Project D2: Kempenland Sander Verkerk Christian Vleugels Begeleider: Annemarie Aarts Opdrachtgever: Monique van den Broek

Beveiliging van museum Kempenland Zandloper Dobbelen Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Het probleem Probleembeschrijving Gegeven: Plattegrond van het museum Soorten camera’s: 90°-camera 180°-camera 360°-camera Doel: Plaats camera’s zodanig dat alle gehele coördinaten in het museum beveiligd zijn tegen minimale kosten

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper De camera’s

Beveiliging van museum Kempenland Inleiding Het probleem Wat te bepalen? Hoe pakken we het aan? Overstap naar de wiskunde Flowchart Algoritmen Java programma Voorbeeld op klein niveau Terug naar het museum Resultaten Conclusie

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Wat gaan we bepalen? Doel: Plaats camera’s zodanig dat alle gehele coördinaten in het museum beveiligd zijn tegen minimale kosten Harde eis: Alle gehele coördinaten moeten beveiligd worden Iedere soort camera heeft voorwaarden

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Hoe pakken we het aan? Overstap naar de Wiskunde Java programma Optimalisatie

Overstap naar de Wiskunde Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Overstap naar de Wiskunde Muren zijn rechte lijnen met een richtingscoëfficiënt op een bepaald domein Kostenfunctie: Totale kosten = #(90°-camera’s) x + #(180°-camera’s) x #(360°-camera’s) x

Overstap naar de Wiskunde Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Overstap naar de Wiskunde Ken waarden toe aan potentiële camera-punten: 1 als er een camera is geplaatst 0 als er geen camera is geplaatst Dit leidt tot de volgende Kostenfunctie:

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Optimalisatie Minimaliseer: Onder de voorwaarde: (In woorden: per punt dat beveiligd moet worden, moet er minstens 1 camera zijn die dat punt beveiligd)

Overstap naar de Wiskunde Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Overstap naar de Wiskunde Verzamelingen definiëren: M = {punten die muur zijn} Hierin hebben we 2 soorten: Buitenmuur en Binnenmuur B = {punten die beveiligd moeten worden} C90 = {punten waar een 90 graden camera kan} C180 = {punten waar een 180 graden camera kan} C360 = {punten waar een 360 graden camera kan} S(b) = {c ϵ Cx | b ϵ B, b-c snijd geen muur}

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Flowchart Bepaal alle roosterpunten (x,y); Bepaal welke roosterpunten een muur zijn; Bepaal welke muren buitenmuren zijn; Bepaal de roosterpunten die beveiligd moeten worden; Bepaal de roosterpunten waar je welke camera kunt hangen; Bepaal welke camera’s een punt uit B kunnen beveiligen; Bepaal welke hieruit overbodig zijn.

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Algoritmen Algoritme voor het bepalen van M; Algoritme voor het bepalen van de buitenmuren/binnenmuren Algoritme voor het bepalen van B; Algoritme voor het bepalen van C90, C180, C360 Algoritme voor het bepalen van S(b).

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper M bepalen xStart = xEind: Muur is een verticale lijn, verhoog de y-waarde steeds met 1 yStart = yEind: Muur is een horizontale lijn, verhoog de x-waarde steeds met 1 Schuine muur Bepaal de richtingscoëfficiënt, verhoog de x-waarde met 1 en kijk of de y-waarde die bij die x-waarde hoort een roosterpunt is

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Buitenmuren bepalen

Beveiliging van museum Kempenland B bepalen

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper C90, C180, C360 bepalen Twee mogelijkheden: Punt op de muur is snijpunt van 2 (of meerdere) muren Punt op de muur is geen snijpunt

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Punt is een snijpunt 3 zijden van een driehoek bekend, dan liggen de hoek van die driehoek vast Cosinusregel:

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Punt is een snijpunt Nu nog de twee kijkrichtingen vinden waartussen de camera kan kijken: minimale kijkrichting, maximale kijkrichting

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Gevalsonderscheid Snijpunt is beginpunt ene muur, eindpunt andere muur Snijpunt is beginpunt ene muur, beginpunt andere muur Snijpunt is eindpunt ene muur, eindpunt andere muur Snijpunt ligt tussen het begin- en eindpunt van de ene muur Snijpunt ligt tussen het begin- en eindpunt van de andere muur

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Punt is geen snijpunt Punt is uiteinde van een muur: 360°-camera die helemaal rondkijkt Punt ligt op een binnenmuur: 180°-camera die naar boven kijkt, 180°-camera die naar beneden kijkt Punt ligt op een buitenmuur: 180°-camera die naar “binnen” kijkt

Beveiliging van museum Kempenland S bepalen Bekend: Begin- en eindpunten van de muren Punt dat beveiligd moet worden Alle camerapunten Muur beschrijven als een functie: y = am ∙ x + bm Lijn tussen punt en camera beschrijven als een functie: y = ac ∙ x + bc

Beveiliging van museum Kempenland S bepalen Snijpunt berekenen: am ∙ x + bm = ac ∙ x + bc x = Bepalen of het snijpunt op de lijn en de muur ligt.

Beveiliging van museum Kempenland Java programma Leest de txt-file van de coördinaten van de begin- en eindpunten van de muren Maakt array van alle roosterpunten Maakt een mooie plattegrond van het museum Maakt gebruik van vectoren voor de verzamelingen Geeft uiteindelijk voor ieder punt, welke camerapunten dat punt kunnen beveiligen

Beveiliging van museum Kempenland Dobbelen Zandloper Voorbeeld

Beveiliging van museum Kempenland Zandloper Voorbeeld Zelf berekend: Een optimale oplossing is: 90°-camera met coördinaten ((0,0), 0, 90) ((3,3), 180, 270) Minimale kosten: 2 x €3000,- = €6000,-

Beveiliging van museum Kempenland Zandloper Voorbeeld Met behulp van het programma: Een optimale oplossing is: 90°-camera met coördinaten ((0,0), 0, 90) ((3,0), 90, 180) Minimale kosten: 2 x €3000,- = €6000,-

Beveiliging van museum Kempenland Zandloper Terug naar het museum

Beveiliging van museum Kempenland Zandloper Terug naar het museum Met behulp van het programma: De optimale oplossing: 15 camera’s: 4 90°-camera’s 11 180°-camera’s 0 360°-camera’s Minimale kosten: 4 x €3000,- + 11 x €5000,- = €67000,-

Beveiliging van museum Kempenland Zandloper Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Zandloper Conclusie Het Java-programma werkt voor het kleine voorbeeld Cplex geeft ons “dezelfde” optimale oplossing voor het kleine voorbeeld Dus we nemen aan dat het voor het museum ook werkt Optimale oplossing: €67000,-

Beveiliging van museum Kempenland Zandloper Zijn er nog vragen?