Discreet en dynamisch Johan Deprez T3-symposium, Oostende aug. 2005 slides op www.ua.ac.be/johan.deprez

Kennismaking economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde en statistiek in de kandidaturen/Bachelor academische lerarenopleiding wiskunde academische lerarenopleiding wiskunde stuurgroep T3 redactie tijdschrift Uitwiskeling

Overzicht Met andere ogen kijken naar een klassieker ... Medicijnspiegel Lineaire recursievergelijkingen van ... Evolutie van de bevolking van de VS Logistische groei Logistische recursievergelijking

Met andere ogen kijken naar een klassieker … Voor de aanleg van een brug over een spoorweg moet zand aangevoerd worden. Op de plaats waar het zand gewonnen wordt, is er een kleine vijver van 900 m2, die door de graafwerken vergroot wordt. Men wil er een grote vijver van maken die dienst zal doen voor waterrecreatie. Elke week wordt de vijver 150 m2 groter. Bij het begin van de werken merkt een arbeider van de graaffirma op dat een bepaalde algensoort 8 m2 van de oppervlakte van de vijver inneemt. Tijdens de volgende weken blijkt deze oppervlakte elke week met een kwart (van de oppervlakte die op dat ogenblik reeds ingenomen is) toe te nemen. De arbeider maakt zich ongerust en merkt op dat hier iets aan gedaan moet worden. De vijver zal anders vlug volledig volgegroeid zijn met algen. Maar zijn baas ziet voorlopig geen gevaar: "De vijver wordt toch elke week 150 m2 groter."

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: klassiek groei (opp. van de) vijver: begin: 900 (m2) elke week: +150 (m2) lineaire groei: (eerstegraadsfunctie) t = tijd (in weken) tijd als continue veranderlijke: alle waarden van t zijn bruikbaar realistisch? (elke dag, elk uur, ... even veel?) in overeenstemming met gegevens?

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: discreet groei (opp. van de) vijver: begin: 900 (m2) elke week: +150 (m2) rij (beschreven door formule voor algemene term) recursievergelijking met beginvoorwaarde lineaire groei: (rekenkundige rij) n = tijd (in weken) tijd als discrete veranderlijke: alleen gehele waarden van n worden gebruikt

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: wiskundig model groei (opp. van de) vijver: begin: 900 (m2) elke week: +150 (m2) geeft deze rij een volledig realistische beschrijving? neen! “mooie” (eenvoudige) rij die ... ... de realiteit benaderend weergeeft wiskundig model voor de realiteit

Met andere ogen kijken naar een klassieker ... groei (opp. ingenomen door) algen: begin: 8 (m2) elke week: +25% of 1.25 rij (beschreven door formule voor algemene term) recursievergelijking met beginvoorwaarde exponentiële groei: (meetkundige rij) (continu: (exponentiële functie))

Met andere ogen kijken naar een klassieker ... discreet: tijd als discrete (i.p.v. continue) grootheid: tijd neemt alleen natuurlijke getallen als waarden aan werken met rijen i.p.v. functies dynamisch: focussen op veranderingsproces, nl. verband tussen opeenvolgende termen van de rij ... geformaliseerd door een recursievergelijking (of differentievergelijking): een vergelijking met een rij als onbekende en waarin een verband gegeven wordt tussen een term van de rij en een of meer voorgaande termen

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: differentievergelijking groei (opp. ingenomen door) algen: begin: 8 (m2) elke week: +25% of 1.25 rij (beschreven door formule voor algemene term) differentievergelijking met beginvoorwaarde exponentiële groei: (meetkundige rij) (continu: (exponentiële functie))

Met andere ogen kijken naar een klassieker ...: groeisnelheid ... is evenredig met aanwezige hoeveelheid algen (absolute) groeisnelheid ... ONTHOUD: exponentiële groei asa relatieve groeisnelheid constant ... is constant relatieve groeisnelheid ...

Discrete wiskunde in de leerplannen leerplan VVKSO 3de graad ASO - 6u: “De leerlingen kunnen problemen met betrekking tot discrete veranderingsprocessen wiskundig modelleren en oplossen. (DI3)” keuze-onderwerp iteratie vrije ruimte discrete veranderingsprocessen/iteratie ook toegankelijk voor andere richtingen in ASO en TSO van vrij onderwijs via keuze-onderwerpen gemeenschapsonderwijs: zou passen bij de facultatieve uitbreiding

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: een technische kwestie geeft (voor alle n ≥ 0) oorspronkelijke recursievergelijking: (voor alle n ≥ 1) equivalente vormen!

Medicijnspiegel elke dag toedienen van een dosis van 1500 mg in één dag verdwijnt 25% van de hoeveelheid begin: 1500 (mg) elke dag: eerst 0.75, dan +1500 (mg) combineren van ‘recursieve bewerkingen’ bij meetkundige en rekenkundige rij! Hoe evolueert de hoeveelheid medicijn in het bloed?

