. als voor elke ε > 0 er een N bestaat zó dat | x – xN | ≤ ε. Er kan bewezen worden dat elk punt uit [0,1] een verdichtings-punt is van x1, x2, x3, .. ! Inleiding adaptieve systemen

Groei-dynamiek en chaos met meer dan één variabele Inleiding adaptieve systemen

Logistiek van twee groepen differentie-vergelijkingen R(t+1) = R(t) + a R(t) – b R(t) F(t) F(t+1) = F(t) + c R(t) F(t) – d F(t) a = 0.04 Intrinsieke groeifactor van konijnen (i.e., in afwezigheid van vossen) b = 0.0005 Sterftefactor van konijnen dankzij vossen c = 0.1 Groeifactor van vossen dankzij konijnen d = 0.2 Intrinsieke sterftefactor van vossen (i.e., in de afwezigheid van konijnen) Inleiding adaptieve systemen

Logistiek van twee groepen differentiaal-vergelijkingen dR(t)/dt = a R(t) – b R(t) F(t) dF(t)/dt = c R(t) F(t) – d F(t) a = 0.04 Intrinsieke groeifactor van konijnen (i.e., in afwezigheid van vossen) b = 0.0005 Sterftefactor van konijnen dankzij vossen c = 0.1 Groeifactor van vossen dankzij konijnen d = 0.2 Intrinsieke sterftefactor van vossen (i.e., in de afwezigheid van konijnen) Inleiding adaptieve systemen

Fase-diagram differentiaal-vergelijkingen Link naar Lotka-Volterra-tool (Pearson Education) Vos-sen Inleiding adaptieve systemen

Geen chaos in R2 bij continue systemen (waarom Tron niet chaotisch is) Een gevolg van de stelling van Poincaré-Bendixson: elk continu-dynamisch systeem zonder dekpunten in een compacte deelverzameling van R2, zal in de limiet een periodiek spoor afleggen. Dus een continu-dynamisch systeem in R2 kan nooit chaotisch gedrag vertonen. Inleiding adaptieve systemen

Logistiek van drie groepen Gezond (H), Ziek (S), en Immuum (I) Triviale stabiele punten: alle toestanden waar niemand ziek is. Als a groot is dan wordt iedereen snel ziek (maar zieke populatie herstelt gegarandeerd). I(t+1) = I(t) + bS(t) H(t+1) = H(t) – aH(t)S(t) S(t+1) = wat er overblijft Als b groot is dan herstelt iedereen snel―wellicht zó snel dat niet heel H ziek wordt. Hier is ook een CA versie van―zie dictaat Inleiding adaptieve systemen

Generalizatie naar N groepen Inleiding adaptieve systemen

Populatienivo’s in een groep met drie soorten Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Stabiel α = 0.75 : uitdemping naar stabiele toestand (dekpunt) Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Cyclus α = 1.2 : convergentie naar cyclus met periode 1 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Cyclus α = 1.32 : convergentie naar cyclus met periode 2 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Cyclus α = 1.387 : convergentie naar cyclus met periode 4 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Chaos α = 1.5 : systeem verloopt naar chaotische toestand Inleiding adaptieve systemen

Chaotisch gedrag in een groep met drie soorten M. Hirsch toonde in 1985 aan dat elke attractor zich bevindt op een oneindig differentieer-baar oppervlak van dimensie N – 1 Inleiding adaptieve systemen

Als Cellulaire Automaat Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Invloed-stromen Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Fase-diagram voor CA Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Samenvatting deterministisch Een deterministisch niet-linear dynamisch systeem kan in de volgende toestanden verkeren Stabiel Expansief (alleen mogelijk in onbegrensde systemen) Periodiek Quasi-periodiek (niet gevoelig voor perturbaties) Chaotisch (gevoelig voor perturbaties, oneindig veel labiele cycli) Chaos is een deterministisch verschijnsel Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Ongebruikte slides Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Chaotische processen Drie planeten die om elkaar heen cirkelen (het 3-lichamen probleem). De magnetische pendule. Het biljard van Bunimovich. Populaties met één soort en begrensde reserves (eten)  logistieke vergelijking. Lorenz’ waterwiel. Supply chain management. Inleiding adaptieve systemen

