vwo D Samenvatting Hoofdstuk 9

Vier vergelijkingen van een lijn De vergelijking y = ax + b. De richtingscoëfficiënt van de lijn is a en het snijpunt van de lijn met de y-as is (0, b). De vergelijking ax + by = c. Dit is de algemene vorm van een lineaire vergelijking met de variabelen x en y. De assenvergelijking De lijn snijdt de assen in de punten (a, 0) en (0, b). De vergelijking De lijn gaat door de punten A(xA, yA) en B(xB, yB). 9.1

Onafhankelijke, strijdige en afhankelijke stelsels Als de lijnen k: ax + by = c en l: px + qy = r elkaar snijden, geldt en is het bijbehorende stelsel onafhankelijk evenwijdig zijn en niet samenvallen, geldt en is het bijbehorende stelsel strijdig samenvallen, geldt en is het bijbehorende stelsel afhankelijk. 9.1

ACB = 90° geeft rcAC · rcBC = -1 opgave 20 rcAC = rcBC = ACB = 90° geeft rcAC · rcBC = -1 p – 4 = -(p – 10) p – 4 = -p + 10 2p = 14 p = 7 Dus C(7, 5) 9.1

De afstand tussen twee punten De afstand tussen de punten A(xA, yA) en B(xB, yB) is d(A, B) = y B(xB, yB) • ∣yA - yB∣ • • ∟ C A(xA, yA) ∣xA - xB∣ x O 9.2

De afstand van een punt tot een lijn De afstand van het punt P(xP, yP) tot de lijn k: ax + by = c is d(P, k) = 9.2

P(x, y) op een bissectrice van k en l geeft d(P, k) = d(P, l). opgave 30 P(x, y) op een bissectrice van k en l geeft d(P, k) = d(P, l). ∣3x – 4y + 12∣ = ∣4x – 3y + 6∣ 3x – 4y + 12 = 4x – 3y + 6 ⋁ 3x – 4y + 12 = -(4x – 3y + 6) -x – y = -6 ⋁ 3x – 4y + 12 = -4x + 3y – 6 x + y = 6 ⋁ 7x – 7y = -18 Dus m: x + y = 6 en n: 7x – 7y = -18 9.2

De notatie x = a + pλ ⋀ y = b + qλ In de parametervoorstelling k: x = a + pλ ⋀ y = b + qλ van de lijn k is (a, b) een punt van de lijn en is een richtingsvector van de lijn. Voor elke waarde van λ krijg je een punt van de lijn. Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht op die lijn staat. Een normaalvector nl van de lijn l: ax + by = c is nl = 9.3

Bewegingen in het platte vlak Vooral als je te maken hebt met bewegingen in het platte vlak, is het handig om gebruik te maken van parametervoorstellingen. Het platte vlak bestaat uit 4 kwadranten 9.3

Het midden M van PQ is = (3 + λ, 1 + λ). opgave 42 Stel P(6 + λ, 0), dan is Q(0, 2 + 2λ). Het midden M van PQ is = (3 + λ, 1 + λ). Voor M geldt dus x = 3 + λ ⋀ y = 1 + λ. M ligt op de lijn met s = en r = Dus n = en een vergelijking van de lijn is 2x – y = 5. 6 + λ + 0 0 + 2 + 2λ 2 2 , 3 1 1 2 2 -1 9.3

De cirkelvergelijking x2 + y2 + ax + by + c = 0 Een vergelijking van een cirkel kan worden geschreven in de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0. Door kwadraatafsplitsen is de vergelijking te schrijven in de vorm (x – xM)2 + (y – yM)2 = r2. Uit de laatste vergelijking lees je af: het middelpunt is M(xM, yM) en de straal is r. 9.4

Raaklijnen aan cirkel Raaklijn in punt A(xA, yA) op de cirkel x2 + y2 = r2. Gebruik de formule xAx + yAy = r2 Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt. Voor het opstellen van de vergelijking van de raaklijn met een gegeven richtingscoëfficiënt aan een cirkel zijn er drie methoden. De discriminant-methode Met de afstandsformule Met een loodlijn door M Raaklijnen door punt buiten de cirkel. 9.4

De poollijn van een punt ten opzichte van een cirkel Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de cirkel x2 + y2 = r2 in de punten A en B, dan is de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de cirkel het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de cirkel een vergelijking van de lijn AB: xPx + yPy = r2. Als de cirkel de vergelijking (x – xM)2 + (y – yM)2 = r2 heeft, dan is de vergelijking van de poollijn (xP – xM)(x – xM) + (yP – yM)(y – yM) = r2. 9.5

De macht van een punt ten opzichte van een cirkel PM 2 – r2 is de macht van het punt P ten opzichte van de cirkel met middelpunt M en straal r. De macht van het punt P(xP, yP) ten opzichte van de cirkel x2 + y2 + ax + by + c = 0 is gelijk aan xP2 + yP2 + axP + byP + c. 9.5

De machtlijn van twee cirkels De machtlijn van twee niet-concentrische cirkels is de lijn waarop alle punten liggen die gelijke machten hebben ten opzichte van beide cirkels. Van de cirkels c1: x2 + y2 + ax + by + c = 0 en c2 : x2 + y2 + px + qy + r = 0 is de vergelijking van de machtlijn (a – p)x + (b – q)y + c – r = 0. Bij twee snijdenden cirkels gaat de machtlijn door de snijpunten van de cirkels. 9.5

Dus R is niet het midden van PQ. opgave 80 AM: y = x en BN: y = -x + 6 Los op x = -x + 6 x = 6 x = Dus P( , ) AN: y = x rcDP = Dus DP: y = x + 3 Los op x = x + 3 x = 3 Dus Q( , ) AC: y = x DP: y = x + 3 Los op x = x + 3 x = 3 x = Dus R( , ). Het midden van PQ is Dus R is niet het midden van PQ. 9.6