Medicijnspiegel: basisscherm TI84 vertraagd ... ... stijgend met limietwaarde 6000

Medicijnspiegel: vergelijking en tabel via [MODE] via [2nd] [TBLSET] via [2nd] [TABLE] beginterm heeft rangnummer 0 u boven [7] n via [X,T,,n] via [Y=] accolades worden door de rekenmachine geplaatst !

Medicijnspiegel: grafiek via [GRAPH] via [TRACE] vertraagd ... ... stijgend met limietwaarde 6000 via [WINDOW]

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling via [2nd] [FORMAT] daarna [GRAPH]

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling recursievergelijking 1ste bissectrice

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [TRACE] x-coördinaat van de cursor is beginwaarde (1500,0)

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [pijltje rechts] y-coördinaat van de cursor is H1 (1500,2625) vul 1500 in voor H0 in (1500,0) vul 1500 in voor x in

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling H1 wordt m.b.v. de 1ste bissectrice overgebracht van de y- naar de x-coördinaat [pijltje rechts] (1500,2625) (2625,2625) (1500,0)

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [pijltje rechts] (2625,3468.75) (1500,2625) (2625,2625) vul 2625 in voor H1 in (1500,0) vul 2625 in voor x in

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling ??!! SPINNENWEBDIAGRAM enzovoort opeenvolgende waarden van H: - zie opeenvolgende verticale lijntjes OF - zie opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na) vertraagd stijgend met limietwaarde 6000: trap die omhoog gaat met steeds kleinere treden en die ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten

Medicijnspiegel: limiet en evenwicht op lange termijn is de hoeveelheid actieve stof in het bloed in evenwicht (?!) limietwaarde 6000 is evenwichtswaarde

Medicijnspiegel: dynamisch evenwicht bij evenwicht: 1500 mg verdwijnt uit lichaam 1500 mg wordt toegevoegd HOEVEELHEID medicijn blijft gelijk, maar het zijn niet allemaal dezelfde moleculen: dynamisch evenwicht

Medicijnspiegel: stabiel evenwicht aanvankelijk 6000 mg medicijn in bloed beginnen met 4500 mg medicijn in bloed Iemand neemt het medicijn al jaren in en vergeet een bepaalde dag het medicijn in te nemen. Wat gebeurt er? evenwicht wordt hersteld Als het systeem eerst in evenwicht is en daarna uit evenwicht gebracht wordt, dan keert het terug naar het evenwicht: stabiel evenwicht.

Medicijnspiegel: evenwicht berekenen, evenwicht en beginwaarde evenwicht is het getal E waarvoor E = 0.75E + 1500, dus E = 6000 beginwaarde komt in deze vergelijking niet voor! evenwichtswaarde (= waarde op lange termijn) is onafhankelijk van de beginwaarde!

Medicijnspiegel: evenwicht en spinnenwebdiagram limietwaarde 6000: trap ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten snijpunt van de twee rechten geeft evenwichtswaarde

Medicijnspiegel: evenwichtswaarde als vast punt recursievergelijking: rechte uit spinnenwebdiagram: eerstegraadsfunctie: (dus: ...) berekening evenwichtswaarde: evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f expl. vgl. overslaan

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking partieelsom van een meetkundige rij met reden 0.75

Medicijnspiegel: verklaring voor het verloop grafiek spiegelen t.o.v. horizontale as en uitrekken met factor 4500 grafiek over 6000 eenheden verschuiven naar boven vertraagd dalende MR met limietwaarde 0

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking en evenwicht Hn – E is meetkundige rij met reden 0.75 via begin-voorwaarde: C = -4500

Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid recursievergelijkingen van de vorm (a en b getallen) mogelijkheden verkennen m.b.v. spinnenwebdiagrammen

Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid belangrijke punten i.v.m. verloop / limiet en evenwicht: niet alleen stijgen en dalen maar ook ‘schommelen’ er is niet altijd een (eindige) limietwaarde ook als er geen limietwaarde is, is er in de meeste gevallen een evenwichtswaarde; het evenwicht is dan labiel

Evolutie van de bevolking van de VS (vrij naar Pearl en Reed, 1920) tijd jaar bevolking 1790 3 929 214 7 1860 31 443 321 1 1800 5 308 483 8 1870 38 558 371 2 1810 7 239 881 9 1880 50 189 209 3 1820 9 638 453 10 1890 62 979 766 4 1830 12 866 020 11 1900 76 212 168 5 1840 17 069 453 12 1910 92 228 496 6 1850 23 191 876

Evolutie van de bevolking van de VS: exponentiële groei?

Evolutie van de bevolking van de VS: exponentiële groei? relatieve afwijkingen tussen de realiteit en het exponentiële model exponentiële model relatief grote en systematische afwijkingen!

Evolutie van de bevolking van de VS: exponentiële groei? ONTHOUD: exponentiële groei asa relatieve groeisnelheid constant relatieve groeisnelheid is hier dus NIET constant! relatieve groeisnelheid in 1790 is groter dan in 1910

laatste element uit LP weglaten Evolutie van de bevolking van de VS: hoe verandert relatieve groeisnelheid? laatste element uit LP weglaten verticaal: relatieve groeisnelheid horizontaal: populatiegrootte (NIET de tijd!)

