vwo B Samenvatting Hoofdstuk 11

Goniometrische formules xP = cos(α) en yP = sin(α) xQ = xP en yQ = yP Dus sin(-α) = yQ = -yP = -sin(α) en cos(-α) = xQ = xP = cos(α) xR = -yP yR = xP sin(α + ½ π) = yR = xP = cos(α) cos(α + ½ π) = xR = -yP = -sin(α) 11.1

Goniometrische vergelijkingen sin(A) = sin(B) geeft A = B + k · 2π ⋁ A = π – B + k · 2π cos(A) = cos(B) geeft A = B + k · 2π ⋁ A = -B + k · 2π 11.1

Verschil-, som- en verdubbelingsformules 11.1

Lijn- en puntsymmetrie De grafiek van f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a. Voor elke p geldt f(a – p) = f(a + p). De grafiek van de functie f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a als voor elke p geldt f(a – p) = f(a + p). De grafiek van f is puntsymmetrisch in het punt (a, b). Voor elke p geldt f(a – p) – b = b – f(a + p) of f(a – p) + f(a + p) = 2b. De grafiek van de functie f is puntsymmetrisch in het punt (a, b) als voor elke p geldt f(a – p) + f(a + p) = 2b. 11.1

De afgeleide van sinus, cosinus en tangens f(x) = sin(x) geeft f’(x) = cos(x) g(x) = cos(x) geeft g’(x) = -sin(x) f(x) = sin(ax + b) geeft f’(x) = a cos(ax + b) g(x) = cos(ax + b) geeft g’(x) = -a sin(ax + b) f(x) = tan(x) geeft f’(x) = en f’(x) = 1 + tan2(x). 11.2

[cos(x)]’ = [sin(x + ½π)]’ = cos(x + ½π) = -sin(x) opgave 28 [cos(x)]’ = [sin(x + ½π)]’ = cos(x + ½π) = -sin(x) 11.2

Primitieven van sinus en cosinus De primitieven van f(x) = sin(x) zijn F(x) = -cos(x) + c De primitieven van g(x) = cos(x) zijn G(x) = sin(x) + c De primitieven van f(x) = sin(ax + b) zijn F(x) = cos(ax + b) + c De primitieven van g(x) = cos(ax + b) zijn G(x) = sin(ax + b) + c 11.3

f(x) = sin(2x) met domein [0, ½π] opgave 50 f(x) = sin(2x) met domein [0, ½π] I(L) = 11.3

Eenparige cirkelbeweging Doorloopt het punt P met hoeksnelheid ω de cirkel met middelpunt (a, b) en straal r en bevindt P zich op t = 0 in het punt (a + r, b), dan hoort hierbij de parametervoorstelling De omlooptijd van P is T = Het punt P voert een eenparige cirkelbeweging uit. Bij positieve hoeksnelheid draait P tegen de wijzers van de klok in en bij negatieve hoeksnelheid draait P met de wijzers van de klok mee. Bevindt Q zich op t = 0 in het punt (a + r, b), dan horen bij Q de bewegingsvergelijkingen xQ = a + r cos(ω(t – t0) en yQ = b + r sin(ω(t – t0)). xP = a + r cos(ωt) yP = b + r sin(ωt) 11.4

De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt (-1, 3) en straal 2. opgave 56 x = -1 + 2 cos(t) y = 3 + 2 sin(t) De pv van de baan van P is a Op t = 0 is P in (1, 3). P draait linksom. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt (-1, 3) en straal 2. b x = 0 geeft -1 + 2 cos(t) = 0 cos(t) = ½ t = ⅓π + k · 2π ⋁ t = -⅓π + k · 2π t op [0, 1½π] geeft t = ⅓π yA = 3 + 2 sin(⅓π) = 3 + 2 · = 3 + , dus A(0, 3 + ) 11.4