Beer distribution game Inleiding adaptieve systemen

Modellering van gas volgens Navier-Stokes (discreet) Discrete variant van Navier-Stokes vegelijking (1823) voor het modelleren van gasdynamiek. Bij botsing wordt momentum bewaard. Modellering in CA met zg. Margolus-omgeving: op even / oneven ticks overlappend rooster Netlogo: Lattice Gas Automaton Inleiding adaptieve systemen

Niet Omkeerbare Systemen Er zijn ook veel systemen waarbij bruikbare energie verloren gaat (thermodynamische systemen) Het is b.v. niet mogelijk om een machine te maken die altijd kan blijven doorgaan zonder dat deze extra energie krijgt Als voorbeeld van een niet-omkeerbaar systeem nemen we een vat met twee helften waarin aanvankelijk alle gasmoleculen in één helft zitten (een geordende toestand) Als we de wand die de helften scheidt wegnemen, dan zal de wanorde van het systeem bijna altijd toenemen Inleiding adaptieve systemen

On-omkeerbare systemen Er zijn 26 = 64 mogelijke deeltjes-configuraties: elk deeltje kan links of rechts zitten. Een paar (A, B) met A + B = 6 heet een toestand. Elke toestand heeft een multipliciteit: bv. Mult(2, 4) = “kies 2 uit 6” = 6!/(4!2!) = 15. Pr(6,0) = 1/64, Pr(5,1) = 6/64, Pr(4,2) = 15/64, Pr(3,3) = 20/64. Normaal ong. 1024 deeltjes. Pr(“wanorde”) = Pr(“ong. evenwicht”) >> Pr(“ong. één kant”) = Pr(“orde”) Inleiding adaptieve systemen Netlogo: Gaslab Second Law

Inleiding adaptieve systemen Entropie Het is te verwachten dat het systeem naar een evenwicht gaat met de meeste mogelijke realisaties, dus met A = B. Boltzmann definieerde de entropie van het systeem: S = k log P, met P = “kies A uit A+B” Omdat de entropie voortdurend toeneemt en er een toestand is met maximale entropie, zal het systeem uiteindelijk in een evenwicht terecht komen, het systeem is dan dus niet omkeerbaar. Dit leidde tot de twee wetten van de thermodynamica (Classius 1865): De energie van de wereld is constant. De entropie van de wereld gaat naar een maximale waarde. Dit geldt voor gesloten systemen. (Open systemen zoals levende wezens kunnen hun entropie verminderen door bruikbare energie van hun omgeving op te nemen.) Inleiding adaptieve systemen

De stelling 4x(1-x)∞ ligt dicht in [0,1] De tent map (def. door gevals-onderscheiding.) Topologisch geconjugeerd met de logistieke map (  gedragen zich identiek bij iteratie). Van de tent map is makkelijker te bewijzen dat deze, indien geïtereerd met μ = 1, dicht ligt in [0,1] 1 μ 1/2 1 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding adaptieve systemen Oorzaak en gevolg X is voldoende voor Y: als X zich voordoet, gebeurt Y ook. X is noodzakelijk voor Y: gebeurtenis Y kan alleen worden veroorzaakt door X. Volgens Daniel Dennett in “The Freedom Evolves”: Niet equivalent: Determinisme “Alles heeft een oorzaak” Ook niet equivalent: Non-determinisme “Niets heeft een oorzaak” Inleiding adaptieve systemen

Controle van chaos (Hoofdstuk 13, Flake) Eigenschappen van elke chaotische attractor: Bezit oneindig veel labiele cycli Hopt van cyclus naar cyclus Het controleren van chaos: Wachten tot een traject in een labiele cyclus terechtkomt Vervolgens het traject licht bijsturen zodat het in de labiele cyclus blijft Twee methoden: De OGY (Ott, Grebogi and Yorke) methode: sturen met discrete “bursts” Pyragas’ continue controle: correctiekracht hangt af van verschil met labiele cyclus Beide methoden vereisen dat de labiele cycli van te voren worden bepaald. Toepassingen: Turbulentie in vloeistofstromingen Magnetisch-mechanische oscillatoren Pacemakers (apparaat om hartritmesoornissen te verhelpen) Inleiding adaptieve systemen