Evolutie van de bevolking van de VS: hoe verandert relatieve groeisnelheid? dalend lineair verband tussen relatieve groeisnelheid en populatie ONTHOUD: a is zeer klein a en b via [VARS], 5:Statistics

Evolutie van de bevolking van de VS: recursievergelijking (discreet) logistisch groeimodel niet-lineaire recursievergelijking van de eerste orde bevolking in 1790

Evolutie van de bevolking van de VS: logistische model

Evolutie van de bevolking van de VS: logistische model relatieve afwijkingen tussen de realiteit en het logistische model logistische model relatief kleine afwijkingen zonder systematiek

Evolutie van de bevolking van de VS: evolutie na 1910 in realiteit stijgt de bevolking nog sterk (in 2000: 281 mio) zeer goede overeenkomst tot 1950 model voorspelt stabilisatie rond 166 mio (= ‘maximale draagkracht van de omgeving’) na 1950 is de ‘maximale draagkracht’ sterk toegenomen door efficiëntere landbouw, industrie, ...  oorspronkelijke model niet meer geldig

Logistische groei geen expliciet voorschrift bekend (in discrete geval!) verloop onderzoeken: vaststellingen op basis van berekeningen met rekenmachine rechtstreeks afleiden uit de recursievergelijking

Logistische groei ‘groei met grenzen’ op lange termijn stabilisatie eerst versneld stijgen daarna vertraagd stijgen ‘groei met grenzen’ beginfaze overslaan

Logistische groei: beginfaze ONTHOUD: a is zeer klein als pn - 1 relatief klein is, dan geldt: in het begin bij benadering exponentiële groei met groeifactor 1 + b

Logistische groei: beginfaze exponentiële groei werkelijke en logistische groei zijn na een zekere tijd duidelijk geremd ten opzichte van de exponentiële groei werkelijke groei na verloop van tijd zorgt de kwadratische term voor het afremmen van de groei

Logistische groei: limietwaarde als d.w.z.

Logistische groei: spinnenweb-diagram, evenwichtswaarden gebaseerd op eerste bissectrice en twee snijpunten, d.w.z. twee evenwichtswaarden, nl. 0 en L twee snijpunten, d.w.z. twee evenwichtswaarden

Logistische groei: spinnenweb-diagram, evenwichtswaarden parabool  raaklijn aan de parabool in (0,0), rico 1 + b > 1 parabool  raaklijn aan de parabool in snijpunt met eerste bissectrice, rico 1 - b < 1 L is een stabiel evenwicht 0 is een labiel evenwicht

Logistische recursievergelijking: rol van de parameters parameter a speelt geen essentiële rol: door over te gaan op andere eenheden, kunnen we er voor zorgen dat maximale draagkracht –b/a = 1, d.w.z. a = –b; recursievergelijking wordt: (b > 0) evenwichtswaarden worden 0 en 1 raaklijn in (0,0) heeft rico 1 + b > 1: labiel evenwicht raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b welk soort evenwicht?

Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1? raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b geval 0 < b  1: 0  rico raaklijn < 1 snijpunt valt vóór de top van de parabool 1 is een stabiel evenwicht

Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1? raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b geval 1 < b < 2: -1 < rico raaklijn < 0 snijpunt valt voorbij de top vb. b = 1.75 ‘einde’: gedempt schommelend verloop (bevolking komt soms boven de maximale draagkracht en vermindert dan) 1 is een stabiel evenwicht

Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1? raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b geval 2 < b: rico raaklijn < -1, vb. b = 2.25 labiel evenwicht, 1 is een afstotend vast punt als pn in omgeving van 1 komt, ligt pn-1 verder van 1 als pn te ver van 1 komt, is raaklijn niet meer bruikbaar raaklijn niet geschikt om limietgedrag te onderzoeken!

Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b = 2.25 2 waarden komen (bij benadering) steeds terug: 2 ophopingspunten, rij komt terecht in een 2-cykel

Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b = 2.25 f2 f2 de ophopingspunten zijn vaste punten van f2

Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b > 2 ophopingspunten (= ‘limietwaarden’ van de rij) twee ophopingspunten b > 2.692... : chaos vier ... limiet 1 b = 1.75 b = 2.25 b = 2.5 b (tussen 1.625 en 2.85)

Verwant materiaal J.D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004, zie www.uitwiskeling.be J.D., Discrete dynamische systemen, workshop op T3-symposium 2004, zie www.ua.ac.be/johan.deprez C. Biront, J.D., Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998 J.D., Rijen en differentievergelijkingen, nascholing PEDIC (Gent), zie www.ua.ac.be/johan.deprez J.D., Dirk Janssens, Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices, zie http://home.scarlet.be/~p1925850/vliebergh_april_2005

Bedankt voor uw aandacht!