vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 2

horizontale lijn a = 0  y = getal De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a = hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as horizontale lijn a = 0  y = getal 2.1

· · Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 y 2 1 1 2 3 4 5 x 3 -1 -2 4 -3 voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 y 1) gebruik het snijpunt met de verticale as en de r.c. 2 teken de rechte lijn · 1 1 2 3 4 5 snijpunt (0,-2) x 3 -1 r.c. = ¾ · -2 4 -3 noemer altijd naar rechts teller naar boven of beneden 2.1

voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig 2) maak een tabel met 2 punten y 2 x 4 · 1 y -2 1 1 2 3 4 5 x teken de grafiek m.b.v. de tabel -1 · -2 -3 2.1

werkschema : het oplossen van lineaire vergelijkingen voorbeeld 4(2x – 3) = 6x – 8 1 staan er haakjes ? werk ze weg 8x – 12 = 6x – 8 2 termen met x naar links, de rest naar rechts 8x – 6x = -8 + 12 3 herleid beide leden 2x = 4 4 deel door het getal voor x x = 4/2 = 2 2.1

· · rechts ∆x omhoog ∆y Richtingscoëfficiënt berekenen y B yB A yA xA yB – yA = ∆y yB dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x xA xB x xB – xA = ∆x 2.2

· · rechts ∆x 4 omhoog ∆y -3 voorbeeld y A 4 B 1 1 5 x Gegeven zijn de punten A(1, 4) en B(5, 1). Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B. y · 4 A 4 yB – yA = 1 - 4 rechts ∆x 4 xB – xA = 5 - 1 -3 omhoog ∆y -3 · r.c. = ∆y : ∆x rc = -3/4 = -¾ m: y = ax + b y = -¾x + b door A(1, 4) 4 = -¾ · 1 + b 4 = -¾ + b 4¾ = b  b = 4¾ m : y = -¾x + 4¾ B 1 1 5 x Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule, de manier blijft hetzelfde. 2.2

Formules van lijnen bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen : 1 de formule volgt uit de tekst 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen 3 een punt en de r.c. zijn gegeven 4 twee punten zijn gegeven 2.2

1 de formule volgt uit de tekst Een zwembad wordt gevuld met water op t = 0 is de waterhoogte 5 cm. iedere minuut stijgt het water met 7 cm. in de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minuten de formule wordt dan : h = 5 + 7t of h = 7t + 5 2.2

delen door hetzelfde getal 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen delen door hetzelfde getal altijd 1 naar rechts y : 2 2 · 2 1 rechts 2 1 omhoog -3 -1,5 1 2 3 4 5 x -3 : 2 -1 · dus r.c. = -1,5 snijpunt met de verticale as is (0, 1) de formule wordt dan y = -1,5x + 1 -2 -3 2.2

· · 3 een punt en de r.c. zijn gegeven y 8 A 6 4 2 1 2 3 4 5 x -2 de lijn m gaat door het punt A(2, 6) en r.c.m = -4 alg. verg. : y = ax + b r.c.m = a = -4 y = -4x + b de lijn gaat door het punt (2, 6) 6 = -4 · 2 + b 6 = -8 + b 6 + 8 = b 14 = b b = 14 dus m : y = -4 x + 14 y 8 · A 1 6 -4 4 · 2 1 2 3 4 5 x -2 2.2

· · rechts 20 1 omhoog 60 3 4 twee punten zijn gegeven N 80 60 40 20 5 : 20 N 80 rechts 20 1 60 omhoog 60 3 60 40 : 20 · 20 dus r.c. = 3 snijpunt met de verticale as is (0, 20) de formule wordt dan N = 3t + 20 20 5 10 15 20 25 t 2.2

Opties van de GR Op de GR kun je formules invoeren en vervolgens de grafieken plotten. De GR bezit opties om : bij een gegeven x de y-waarde te berekenen de coördinaten van snijpunten te berekenen de coördinaten van toppen te berekenen de coördinaten van de snijpunten van een grafiek met de x-as te berekenen bij een formule een tabel laten maken 2.3

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR ? 1 noteer de formules die je invoert, dus schrijf op y1 = … en y2 = … 2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat 3 beantwoord de gestelde vraag 2.3

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming. praktisch probleem met gegevens en tabellen wiskundig model pas het model toe stel het model bij voorspellingen en conclusies gegevens en tabellen controle 2.3

Algebraïsch oplossen van kwadratische vergelijkingen 1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule 2.4

1 x² = getal x = √getal v x = -√getal voorbeeld 1 x² = 7 x = √7 v x = -√7 voorbeeld 2 x² = -16 x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen voorbeeld 3 (x + 5)² = 16 x + 5 = √16 v x + 5 = -√16 x + 5 = 4 v x + 5 = -4 x = 4 – 5 v x = -4 – 5 x = -1 v x = -9 a x² = positief getal 2 oplossingen b x² = 0 x = 0  1 oplossing c x² = negatief getal k.n.  geen oplossing 2.4

2 Ontbind in factoren prod=+15 +1 +15 -1 -15 +3 +5 -3 -3 -5 -5 a maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen b vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk c ontbind het linkerlid in factoren d A · B = 0  A = 0 v B = 0 voorbeeld 1 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 prod=+15 ad a opgeteld = -8 +1 +15 ad b -1 -15 ad c product = +15 +3 +5 ad d -3 -3 -5 -5 ad d 2.4

3 De abc-formule bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 2.4

De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1 algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = 3 prod= -3 +1 +1 -3 -3 -1 +3 2.4

f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y1 = x² en y2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 2.4

Wanneer ligt de dalparabool onder de bergparabool ? voorbeeld Wanneer ligt de dalparabool onder de bergparabool ? x2 – 4x ≤ -x2 – 5x + 6 x2 – 4x = -x2 – 5x + 6 x2 + x2 – 4x + 5x – 6 = 0 2x2 + x – 6 = 0 D = 12 – 4 · 2 · -6 D = 1 + 48 = 49 x = (-1 ± √49) : 4 x = 1,5 v x = -2 -2 ≤ x ≤ 1,5 -2 1,5 2.4

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporen hoogste punt  maximum max.  grootste functiewaarde max. is een y-coördinaat laagste punt  minimum max. en min. heten uiterste waarden of extremen 2.5

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR 1 voer de formule in bij y1 2 schets de grafiek 3 gebruik de opties maximum en/of minimum bij het berekenen van de extreme waarden 4 zet in je schets de coördinaten van de toppen 5 noteer de extreme waarden in de vorm : min. is f(…) = … of max. is f(…) = … 2.5

Werkschema: het tekenen van de grafiek van een functie 1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster, waarbij het verloop van de grafiek goed zichtbaar is. 2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift. 3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen. 2.5

192 opgave 56 h = 0,021x(192 – x) a h = 0  0,021x(192 – x) = 0 x = 0 v x = 192 er zit 192 m. tussen de uiteinden op de grond voer in y1 = 0,021x(192 – x) met Xmin = 0 , Xmax = 200 , Ymin = 0 en Ymax = 200 optie maximum x = 96 en y = 193,536 dus de boog is 193,5 m. hoog c voer in y2 = 165 optie intersect x ≈ 59,14 en x ≈ 132,86 de afstand is 132,86 – 59,14 ≈ 73,7 m. 193,536 165 59,14 96 132,86 192 2.5